天天練24不等式的性質(zhì)及一元二次不等式一、選擇題1．若a>b>0，c<d<0，則一定有()A．a(chǎn)c>bdB．a(chǎn)c<bdC．a(chǎn)d<bcD．a(chǎn)d>bc答案：B解析：根據(jù)c<d<0，有－c>－d>0，由于a>b>0，故－ac>－bd，ac<bd，故選B.2．若a<b，d<c，并且(c－a)(c－b)<0，(d－a)(d－b)>0，則a，b，c，d的大小關系為()A．d<a<c<bB．a(chǎn)<d<c<bC．a(chǎn)<d<b<cD．d<c<a<b答案：A解析：因為a<b，(c－a)(c－b)<0，所以a<c<b，因為(d－a)(d－b)>0，所以d<a<b或a<b<d，又d<c，所以d<a<b.綜上，d<a<c<b.3．(2018·河南信陽月考)對于任意實數(shù)a，b，c，d，以下四個命題：①若ac2>bc2，則a>b；②若a>b，c>d，則a＋c>b＋d；③若a>b，c>d，則ac>bd；④若a>b，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b).其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案：B解析：因為ac2>bc2，可見c2≠0，所以c2>0，所以a>b，故①正確．因為a>b，c>d，所以根據(jù)不等式的可加性得到a＋c>b＋d，故②正確．對于③和④，用特殊值法：若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，則ac＝bd，故③錯誤；若a＝2，b＝0，則eq\f(1,b)無意義，故④錯誤．綜上，正確的只有①②，故選B.4．(2018·遼寧阜新實驗中學月考)已知命題p：x2＋2x－3>0，命題q：x>a，若綈q的一個充分不必要條件是綈p，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]答案：A解析：將x2＋2x－3>0化為(x－1)(x＋3)>0，所以命題p：x>1或x<－3.因為綈q的一個充分不必要條件是綈p，所以p的一個充分不必要條件是q，所以(a，＋∞)是(－∞，－3)∪(1，＋∞)的真子集，所以a≥1.故選A.5．(2018·南昌一模)已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)，則()A．T>0B．T<0C．T＝0D．T≥0答案：B解析：通解由a＋b＋c＝0，abc>0，知三個數(shù)中一正兩負，不妨設a>0，b<0，c<0，則T＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(ab＋bc＋ca,abc)＝eq\f(ab＋cb＋a,abc)＝eq\f(ab－c2,abc)，因為ab<0，－c2<0，abc>0，所以T<0，故選B.優(yōu)解取特殊值a＝2，b＝c＝－1，則T＝－eq\f(3,2)<0，排除A，C，D，可知選B.6．不等式eq\f(x,2x－1)>1的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B．(－∞，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪(1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))答案：A解析：原不等式等價于eq\f(x,2x－1)－1>0，即eq\f(x－2x－1,2x－1)>0，整理得eq\f(x－1,2x－1)<0，不等式等價于(2x－1)(x－1)<0，解得eq\f(1,2)<x<1.故選A.7．(2018·河南洛陽診斷)若不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，1))C．(1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(23,5)))答案：B解析：由Δ＝a2＋8>0知方程恒有兩個不等實根，又因為x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一負根，對應二次函數(shù)圖象的示意圖如圖．所以不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f5≥0，,f1≤0，))解得－eq\f(23,5)≤a≤1，故選B.8．不等式x2－2x＋m>0對一切實數(shù)x恒成立的必要不充分條件是()A．m>2B．0<m<1C．m>0D．m>1答案：C解析：當不等式x2－2x＋m>0對一切實數(shù)x恒成立時，對于方程x2－2x＋m＝0，Δ＝4－4m<0，解得m>1，所以m>1是不等式x2－2x＋m>0對一切實數(shù)x恒成立的充要條件；m>2是不等式x2－2x＋m>0對一切實數(shù)x恒成立的充分不必要條件；0<m<1是不等式x2－2x＋m>0對一切實數(shù)x恒成立的既不充分也不必要條件；m>0是不等式x2－2x＋m>0對一切實數(shù)x二、填空題9．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b,0<f(1)<2，－1<f(－1)<1，則2a－b答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))解析：設2a－b＝mf(1)＋nf(－1)＝(m－n)·a＋(m＋n)b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝2，,m＋n＝－1，))解得m＝eq\f(1,2)，n＝－eq\f(3,2)，∴2a－b＝eq\f(1,2)f(1)－eq\f(3,2)f(－1)，∵0<f(1)<2，－1<f(－1)<1，∴0<eq\f(1,2)f(1)<1，－eq\f(3,2)<－eq\f(3,2)f(－1)<eq\f(3,2)，則－eq\f(3,2)<2a－b<eq\f(5,2).10．(2018·江蘇無錫一中月考)若關于x的方程(m－1)·x2＋(m－2)x－1＝0的兩個不等實根的倒數(shù)的平方和不大于2，則m的取值范圍為________．答案：{m|0<m<1或1<m≤2}解析：根據(jù)題意知方程是有兩個根的一元二次方程，所以m≠1且Δ>0，即Δ＝(m－2)2－4(m－1)·(－1)>0，得m2>0，所以m≠1且m≠0.由根與系數(shù)的關系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(m－2,1－m)，,x1·x2＝\f(1,1－m)，))因為eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝m－2，所以eq\f(1,x\o\al(2,1))＋eq\f(1,x\o\al(2,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))2－eq\f(2,x1x2)＝(m－2)2＋2(m－1)≤2，所以m2－2m≤0，所以0≤m≤2.所以m的取值范圍是{m|0<m<1或1<m≤2}．11．(2018·內(nèi)蒙古赤峰調(diào)研)在a>0，b>0的情況下，下面四個不等式：①eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(a＋b,2)；②eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；③eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))；④eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b.其中正確不等式的序號是________．答案：①②③④解析：eq\f(2ab,a＋b)－eq\f(a＋b,2)＝eq\f(4ab－a＋b2,2a＋b)＝－eq\f(a－b2,2a＋b)≤0，所以eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(a＋b,2)，故①正確；由基本不等式知②正確；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(－a－b2,4)≤0，所以eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，故③正確；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a)＋\f(a2,b)))－(a＋b)＝eq\f(a3＋b3－a2b－ab2,ab)＝eq\f(a3－a2b＋b3－ab2,ab)＝eq\f(a－b2a＋b,ab)≥0，所以eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b，故④正確．綜上所述，四個不等式全都正確．三、解答題12．已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對于x∈R，f(x)＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若對于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)由題意可得m＝0或eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0))?m＝0或－4＜m＜0?－4＜m≤0.故m的取值范圍是(－4,0]．(2)要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，即meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．當m＞0時，g(x)在[1,3]上是增