立體幾何壓軸題十大題型匯總

壓軸俄解讀

本專題考查類型主要涉及點(diǎn)立體幾何的內(nèi)容，主要涉及了立體幾何中的動點(diǎn)問題，外接球

命題預(yù)測內(nèi)切球問題，以及不規(guī)則圖形的夾角問題，新定義問題等。

預(yù)計2024年后命題會繼續(xù)在以上幾個方面進(jìn)行。

題型01幾何圖形內(nèi)切球、外接球問題題型06幾何中的旋轉(zhuǎn)問題

題型02立體幾何中的計數(shù)原理排列組合問題題型07立體幾何中的折疊問題

高頻考法題型03立體幾何動點(diǎn)最值問題題型08不規(guī)則圖形表面積、體積問題

題型04不規(guī)則圖形中的面面夾角問題題型09立體幾何新定義問題

題型05不規(guī)則圖形中的線面夾角問題題型10立體幾何新考點(diǎn)

高分必?fù)?/p>

?題型01幾何圖形內(nèi)切球、外接球問題

解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維

流程如下：

（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相

等且為半徑；

（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些

元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

L（多選）（23-24高三下?浙江?開學(xué)考試）如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點(diǎn)4B,C,。在

同一個平面內(nèi)，如果四邊形力BCD是邊長為2的正方形，則（）

A.異面直線4E與。尸所成角大小為與

B.二面角A-EB-C的平面角的余弦值為2

C.此八面體一定存在外接球

D.此八面體的內(nèi)切球表面積為十

2.（2024浙江寧波二模）在正四棱臺ABC。-a/iGA中，AB=4,2祖=W，若球。與上底面

力1B1G%以及棱AB,BC,CD,均相切，則球。的表面積為（）

A.9TTB.16nC.25TID.36Tl

3.（2024?河北石家莊?二模）已知正方體的棱長為2a,連接正方體各個面的中心得到一個八面體，以正

方體的中心。為球心作一個半徑為孚的球，則該球。的球面與八面體各面的交線的總長為（）

A.2V6TtB.—itC.—itD.4V6it

33

4.（多選）（2022?山東聊城?二模）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形

狀，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離

稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的兀倍,已知某

圓柱的底面半徑為2,用與母線成45。角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個

斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.底面橢圓的離心率為日

B.側(cè)面積為24位兀

C.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36兀

D.底面積為4魚兀

5.（21-22高三上?湖北襄陽?期中）在正方體4BCD-44品。1中，球同時與以A為公共頂點(diǎn)的三個面

相切，球。2同時與以G為公共頂點(diǎn)的三個面相切，且兩球相切于點(diǎn)凡若以F為焦點(diǎn)，4%為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)

過。1,。2,設(shè)球。1,G的半徑分別為G,r2,貝嚕=.

?題型02立體幾何中的計數(shù)原理排列組合問題

6.（2024?浙江臺州二模）房屋建造時經(jīng)常需要把長方體磚頭進(jìn)行不同角度的切割，以契合實(shí)際需要.已知長

方體的規(guī)格為24cmx11cmx5cm,現(xiàn)從長方體的某一棱的中點(diǎn)處作垂直于該棱的截面，截取1次后共可

以得到12cmx11cmx5cm,24cmxycmx5cm,24cmx11cmx|cm三種不同規(guī)格的長方體按照上

述方式對第1次所截得的長方體進(jìn)行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進(jìn)行第3次截取，則共可得

到體積為165cm3的不同規(guī)格長方體的個數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.16

7.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中,4（10,0,0）,5（0,10,0）,C（0,0,10），則三棱錐。-

4BC內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個數(shù)為（）

A.CioB.CgCVoD.Cg

8.（2024重慶?模擬預(yù)測）從長方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐的頂點(diǎn)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

3635735

9.（多選）（2024重慶?模擬預(yù)測）如圖，16枚釘子釘成4x4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下

列說法正確的有（不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點(diǎn)不同）（）

A.可以圍成20個不同的正方形

B.可以圍成24個不同的長方形（鄰邊不相等）

C.可以圍成516個不同的三角形

D.可以圍成16個不同的等邊三角形

10.（2024?上海浦東新?模擬預(yù)測）如圖A8CDEF-49廣。用戶為正六棱柱，若從該正六棱柱的6個側(cè)面

的12條面對角線中，隨機(jī)選取兩條，則它們共面的概率是.

