專題15動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用（講義）

一、核心知識(shí)

一、動(dòng)量守恒定律

1.內(nèi)容：如果一個(gè)系統(tǒng)不受外力，或者所受外力的矢量和為零，這個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不

變，這就是動(dòng)量守恒定律.

2.表達(dá)式：

（1）P=P',系統(tǒng)相互作用前總動(dòng)量。等于相互作用后的總動(dòng)量少.

（2）nhVi+nkVi—nhVi+nkv2',相互作用的兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)，作用前的動(dòng)量和等于作用

后的動(dòng)量和.

（3）△.=-△2,相互作用的兩個(gè)物體動(dòng)量的增量等大反向.

（4）Ap=O,系統(tǒng)總動(dòng)量的增量為零.

3.動(dòng)量守恒定律的五個(gè)特性

矢量性動(dòng)量守恒定律的表達(dá)式為矢量方程，解題應(yīng)選取統(tǒng)一的正方向

相對(duì)性各物體的速度必須是相對(duì)同一參考系的速度（一般是相對(duì)于地面）

動(dòng)量是一個(gè)瞬時(shí)量，表達(dá)式中的R、R……必須是系統(tǒng)中各物體在相互作用前同

同時(shí)性一時(shí)刻的動(dòng)量，……必須是系統(tǒng)中各物體在相互作用后同一時(shí)刻的動(dòng)

量

系統(tǒng)性研究的對(duì)象是相互作用的兩個(gè)或多個(gè)物體組成的系統(tǒng)

動(dòng)量守恒定律不僅適用于低速宏觀物體組成的系統(tǒng)，還適用于接近光速運(yùn)動(dòng)的微

普適性

觀粒子組成的系統(tǒng)

4.適用條件

（1）理想守恒：不受外力或所受外力的合力為零.

不受外力或所受外力的合力為零.不能認(rèn)為系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體所受的合外力都為零，更不能

認(rèn)為系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).

（2）近似守恒：系統(tǒng)內(nèi)各物體間相互作用的內(nèi)力遠(yuǎn)大于它所受到的外力.

（3）某一方向守恒：如果系統(tǒng)在某一方向上所受外力的合力為零，則系統(tǒng)在這一方向上動(dòng)

量守恒.

二、動(dòng)量守恒定律應(yīng)用的兩類模型

（一）碰撞

1.碰撞：兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體在相遇的極短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生非常大的相互作用力，而其他的

相互作用力相對(duì)來說可以忽略不計(jì)的過程.

2.彈性碰撞：如果碰撞過程中機(jī)械能守恒，這樣的碰撞叫做彈性碰撞，即EK|=EK2（能夠完

全恢復(fù)形變）；

3.非彈性碰撞：如果碰撞過程中機(jī)械能不守恒，這樣的碰撞叫做非彈性碰撞，即E「＞EK2（不

能夠完全恢復(fù)形變）；

4.完全非彈性碰撞：碰撞過程中物體的形變完全不能恢復(fù)，以致兩物體合為一體一起運(yùn)動(dòng)，

即兩物體在非彈性碰撞后以同一速度運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)機(jī)械能損失最大.

碰撞的特點(diǎn)：

1.相互作用時(shí)間極短.

2、相互作用力極大，即內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，遵循動(dòng)量守恒定律.

碰撞過程滿足：

（1）動(dòng)量守恒；

（2）機(jī)械能不增加;

(3)速度要合理；

①若碰前兩物體同向運(yùn)動(dòng)，則應(yīng)有「后〉〃前，碰后原來在前的物體速度一定增大，若碰后兩

物體同向運(yùn)動(dòng)，則應(yīng)有y前'>-后'.

②碰前兩物體相向運(yùn)動(dòng)，碰后兩物體的運(yùn)動(dòng)方向不可能都不改變.

3.物體的碰撞是否為彈性碰撞的判斷

彈性碰撞是碰撞過程中無機(jī)械能損失的碰撞，遵循的規(guī)律是動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守

恒定律，確切地說是碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒，動(dòng)能不變.

(1)題目中明確告訴物體間的碰撞是彈性碰撞.

(2)題目中明確告訴是彈性小球、光滑鋼球或分子(原子等微觀粒子)碰撞的，都是彈性碰撞.

4.彈性碰撞的結(jié)論

兩球發(fā)生彈性碰撞時(shí)應(yīng)滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒.以質(zhì)量為處、速度為歷的小球與

質(zhì)量為Uh的靜止小球發(fā)生正面彈性碰撞為例，則有

nhV\—HhV\+如質(zhì)'

12__1,2,1,2

2?歷=嚴(yán)V1十亍?吸

5.非彈性碰撞特征描述及重要關(guān)系式

發(fā)生非彈性碰撞時(shí)，內(nèi)力是非彈性力，部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為物體的內(nèi)能，機(jī)械能有損失,

動(dòng)量守恒，總動(dòng)能減少.滿足：

nhVi-\-nkVi=nhVi+仍吸'

1111

2>

於

2-2-2-飛2+-2-nkVi.

