平面向量及其應用章末題型歸納總結

（基礎篇）

【題型歸納目錄】

題型一：向量的線性運算

題型二：向量的數(shù)量積運算、夾角、模長

題型三：向量范圍與最值問題

題型四：余弦定理、正弦定理

題型五：平面向量的實際應用

題型六：解三角形范圍與最值問題

題型七：圖形類問題

題型八：三角形形狀判斷與多解問題

題型九：解三角形的實際應用

題型十：中線、角平分線、高問題

【思維導圖】

【知識點梳理】

知識點1:向量的有關概念

(1)定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模).

(2)向量的模：向量在的大小，也就是向量下的長度，記作|而

(3)特殊向量：

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：6與任一向量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

知識點2：向量的線性運算

(1)向量的線性運算

運算定義法則(或幾何意義)運算律

①交換律

求兩個向量和的a+b=b+a

加法廠丁

運算aa②結合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

求@與B的相反

向量的和的

減法ci—b=6Z+(~b)

運算叫做I與Ba

的差三角形法則

(1)|Aa|=|21|51

4(4萬)=(2//)3

求實數(shù)X與向量(2)當幾>0時，23與萬的方向相同；當

數(shù)乘(A+/Li)a=Aa+jLta

@的積的運算2<0時，25與萬的方向相同；

4(萬+B)=Aa+Ab

當2=0時，23=0

知識點3：平面向量基本定理和性質

1、共線向量基本定理

如果方=痛（力€幻，貝Ui/區(qū)；反之，如果//區(qū)且BwO,則一定存在唯一的實數(shù)；I,使@=/.（口

訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）.

2、平面向量基本定理

如果1和易是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量3,都存在唯一的一對

實數(shù)4,使得@=41+々尾，我們把不共線向量I，尾叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記為

{—e?},+^62叫做向量3關于基底{烏勺}的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1與最不共線，平面內的任一向量G都可以分解成形如

方=4q+402的形式，并且這樣的分解是唯一的.4華+402叫做q,e2的一個線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標表示的基礎.

推論1：若N=4q+4e?=4弓+402,則4=4，%=4.

推論2：若1=41+4最=0，則4=4=0.

3、線段定比分點的向量表達式

如圖所示，在△N8C中，若點。是邊3c上的點，且麗=彳友（47-1）,則向量

方+2就

~AD=.在向量線性表示（運算）有關的問題中，若能熟練利用此結論，往往能有“化腐朽為神奇”

1+2

之功效，建議熟練掌握.

4、三點共線定理

平面內三點N,B,C共線的充要條件是：存在實數(shù)使反=2a+〃礪，其中彳+〃=1,。為

平面內一點.此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應熟練掌握.

A.B、C三點共線

O存在唯一的實數(shù);I,使得就=幾而；

o存在唯一的實數(shù)X,使得云=刀+4萬；

o存在唯一的實數(shù)；I,使得云=（1-㈤刀+2礪;

O存在2+〃=1,使得皮=疝+〃礪.

5、中線向量定理

如圖所示，在△NBC中，若點?；歼?c的中點，則中線向量方=；(荏+*)，反之亦正確.

知識點4：平面向量的坐標表示及坐標運算

(1)平面向量的坐標表示.

在平面直角坐標中，分別取與X軸，》軸正半軸方向相同的兩個單位向量7,7作為基底，那么由平面向

量基本定理可知，對于平面內的一個向量萬，有且只有一對實數(shù)%/使5=%:+百，我們把有序實數(shù)對(XJ)

叫做向量)的坐標，記作5=(%/).

(2)向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有

向量(x,y)、對應)向量CM、=.布廢)點A(x,y).

(3)設值=(再,必)，b=(x2,y2),貝！J。+(=(占+%2，%+%)，a-b=(xx-x29yl-y2),即兩個向量的和

與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.

若不=(%/),2為實數(shù)，則=即實數(shù)與向量的積的坐標，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應

坐標.