BC

?題型03立體幾何動點(diǎn)最值問題

空間幾何體中線段和差最值以及幾何體中的軌跡問題，以及線線角和線面角的求解，綜合性較強(qiáng)，難度較

大，解答時要發(fā)揮空間想象，明確空間的位置關(guān)系，結(jié)合空間距離，確定動點(diǎn)的軌跡形狀；結(jié)合等體積法

求得點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合線面角的定義求解.

11.（多選）（2024浙江臺州?二模）已知正方體A8CD-的棱長為1,P為平面4BCD內(nèi)一動點(diǎn)，

且直線DiP與平面4BCD所成角為g,E為正方形&4DA的中心，則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)P的軌跡為拋物線

B.正方體4BCD-4/16劣的內(nèi)切球被平面力/Ci所截得的截面面積為！

O

c.直線CP與平面CD。?所成角的正弦值的最大值為日

D.點(diǎn)M為直線D/上一動點(diǎn)，則MP+ME的最小值為件運(yùn)

12.（多選）（2024?江蘇揚(yáng)州模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體4BCD-4當(dāng)6必中，M為平面ABC。

內(nèi)一動點(diǎn)，則（）

A.若M在線段4B上，則AM+MC的最小值為+2也

B.平面4cA被正方體內(nèi)切球所截，則截面面積為2

C.若GM與4B所成的角為:,則點(diǎn)M的軌跡為橢圓

D.對于給定的點(diǎn)M,過M有且僅有3條直線與直線。遇,。也所成角為60。

13.（多選）（2023?安徽蕪湖?模擬預(yù)測）已知正方體力BCD的棱長為2,棱48的中點(diǎn)為M,過

點(diǎn)M作正方體的截面a,且名。1a,若點(diǎn)N在截面a內(nèi)運(yùn)動（包含邊界），則（）

A.當(dāng)|MN|最大時，MN與BC所成的角為T

B.三棱錐&-BNG的體積為定值|

C.若|DN|=2，則點(diǎn)N的軌跡長度為2TT

D.若N6平面&BCD1,則|BN|+INC/的最小值為，6+2,

14.（多選）（2024?福建廈門?一模）如圖所示，在五面體48CDEF中，四邊形ABCD是矩形，△ABF^KDCE

均是等邊三角形，且力B=，EF=雙式＞0）,貝［|（）

A.￡77/平面ABC。

B.二面角a-EF-B隨著久的減小而減小

C.當(dāng)BC=2時，五面體ABCDEF的體積U（久）最大值為年

D.當(dāng)BC=|時,存在M吏得半徑為爭勺球能內(nèi)含于五面體力BCDEF

15.（多選）（2024?廣西南寧一模）在邊長為2的正方體A8C。-2向前。1中,動點(diǎn)M滿足前=久樂+

yAD+zAA1,（x,y,zGR且無>0,y>0,z>0）,下列說法正確的是（）

A.當(dāng)久=；,z=0,y€［0,1］時，B±M+MD的最小值為舊

B.當(dāng)x=y=l,z=次寸，異面直線BM與皿所成角的余弦值為半

C.當(dāng)x+y+z=1,且AM=管時，則M的軌跡長度為卓

D.當(dāng)x+y=l,z=0時，力M與平面48也所成角的正弦值的最大值為當(dāng)

?題型04不規(guī)則圖形中的面面夾角問題

利用向量法解決立體幾何中的空間角問題，關(guān)鍵在于依托圖形建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將相關(guān)向量用

坐標(biāo)表示，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求空間角，其中建系的關(guān)鍵在于找到兩兩垂直的三條直線.