兩物體發(fā)生彈性正碰后的速度滿足：

/、nh-nk2rai

⑴「汴清、還==如

(2)兩球質(zhì)量相等時(shí)，兩球碰撞后交換速度.

(二)反沖

1.定義：一個(gè)靜止的物體在內(nèi)力的作用下分裂為兩個(gè)部分，一部分向某個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，另一

部分必然向相反的方向運(yùn)動(dòng)，這個(gè)現(xiàn)象叫作反沖.

要點(diǎn)：①內(nèi)力作用下；②一個(gè)物體分為兩個(gè)部分；③兩部分運(yùn)動(dòng)方向相反.

2.原理：遵循動(dòng)量守恒定律

作用前：P=0

作用后：P'=mv-Mv'

則根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：P'=P

m

即mv-Mv'=0,故有：v'=——v

M

3.反沖運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用和防止

防止：榴彈炮

應(yīng)用：反擊式水輪機(jī)、噴氣式飛機(jī)、火箭

4.人船模型

(1)模型：如果系統(tǒng)是由兩(或多)個(gè)物體組成的，合外力為零，且相互作用前合動(dòng)量為

零，我們稱為人船模型。

(2)問題提出

如右圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng),質(zhì)量為叱的小船停在靜水中，一個(gè)質(zhì)量為?的人站在船頭，若

不計(jì)水的粘滯阻力，當(dāng)人從船頭走到船尾的過程中，船和人對(duì)地的位移各是多少？

【解析】由動(dòng)量守恒定律，得-m2v2=0徵i

…-__4m2

由于在全過程動(dòng)量都守恒，所以有mlVi-mv2=0九L

同乘以時(shí)間t,得mlvit-mv2t=0[............7

~S2一^—S]—>?

即mis1=m2s2

又由圖知

SX+S2=L,

m

解得兩物體位移分別為5,=——LSr=—^—L

mA+m2-?7]+m2

（3）模型特點(diǎn)

①兩物體滿足動(dòng)量守恒定律：nhVi—nhVi=0.

②運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：人動(dòng)船動(dòng)，人停船停，人快船快，人慢船慢；人船位移比等于它們質(zhì)量的反比;

人船平均速度（瞬時(shí)速度）比等于它們質(zhì)量的反比，即%=上=叁.

X2v2nh

注意：公式打、匹和X一般都是相對(duì)地面的速度.

二、重點(diǎn)題型分類例析

題型1:動(dòng)量守恒定律的內(nèi)容及表達(dá)式

【例題1】（2020?江蘇鹽城市?高三月考）一個(gè)士兵在皮劃艇上，他連同裝備和皮劃艇的總

質(zhì)量為M,這個(gè)士兵用自動(dòng)步槍沿水平方向射出一發(fā)質(zhì)量為根的子彈，子彈離開槍口時(shí)相

對(duì)步槍的速度為V,射擊前皮劃艇是靜止的，則射出子彈后皮劃艇的速度為（）

mvmvCmv口（M-m）v

A.-----------B.-----

M-mMM+mM

題型2：動(dòng)量守恒定律的條件

【例題2】（2020?全國高三專題練習(xí)）（多選）如圖所示，在光滑的水平面上放有一物體

M,物體上有一光滑的半圓弧軌道，軌道半徑為R,最低點(diǎn)為C,兩端A,B等高，現(xiàn)讓小

滑塊機(jī)從A點(diǎn)由靜止下滑，在此后的過程中，則（）

A.M和相組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，動(dòng)量守恒

B.M和機(jī)組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，動(dòng)量不守怛

C.機(jī)從A到C的過程中M向左運(yùn)動(dòng)，機(jī)從C到8的過程中M向右運(yùn)動(dòng)

D.機(jī)從A到C的過程中，M向左運(yùn)動(dòng)，機(jī)從C到8的過程中Af向左運(yùn)動(dòng)

題型3：彈性碰撞

【例題3】（2020?全國高三專題練習(xí)）（多選）如圖所示，在光滑水平地面上，A、8兩物

體質(zhì)量都為mA以速度v向右運(yùn)動(dòng)，B左端有一輕彈簧且初速度為0,在A與彈簧接觸以

后的過程中（A與彈簧不粘連），下列說法正確的是（）

A.輕彈簧被壓縮到最短時(shí)，A、B系統(tǒng)總動(dòng)量仍然為根v

B.輕彈簧被壓縮到最短時(shí)，A的動(dòng)能為一mv?