(4)設4(再,必)，5(x2,y2),則45=。3-04=(芯-%2，%一%),即一個向量的坐標等于該向量的有向

線段的終點的坐標減去始點坐標.

(5)平面向量的直角坐標運算

22

①已知點4(不，必)，B(X2,y2),則45=(%2-再，歹2-必)，|AB|=^/(x2-xj+(j2-y^

②已知N=(%i，必)，b=(x2,y2),貝！J=(玉±々，乂士%)，4萬=(九%1，%必)，

a-b=xrx2+yxy2,|a|=Jx；+y；.

a//box1y2-x2y1=0,aLb<=>xxx2+yxy2=0

知識點5：平面向量的數(shù)量積

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量G與人我們把數(shù)量miiBicosd叫做）與彼的數(shù)量積（或內積），記作。石，即

a-b=\a^b\cos0,規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|2|cosd叫做向量）在3方向上的投影數(shù)量，當。為銳角時，它是正數(shù)；當。為鈍角時,

它是負數(shù)；當。為直角時，它是0.

②24的幾何意義：數(shù)量積2%等于,的長度|2|與Z在日方向上射影|Z|cos。的乘積.

③設3,3是兩個非零向量，它們的夾角是。力與3是方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,過萬

的起點4和終點8,分別作畫所在直線的垂線，垂足分別為4,耳，得到麗，我們稱上述變換為向量3

向向量行投影，病叫做向量萬在向量B上的投影向量.記為舊|cos在.

知識點6：數(shù)量積的運算律

已知向量石、Z、2和實數(shù)X,貝I」：

@a-b=b-a；

(2)(Aa)-b=2(5-b)=a'(Ab)；

@(a+b)-c=a-c+b-c.

知識點7：數(shù)量積的性質

設方、1都是非零向量，"是與Z方向相同的單位向量，e是日與"的夾角，則

(T)^-a=a-?=|a|cos6.@a1b<^>a-b=Q.

③當方與Z同向時，a-b^a\\b\；當方與Z反向時，a-b^-\a\\b\.

特別地，鼠或值|=后房.

④cos6="'(\a\\b|^0).⑤[Z]W]&|向.

\a\\b\

知識點8：數(shù)量積的坐標運算

已知非零向量2=（西，乂），b={x2,y2）,6為向量方、6的夾角.

結論幾何表示坐標表示

模a\=yja-a1a\=y]x2+y2

數(shù)量積

a-b=\a\\b\cos0a-b=x1x2+yxy2

COS”,中2+22

cos0=

夾角Wg西+才?收+式

\a\\b\

的充要

a-b=0西工2+其力=0

條件

a//b的充要

a=AbCbw0)x,y2~x2yt=0

條件

a-^<|a5（當

I與

1項，+yty2氏

且僅當3〃3時等號成；+＞；,也；+

|初,|的關系Jxy2

立）

知識點9：正余弦定理

（1）正余弦定理：在八42。中，角B,C所對的邊分別是a,b,c,R為A43C外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

，上=上=2a

公式b2=c2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC.

,b2+c2-a2

cosA=---------------；

(1)Q=2Rsin/,b=2RsinB,c=2RsinC；2bc

ahcnc2+a2-b2

常見變形(2)sin/=——,sinB=——,sinC=——；cosB=---------------；

2R2R2Rlac

-a2+b2-c2

cosC=---------------.

lab

（2）面積公式:

S.ABC=—absinC=—Z>csin^=—acsinfi

222

&/8。=筆=；（°+6+°）"。?是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R,八）

知識點10:正余弦定理的相關應用

（1）正弦定理的應用

①邊化角，角化邊oa:6:c=sin/:sing:sinC

②大邊對大角大角對大邊

a>bo4>5osin/>sinBocosA<cosB

a+b+ca+bb+ca+cab

③合分比:=2R

sin4+sin8+sinCsinZ+sin5sinB+sinCsin4+sinCsin/sinBsinC

(2)△ZSC內角和定理：A+B+C=TI

①sinC=sin(/+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccos4+QCOSC.