16（2024?浙江臺州?二模友］圖，已知四棱臺48CD—4/1GD1中AB=3A1B1ABIICDADLABAB=6,

CD=9,AD=6,且441=BBi=4,Q為線段CC1中點(diǎn)，

⑴求證：8QII平面；

（2）若四棱錐Q-4BB14的體積為蜉,求平面4BB14與平面CDDiG夾角的余弦值.

17.（2024?浙江杭州?二模）如圖在多面體4BCDPQ中，底面A8CD是平行四邊形/DAB=60°,BC=2PQ=

4AB=4,M為8c的中點(diǎn)，PQIIBC,PD1DC,QB1MD.

（1）證明：N2BQ=90°；

⑵若多面體ABCDPQ的體積為日,求平面PCD與平面Q4B夾角的余弦值.

18.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測）已知四棱錐P-4BCD的棱AB,BC的長為近,其余各條棱長均為1.

Q）求四棱錐P—力BCD的體積；

（2）求二面角4-PC-B的大小.

19.（2024安徽?二模）將正方形2BCD繞直線4B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,使得CD到EF的位置，得到如圖所示的幾

何體.

B

（1）求證：平面4CF1平面BDE；

（2）點(diǎn)M為爐上一點(diǎn)，若二面角C-AM-E的余弦值為1,求NM&D.

20.（2024山西?二模）如圖,四棱錐P-A8CD中，二面角P-CD-4的大小為90°,"CP=Z.DPC<：,

^DAB=/.ABC=^ADB=2乙DCB=90",E是24的中點(diǎn).

(1)求證：平面1平面PCD；

⑵若直線PD與底面4BCD所成的角為60°,求二面角B-ED-。的余弦值.

?題型05不規(guī)則圖形中的線面夾角問題

21.(2024?浙江寧波?二模庵菱形4BCD中=2/BAD=60°以AB為軸將菱開"BCD翻折至I」菱形ABQA,

使得平面力BC/11平面力BCD，點(diǎn)E為邊Bq的中點(diǎn)，連接CE,。玩

(1)求證:CE||平面40nl；

(2)求直線CE與平面BOA所成角的正弦值.

22.(23-24高三下?江蘇泰州?階段練習(xí))如圖,在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD是菱形，乙BAD=60°,

△PAD為等邊三角形，點(diǎn)M,N分別為AB,PC的中點(diǎn).

P

(1)證明：直線MN〃平面PAD;

(2)當(dāng)二面角P-AD-C為120。時，求直線MN與平面PCD所成的角的正弦值.

23.(23-24高三下,浙江,開學(xué)考試)在三棱錐D—ABC中，AC=3,DC=2V2,/.DCA=45°,CB1AB,BC=

BD=V6.

D

⑴證明：平面ZDC1平面ABC；

（2）點(diǎn)E為棱DC上，若BC與平面E4B所成角的正弦值為答,求DE的長；

24.（2022?江西贛州?二模）已知四棱錐P—ABCD中，^ABD、^BCD、^BDP都是正三角形4B=2,AP=3

⑴求證：平面ACP,平面BDP;

⑵求直線BP與平面ADP所成角的正弦值.

25.（2024?全國模擬預(yù)測）如圖，48,CD,EF兩兩垂直，點(diǎn)E為4B的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段CD上,且滿足DF=

D

⑴求證：平面ABC_L平面4B0.

（2）求直線8。與平面4CD所成角的正弦值.

