二次根式知識點一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：由于負數(shù)沒有平方根，因此是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識點二：取值范圍1.

二次根式故意義的條件：由二次根式的意義可知，當a≧0時，故意義，是二次根式，因此要使二次根式故意義，只要使被開方數(shù)不小于或等于零即可。2.

二次根式無意義的條件：因負數(shù)沒有算術(shù)平方根，因此當a﹤0時，沒故意義。知識點三：二次根式（）的非負性（）表達a的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一種非負數(shù)，即0（）。注：由于二次根式（）表達a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，因此非負數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即0（），這個性質(zhì)也就是非負數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。知識點四：二次根式（）的性質(zhì)（）文字語言論述為：一種非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，.知識點五：二次根式的性質(zhì)文字語言論述為：一種數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a自身，即；若a是負數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不管a取何值，一定故意義；3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡。知識點六：與的異同點1、不一樣點：與表達的意義是不一樣的，表達一種正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表達一種實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負實數(shù)。但與都是非負數(shù)，即，。因而它的運算的成果是有差異的，

，而2、相似點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即時，=；時，無意義，而.知識點七：二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式如：不具有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y等；具有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等（3）最終止果分母不含根號。知識點八：二次根式的乘法和除法1.積的算數(shù)平方根的性質(zhì)√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）2.乘法法則√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）二次根式的乘法運算法則，用語言論述為：兩個因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個因式積的算術(shù)平方根。3.除法法則√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）二次根式的除法運算法則，用語言論述為：兩個數(shù)的算數(shù)平方根的商，等于這兩個數(shù)商的算數(shù)平方根。4.有理化根式。假如兩個具有根式的代數(shù)式的積不再具有根式，那么這兩個代數(shù)式叫做有理化根式,也稱有理化因式。知識點九：二次根式的加法和減法1同類二次根式一般地，把幾種二次根式化為最簡二次根式後，假如它們的被開方數(shù)相似，就把這幾種二次根式叫做同類二次根式。2合并同類二次根式把幾種同類二次根式合并為一種二次根式就叫做合并同類二次根式。3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相似的進行合并。知識點拾：二次根式的混合運算1確定運算次序2靈活運用運算定律3對的使用乘法公式4大多數(shù)分母有理化要及時5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化知識點拾一：分母有理化分母有理化有兩種措施I.分母是單項式如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/bII.分母是多項式要運用平方差公式如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b如圖注意：1.根式中不能具有分母2.分母中不能具有根式。“二次根式”經(jīng)典練習(xí)題【經(jīng)典例題】一.運用二次根式的雙重非負性來解題（（a≥0），即一種非負數(shù)的算術(shù)平方根是一種非負數(shù)。）1.下列各式中一定是二次根式的是（）。A、；B、；C、；D、2.x取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)故意義。（1）（2）（3）（4）（5）若，則x的取值范圍是（7）若，則x的取值范圍是。注：（書寫格式（4）由5+x≥0且x+4≠0得x≥－5且x≠－4∴當x≥－5且x≠－4時代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)故意義）3.若故意義，則m能取的最小整數(shù)值是4.若是一種正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是________．5..當x為何整數(shù)時，有最小整數(shù)值，這個最小整數(shù)值為。6.若，則=_____________．7．若，則8.設(shè)m、n滿足，則=。9.若適合關(guān)系式，求的值．10.若三角形的三邊a、b、c滿足=0，則第三邊c的取值范圍是11.方程，當時，m的取值范圍是（）A、 B、C、 D、二．運用二次根式的性質(zhì)=|a|=(即一種數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值)來解題1.已知＝－x，則（）A.x≤0B.x≤－3Ｃ.x≥－3D.－3≤x≤02.．已知a<b，化簡二次根式的對的成果是（）A．B．C．D．3.若化簡|1-x|-的成果為2x-5則x的取值范圍是（）A、x為任意實數(shù)B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤44.已知a，b，c為三角形的三邊，則=5.當-3<x<5時，化簡=。6、化簡的成果是（）A．B．C．D．7、已知：=1，則的取值范圍是（）。A、；B、；C、或1；D、8、把根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡成果是（）。A、；B、；C、D、三．二次根式的化簡與計算（二次根式的化簡是二次根式運算中的基本規(guī)定，其重要根據(jù)是二次根式的積商算術(shù)平方根的性質(zhì)及二次根式的性質(zhì)：（）2=a（a≥0），即。）1.把下列各式化成最簡二次根式：（1）（2）（3）（4）2.下列各式中哪些是同類二次根式：（1），，，，，，；（2），，a3.計算：（1）6（2）；（3）（4）（5）－（6）4.計算（1）2（2）5．已知，則x等于（）A．4B．±2C．2D．±46..已知，求的值。四．二次根式的分母有理化1已知：，求的值。2..已知:x=，求代數(shù)式3x2－5xy+3y2的值。3.＋＋＋…＋4.已知，試求的值。五．有關(guān)求二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分的問題1.估算eq\r(31)－2的值（）A．在1和2之間B．在2和3之間C．在3和4之間D．在4和5之間2．若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則3.已知9+的小數(shù)部分分別是a和b，求ab－3a+4b+8的值4.若a，b為有理數(shù)，且++=a+b，則b=.六．二次根式的比較大?。?）（2）－5（3）（倒數(shù)法）二次根式提高測試題一、選擇題1．使故意義的的取值范圍是（）2．一種自然數(shù)的算術(shù)平方根為，則與這個自然數(shù)相鄰的兩個自然數(shù)的算術(shù)平方根為（）（A）（B）（C）（D）3．若，則等于（）（A）0（B）（C）（D）0或4．若，則化簡得（）（A）（B）（C）（D）5．若，則的成果為（）（A）（B）（C）（D）6．已知是實數(shù)，且，則與的大小關(guān)系是（）（A）（B）（C）（D）7．已知下列命題：①；②；③；④．其中對的的有（）（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個8．若與化成最簡二次根式後的被開方數(shù)相似，則的值為（）（A）（B）（C）（D）9．當時，化簡等于（）（A）2（B）（C）（D）010．化簡得（）（A）2（B）（C）（D）二、填空題11．若的平方根是，則．12．當時，式子故意義．13．已知：最簡二次根式與的被開方數(shù)相