②-cosC=cos(4+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)=t&n'+tan'=tanA+tanB+tanC=tanA-tanB?tanC

J1一tan/?tanB

,--x..A+BCA+B.C

出sin(---)=cos—；cos(---)=sin—

⑤在ZU2C中，內角4B,。成等差數(shù)列o3=2,/+C=^

知識點11:解三角形的實際應用

1、仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

鉛

垂

線

2、萬位角

從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如8點的方位角為a（如圖②）.

3、方向角：相對于某一正方向的水平角.

（1）北偏東a,即由指北方向順時針旋轉a到達目標方向（如圖③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉a到達目標方向.

（3）南偏西等其他方向角類似.

4、坡角與坡度

（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.

（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，z.為坡度）.坡度又稱為坡比.

【典型例題】

題型一：向量的線性運算

【例1】如圖所示，△/8C中，點。是線段2C的中點，E是線段的靠近A的三等分點，則屜=()

A

BDC

5—?1—??—?1—?1—?1-

A.-BA——BCB.-BA+-BCC,-BA+-BCD.-RA+-JC

33363333

【變式1-1］如圖，在△45。中，~BD=^DC,則1萬=(

)

A

BD?

A.-AB+-ACB.-AB+-A'C

2244

C.-AB+-ACD.-AB+-A-c

3333

【變式1-2］如圖，已知平行四邊形N8CD,AB=a,AD=b,E為CD中點，則9=()

AH

DEC

.］-*］_—?

A.a+bB.a—bC.aH—bD.—a+b

22

【變式1-3］在△45。中，。為5C邊上的中點,￡是40上靠近A的四等分點，則屜=()

A.--AB+-ACB.AAB_IAC

8888

7—?1—?

C.——AB——ACD.AAB+-AC

8888

題型二：向量的數(shù)量積運算、夾角、模長

【例2】已知平面向量入g滿足同=4,問=8,￡與B的夾角為小

⑴求卜-可；

(2)當實數(shù)人為何值時，(「+濡)，(忘-肛

【變式2-1】已知|叫=1,|向=2,且0+3＞伍-23)=-6.

⑴求向量m與B的夾角大??；

(2)求|2+2司.

【變式2-2】已知向量同=2,忖=3,附一2同=6.

(1)求向量的夾角9；

(2)求(方+2孫僅"3)的值.

【變式2-3］已知向量之石的夾角為?，同=3,問=2

⑴求歸一2同；

(2)若布+2不與a-的夾角為鈍角，求實數(shù)上的取值范圍.

題型三：向量范圍與最值問題

【例3】己知芻心是夾角為60。的兩個單位向量，a=1el+e2,b=1e2(AeR).

(1)若可以作為一組基底，求實數(shù)2的取值范圍；

(2)若垂直，求實數(shù)X的值；

(3)求|?的最小值.

2

【變式3-1］已知在平面直角坐標系中，。月OBOCOA+WB^#,其中。為

坐標原點.

⑴求方在瓦方向上的投影向量；

(2)證明：4B、C三點共線，并求口1的最小值.

【變式3-2］如圖，已知正方形/BCD的邊長為1,點E是48邊上的動點，求:

cB

J-----'A

⑴詼?瓦的值；

⑵瓦?皮的最大值.

【變式3-3】已知向量a=(1,加)，1=(2,”).

(1)若機=3,n-—l,且a_L(a+忘)，求實數(shù)2的值;

⑵若B++5,求鼠否的最大值.

題型四：余弦定理、正弦定理

【例4】在△4BC中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c,ccos8=(2a-b)cosC,則角C=()

A.生B.工C.也

633

4+r

【變式4-1】在△45。中，若BCsin^—=ZCsin4,則角5=()

7171_71

A.-B.-C.一

462

【變式4-2】已知△4BC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,a+ccosA=b+acosC.

(1)求角C的大??；

⑵若c=2,△4BC的面積為百，求△4BC的周長.