?題型06幾何中的旋轉(zhuǎn)問題

26.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖,已知長方體ABCD-ABO中,AB=BC=2,AA'=<2,。為正方形

4BCD的中心點(diǎn)，將長方體4BCD-ABO繞直線0?進(jìn)行旋轉(zhuǎn).若平面a滿足直線OD'與a所成的角為53。，

直線/1a，則旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與/夾角的正弦值的最小值為（X參考數(shù)據(jù)：sin53。xi,cos53°?|)

3V3-4C3v^+3D4A/I+3

1010?10?10

27.（多選）（2024河北唐山一模）在透明的密閉正三棱柱容器ABC-4/停1內(nèi)灌進(jìn)一些水，已知48=

AA1=4.如圖，當(dāng)豎直放置時，水面與地面距離為3.固定容器底面一邊AC于地面上，再將容器按如圖

方向傾斜，至側(cè)面4CG4與地面重合的過程中，設(shè)水面所在平面為a,則（）

A.水面形狀的變化：三角形,梯形臺矩形

B.當(dāng)G4ua時，水面的面積為2后

C.當(dāng)86a時，水面與地面的距離為學(xué)

D.當(dāng)側(cè)面4CG4與地面重合時，水面的面積為12

28.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾?魯比

克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具.魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都

會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一.一個三階魔方，由27個棱長為1的正方體組成，如圖是把

魔方的中間一層轉(zhuǎn)動了45。，則該魔方的表面積增加了

29.（2024?福建?模擬預(yù)測）在小ABC中,/.ABC=90°,AB=6,乙4cB的平分線交AB于點(diǎn)D,2。=2DB.

平面a過直線AB,且與△ABC所在的平面垂直.

（1）求直線CD與平面a所成角的大??；

（2）設(shè)點(diǎn)Eea,且NEC。=30。，記E的軌跡為曲線「.

（i）判斷「是什么曲線，并說明理由；

（ii）不與直線AB重合的直線I過點(diǎn)D且交「于P,Q兩點(diǎn)，試問：在平面a內(nèi)是否存在定點(diǎn)T,使得無

論I繞點(diǎn)D如何轉(zhuǎn)動，總有NPTC=&TC?若存在，指出點(diǎn)T的位置；若不存在，說明理由.

30.（多選）（2024?浙江二模）已知正方體ABC。-,的棱長為1,點(diǎn)P是正方形A/iGA上的

一個動點(diǎn)，初始位置位于點(diǎn)公處，每次移動都會到達(dá)另外三個頂點(diǎn).向相鄰兩頂點(diǎn)移動的概率均為:,向?qū)?/p>

頂點(diǎn)移動的概率為J如當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)4處時，向點(diǎn)名,%移動的概率均為:，向點(diǎn)G移動的概率為1則（）

A.移動兩次后，"|PC|=V3"的概率為:

B.對任意neN*,移動n次后，"PA〃平面BDCJ的概率都小于1

C.對任意neN*,移動n次后，"PC，平面BOG"的概率都小于3

D.對任意neN*,移動n次后，四面體P-8DC1體積V的數(shù)學(xué)期望石⑺<|（注：當(dāng)點(diǎn)P在平面上

時，四面體P-BOG體積為0）

?題型07立體幾何中的折疊問題

31.（2020?浙江?模擬預(yù)測）如圖，在44BC中，乙4BC=90。，AB=1,BC=2,D為線段BC（端點(diǎn)除外）

上一動點(diǎn).現(xiàn)將△4BD沿線段AD折起至AAB，。，使二面角9-4D-C的大小為120°,則在點(diǎn)D的移動

過程中，下列說法錯誤的是（）

A.不存在點(diǎn)。，使得CB，1AB

B.點(diǎn)次在平面ABC上的投影軌跡是一段圓弧

C.與平面4BC所成角的余弦值的取值范圍是（￥，1）

D.線段C9的最小值是舊

32.（多選I23-24高三下?江蘇泰州?階段練習(xí)H知正方形ABCD的邊長為4點(diǎn)E在線段AB上PE=1沿

DE將AADE折起，使點(diǎn)A翻折至平面BCDE外的點(diǎn)P』U（）

A.存在點(diǎn)P,使得PELDCB.存在點(diǎn)P，使得直線8c〃平面PDE

C.不存在點(diǎn)P,使得PCIDED.不存在點(diǎn)P，使得四棱錐P-BCDE的體積為8

33.（2024?安徽池州?模擬預(yù)測）如圖①,四邊形力BCD是邊長為2的正方形，△EAB與AFAD是兩個全等

的直角三角形,S.FA=4,FC與2D交于點(diǎn)G，將RtAR48與RtAB4D分別沿翻折，使E,尸重合于點(diǎn)P,

連接PC，得到四棱錐P-ABC。，如圖②，

P

⑴證明:BDJ.PC；

（2）若M為棱PC的中點(diǎn)，求直線與平面PCG所成角的正弦值.

34.（多選）（2023?浙江嘉興?模擬預(yù)測）如圖,SAABC中，乙B=?AB=W,BC=\,過4C中點(diǎn)M的

直線/與線段力B交于點(diǎn)N.將A4MN沿直線2翻折至A4MN,且點(diǎn)4在平面BCMN內(nèi)的射影H在線段BC上,

連接交/于點(diǎn)。，。是直線/上異于。的任意一點(diǎn)，則（）

A.4A'DH>Z-A'DC

B.WDH</.A'OH

C.點(diǎn)。的軌跡的長度為3o

D.直線4。與平面BCMN所成角的余弦值的最小值為8百-13

35.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖1,已知在正方形力BCD中,AB^2,M,E,尸分別是邊CD,BC,4。的

中點(diǎn)，現(xiàn)將矩形ABEF沿EF翻折至矩形AB'EF的位置，使平面ABNF，平面CDFE,如圖2所示.

（1）證明：平面4EM1平面AFM；

⑵設(shè)Q是線段4E上一點(diǎn)，且二面角4-FM-Q的余弦值為手,求券的值.

?題型08不規(guī)則圖形表面積'體積問題

解決不規(guī)則圖形的表面積體積問題，注意使用割補(bǔ)法，通過分割與補(bǔ)形的方法，轉(zhuǎn)化成常規(guī)的幾何體進(jìn)行

求解。

36.（2024浙江?模擬預(yù)測）如圖，已知長方體ABC。-4/iGA的體積為匕E是棱C/i的中點(diǎn)，平面Z/E將

長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為（）

A?尹B苧一D?/

37.（2022?遼寧錦州?一模）2022年北京冬奧會的成功舉辦使北京成為奧運(yùn)史上第一座“雙奧之城”.其中

2008年北京奧運(yùn)會的標(biāo)志性場館之一“水立方"搖身一變成為了"冰立方"."冰立方"在冬奧會期間承

接了冰壺和輪椅冰壺等比賽項(xiàng)目.“水立方”的設(shè)計靈感來自威爾?弗蘭泡沫，威爾?弗蘭泡沫是對開爾文胞體

的改進(jìn)，開爾文胞體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個頂點(diǎn)處有一個正方形和兩個

正六邊形），已知該多面體共有24個頂點(diǎn)，且棱長為2,則該多面體的表面積是（）

A.24（V3+1）B.24V3+6C.48百+24D.16V3+8

38.（2024?全國模擬預(yù)測）如圖,已知正方體ABC。-4/iGA和正四棱臺ABC。-2c2。2中，&%=

2AB^4,AA2=VTT.

2G

A2B2

⑴求證：以2〃平面ABGA；

（2）若M是線段8%的中點(diǎn)，求三棱錐M-2c2的表面積.

39.（2024?江蘇常州?一模）如圖，正四棱柱A8CD-a/iGA的底面邊長為1,高為2,點(diǎn)M是棱CC1上一

個動點(diǎn)（點(diǎn)M與C,G均不重合）.

（1）當(dāng)點(diǎn)M是棱CCi的中點(diǎn)時，求證：直線4M，平面/MA；

（2）當(dāng)平面481M將正四棱柱/1BCD-A%G5分割成體積之比為1:2的兩個部分時，求線段MC的長度.