4

【變式4-3］在△48C中，角45,C所對的邊分別為a,6,c,已知。=2,cosB=-

(1)若6=4,求sin/的值；

(2)若△4BC的面積S=3,求6和c的值.

題型五：平面向量的實際應用

【例5】已知一個物體在三個力冗=(0,1),^=(-1,-3),居的作用下，處于靜止狀態(tài)，則冗=()

A.(-1,-2)B.(1,2)C.(2,1)D.(-2,1)

【變式5-1】一物體在力聲的作用下，由點42,15)移動到點3(7,8),已知芹=(-4,3),則戶對該物體所做的

功為()

A.-41B.-1C.1D.41

【變式5-2］在水流速度lOkm/h的自西向東的河中，如果要使船以10Gkm/h的速度從河的南岸垂直到達北

岸，則船出發(fā)時行駛速度的方向和大小為()

A.北偏西30°,20km/h

B.北偏西60°,loJEkm/h

C.北偏東30°,ioj5km/h

D.北偏東60。，20km/h

【變式5-3】已知飛機從/地按北偏東30。的方向飛行2000km到達8地，再從8地按南偏東30。的方向飛

行2000km到達C地，再從C地按西南方向飛行l(wèi)ooogkm到達。地.則。地距/地()

A.2000kmB.2000也kmC.1000kmD.1000j5km

題型六：解三角形范圍與最值問題

【例6】在△4BC中，角4昆C的對邊分別為。也c,S為△ABC的面積，若2S-J分ccos/=0.

(1)求cos4；

(2)若a=VL求△NBC周長的范圍.

【變式6-1】已知A/BC的內角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,且2bsinN=atan3.

(1)求角8；

⑵若a+c=4,求周長的最小值，并求出此時A/BC的面積.

【變式6-2】已知MBC中，角4民C的對邊分別為a,6,c,且2abeosC=/sin28+〃sin24.

⑴求C;

(2)若c=2,求△4BC面積的最大值.

【變式6-3］在A48C中，角4B,C的對邊分別是a,b,c,若6cos/="asin8.

3

(1)求角力的大?。?/p>

(2)若b+c=6,求△A8C面積的最大值.

題型七：圖形類問題

［例7］如圖，在△4BC中,NC4B的平分線交8C邊于點E,點。在AB邊上,AE=7,心=3幣,

cosZCAE=

14

(1)求//DE的大??；

2兀

⑵若ZACB=—，求ACDE的面積.

【變式7-1］如圖，在四邊形/2C〃中，48,2。,//。。=120。,48=8=240,4/。。的面積為也.

一2

(1)求sin/CA8；

(2)證明：ZCAB=ACAD.

【變式7-2］如圖，A^ZJC是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,BD交AC于E,

AB=2.

⑴求—N3E的度數(shù);

(2)求的面積.

【變式7-3］如圖，在平面四邊形48co中，ZADB=45°,ZBAD=\Q5°,AD=—,BC=2,AC=3.

2

(1)求邊N2的長;

(2)求△ABC的面積.

題型八：三角形形狀判斷與多解問題

【例8】在△NBC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若c<6cosZ,則△ABC的形狀是()

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.等邊三角形

A—n

【變式8-1】已知△48C的三個內角的對邊分別為a,6,c,且滿足cos/-cos8=------,則△48C的形

C

狀為()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【變式8-2]△/呂。中，角4B、。對應的邊分別為。、b、c,解下列三角形，只有一解的時()

A.5=30,c=4,6=3B.5=60,c=4,b=3.5

C.C=45°,a=2,c=V3D.C=3Q\a=3,c=2^3

【變式8-3】在△/5C中，a=x,b=2,5=45。.若利用正弦定理解△/呂。有兩解，則1的取值范圍是

()

A.2<x<273B.2<x<20

C.x>2D.y/2<x<2A/2

題型九：解三角形的實際應用

【例9】如圖，某運動員從A市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時5km的速度向東進行長跑訓練，長跑開

始時，在A市南偏東方向距A市25km,且與海岸距離為15km的海上8