40.（多選）（2024安徽蕪湖二模）如圖，多面體PS-ABCD由正四棱錐P-2BCD和正四面體S-PBC組

合而成，其中PS=1,則下列關(guān)于該幾何體敘述正確的是（）

C.二面角4-PB-C的余弦值為-[D.該幾何體為三棱柱

?題型09立體幾何新定義問題

立體幾何新定義問題，解題關(guān)鍵是理解新定義，能夠構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，解決相應(yīng)問題.

41.（多選）（23-24高三上?河北?期末）球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖，球。的

半徑為R,A,B,C為球面上三點(diǎn)，劣弧BC的弧長記為a,設(shè)。。表示以。為圓心，且過8,C的圓，同理，圓

Ob,0c的劣弧AC,AB的弧長分別記為b,c,曲面ABC（陰影部分）叫做曲面三角形，若a=b-c,則稱

其為曲面等邊三角形，線段。力,0B,0C與曲面△力8c圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面。-A8C.

設(shè)上B0C=a,^AOC=6，4AOB=y,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若平面△ABC是面積為fR2的等邊三角形，貝必=6=c=R

4

22

B.若—+fa=C1則仇2+尸=y2

C.若。二人.二］/?,貝11球面。一4BC的體積U>*3

D.若平面△4BC為直角三角形，S.AACB==,貝必2+

42.（2022?安徽合肥?模擬預(yù)測）已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡稱圓錐S）與不經(jīng)過頂點(diǎn)S的平面a相交，

記交線為C,圓錐S的軸線I與平面a所成角0是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角0的一半，

為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T,使球T與圓錐S和平面a都相切，記球T與平面a的切點(diǎn)為F,直

線|與平面a交點(diǎn)為A直線AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線OS與球T的切點(diǎn)為M,\0M\=a,\MS\=b.

(1)求證：平面SOA，平面a,并指出a,b,8關(guān)系式；

(2)求證：曲線C是拋物線.

43.(2022?遼寧沈陽?二模)蜂房是自然界最神奇的"建筑"之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截

去三個相等的三棱錐H-ABCJ-CDE,K-EFA,再分別以AC,CE,EA為軸將△ACH,△CE/,AEAK分

別向上翻轉(zhuǎn)180。，使H,/,K三點(diǎn)重合為點(diǎn)S所圍成的曲頂多面體(下底面開口)，如圖2所示.蜂房曲頂空

間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的

曲率規(guī)定等于2TT減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個面角之和(多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表

示).例如：正四面體在每個頂點(diǎn)有3個面角，每個面角是,所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2TT-3xT=TL

力1BiAiBi

圖1圖2

(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；

⑵若正六棱柱底面邊長為1,側(cè)棱長為2,設(shè)BH=x

(i)用工表示蜂房(圖2右側(cè)多面體)的表面積S(x)；

(ii)當(dāng)蜂房表面積最小時，求其頂點(diǎn)S的曲率的余弦值.

44.(2024?山東濟(jì)南?一模)在空間直角坐標(biāo)系。-盯z中，任何一個平面的方程都能表示成力x+By+Cz+

。=0,其中6R,A2+B2+C2^0，且元=(A,B,C)為該平面的法向量.已知集合P={(x,y,z)||劃＜

l.lyl<1,|z|<1},<2={(X,y,z)||x|+|y|+|z|<2],T={(x,y,z)\\x\+\y\<2,\y\+|z|<2,|z|+\x\<

2}.

(1)設(shè)集合M={(x,y,z)|z=0},記PnM中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為Si,QnM中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面

積為52,求Si和S2的值；

(2)記集合Q中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為明,PnQ中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為彩,求明和彩的值：

(3)記集合T中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為W.

①求W的體積匕的值；

②求W的相鄰(有公共棱)兩個面所成二面角的大小，并指出W的面數(shù)和棱數(shù).

。2。3

45.(2024?云南?模擬預(yù)測)三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：瓦b2b3=

C1C2C3

TIJk-T

%b2c3+Q2b3cl+Q3ble2一G3b2cl-。2ble3-3c2.若五XB=/％z1，則稱五XB為空間向量五與b的

%272Z2

叉乘，其中a=Xi?+yj+Z1/%1，yltz±&R),b=x2i+y2j+z2k(x2,y2,z2&R),{i,J,"}為單位正交基底.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以己了,說勺方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,已知4B是空間直角坐

標(biāo)系中異于。的不同兩點(diǎn).

(1)①若4(0,2,1),B(-1,3,2),求市xOB；

②證明：瓦？*麗+礪xH1=6.

⑵記△20B的面積為SA9，證明：S-OB=1國x畫；

⑶問：(mx而產(chǎn)的幾何意義表示以△40B為底面、x而|為高的三棱錐體積的多少倍?

?題型10立體幾何新考點(diǎn)

46(2024河北滄州?一模卻圖在正三棱錐4-BCD中,BC=CD=BD=4點(diǎn)P滿足而=AACE(0,1),

過點(diǎn)P作平面a分別與棱AB,BD,CD交于Q,S,T三點(diǎn)，目4D〃a,BC//a.

⑴證明：VAG(0,1),四邊形PQST總是矩形；

(2)若2C=4,求四棱錐C-PQST體積的最大值.

47.(2022?全國模擬預(yù)測)如圖1,在矩形AB?。中，B,C分別為42,的中點(diǎn)，且28=8C=1,

現(xiàn)將矩形力BiG。沿BC翻折，得到如圖2所示的多面體A8CDB1G.

(1)當(dāng)二面角A-B?_C的大小為60。時,證明：多面體A8CDB1G為正三棱柱；

(2)設(shè)點(diǎn)4關(guān)于平面GBO的對稱點(diǎn)為P,當(dāng)該多面體ABCDBiG的體積最大時，求三棱錐P-ABC的體積.

48.(23-24高三下?浙江金華?階段練習(xí))如圖，在三棱柱718C-A/iG中，"BC是邊長為2的正三角形，

側(cè)面BBiGC是矩形，4&=A±B.

B

(1)求證：三棱錐&-4BC是正三棱錐；

⑵若三棱柱ABC-的體積為2夜,求直線AC】與平面A4/iB所成角的正弦值.

49.(2023?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測)正錐體具有良好的對稱性.

(1)在正三棱錐P-ABC中，證明：P41BC；

(2)已知正棱錐P-44??4.請?jiān)谙铝袃蓚€條件中，選擇一個命題填到__________上,并證明：

①當(dāng)k=2n+1,nGZ+時,存在血6{1,2,■■■,k-1},使得P&1AmAm+1；

②當(dāng)k=2n+2,n6Z+時,不存在m6(1,2,■■■,k—1},使得P&1AmAm+1.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

50.(23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習(xí))甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對象，設(shè)棱長為n,

若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個點(diǎn)構(gòu)成三角形定義隨機(jī)變量X

的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐(和甲研究的四棱錐一樣)的8條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量f

的值為這兩條棱的夾角大小(弧度制)；若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量”的值為這兩

條棱的夾角大小(弧度制).

(1)比較三種隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望大??；(參考數(shù)據(jù)arctan4?0.3661,arctang)=0.2677,arctan2V2?

0.3918)

(2)現(xiàn)單獨(dú)研究棱長n，記(x+1)x(%+|)x…X(%+￡)(nN2且neN*)，其展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為Sn,

含/項(xiàng)的系數(shù)為七.

①若色=an2+bn+c,對n=2,3,4成立，求實(shí)數(shù)a,b，。的值；

②對①中的實(shí)數(shù)a,b，。用數(shù)字歸納法證明：對任意九＞2且n