4

C.彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，A的動(dòng)量一定為零

D.A、2兩物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

題型4：非彈性碰撞

【例題4】（2020?河北衡水市?高三專題練習(xí)）質(zhì)量為80kg的冰球運(yùn)動(dòng)員甲，以5m/s的速

度在水平冰面上向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，與質(zhì)量為100kg、速度為3m/s的迎面而來的運(yùn)動(dòng)員乙相撞，

碰后甲恰好靜止。假設(shè)碰撞時(shí)間極短，下列說法中正確的是（）

A.碰后乙向左運(yùn)動(dòng)，速度大小為lm/s

B.碰后乙向右運(yùn)動(dòng)，速度大小為7m/s

C.碰撞中甲、乙的機(jī)械能總共增加了1450J

D,碰撞中甲、乙的機(jī)械能總共損失了1400J

題型5：子彈打木塊問題

【例題5】（2021?全國高三專題練習(xí)）如圖所示，質(zhì)量為M的長(zhǎng)木塊放在水平面上，子彈

沿水平方向射入木塊并留在其中，測(cè)出木塊在水平面上滑行的距離為s。已知木塊與水平

面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，子彈的質(zhì)量為相，重力加速度為g,空氣阻力可忽略不計(jì)，則由此

可得子彈射入木塊前的速度大小為（)

M—m----

B.------------,2/〃gs

m

mmI-----

C.D.

m+M4^M—m

題型6：爆炸問題

【例題6】（2020?鞏義市第四高級(jí)中學(xué)高三期中）靜止在水平地面上的兩小物塊A、B,

質(zhì)量分別為機(jī)A=L°kg，"%=4.0kg；兩者之間有一被壓縮的微型彈簧，如圖所示。某

時(shí)刻，將壓縮的微型彈簧釋放，使A、B瞬間分離，兩物塊獲得的動(dòng)能之和為

Ek=10.0JoA、B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為〃=0.20。重力加速度取g=10m/s2。

（1）求彈簧釋放后瞬間A、B速度的大小；

（2）物塊A、B中的哪一個(gè)先停止？該物塊剛停止時(shí)A與B之間的距離是多少？還需要多久

另一個(gè)物體也能停止？

（3）A和B都停止后，A與B之間的距離是多少？

題型7：火箭原理

【例題7】（2020?四川省瀘縣第一中學(xué)高三月考）（多選）“世界上第一個(gè)想利用火箭飛

行的人”是明朝的士大夫萬戶。他把47個(gè)自制的火箭綁在椅子上，自己坐在椅子上，雙手

舉著大風(fēng)箏，設(shè)想利用火箭的推力，飛上天空，然后利用風(fēng)箏平穩(wěn)著陸。假設(shè)萬戶及所攜

設(shè)備（火箭（含燃料）、椅子、風(fēng)箏等）總質(zhì)量為〃，點(diǎn)燃火箭后在極短的時(shí)間內(nèi)，質(zhì)量為機(jī)

的熾熱燃?xì)庀鄬?duì)地面以W的速度豎直向下噴出。忽略此過程中空氣阻力的影響，重力加速

度為g,下列說法中正確的是（）

A.火箭的推力來源于燃?xì)鈱?duì)它的反作用力

B.在燃?xì)鈬姵龊蟮乃查g，火箭的速度大小為

M—m

22

mv

C.噴出燃?xì)夂笕f戶及所攜設(shè)備能上升的最大高度為八，°.

g（M-m）

D.在火箭噴氣過程中，萬戶及所攜設(shè)備機(jī)械能守恒

題型8：人船模型

【例題8】（2020?全國高三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，質(zhì)量150kg的木船長(zhǎng)/=4m,質(zhì)

量加=50kg的人站立在船頭，人和船靜止在平靜的水面上不計(jì)水的阻力，現(xiàn)在人要走到

船尾取一樣?xùn)|西，則人從船頭走到船尾過程中，船相對(duì)靜水后退的距離為多大?

題型9：用動(dòng)量守恒解決多過程問題

【例題9】(2020?北京高三月考)如圖，光滑水平面上靜止一質(zhì)量加=L0kg、長(zhǎng)L=0.3m

的木板，木板右端有質(zhì)量加2=1.0kg的小滑塊，在滑塊正上方的。點(diǎn)用長(zhǎng)r=0.4m的輕質(zhì)細(xì)

繩懸掛質(zhì)量?7=0.5kg的小球。將小球向右上方拉至細(xì)繩與豎直方向成獲60。的位置由靜止

釋放，小球擺到最低點(diǎn)與滑塊發(fā)生正碰并被反彈，碰撞時(shí)間極短，碰撞前后瞬間細(xì)繩對(duì)小

球的拉力減小了4.8N,最終小滑塊恰好不會(huì)從木板上滑下。不計(jì)空氣阻力，滑塊、小球均

可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g取lOm/s?。求：

(1)小球碰前瞬間的速度大小；

(2)小球碰后瞬間的速度大小;

(3)小滑塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

題型10：動(dòng)量守恒與能量結(jié)合問題

【例題10](2020?邵陽縣第一中學(xué)高三月考)如圖所示，一平板小車靜止在光滑水平面

上，質(zhì)量均為機(jī)的物體A、B分別以2Vo和W的初速度，沿同一直線同時(shí)同向水平滑上小

車，剛開始滑上小車的瞬間，A位于小車的最左邊，B位于距小車左邊/處。設(shè)兩物體與小

車間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為山小車的質(zhì)量也為加，最終物體A、B都停在小車上。求：

⑴最終小車的速度大小是多少?方向怎樣？

(2)若要使物體A、B在小車上不相碰，剛開始時(shí)A、B間的距離/至少多長(zhǎng)?

2wvo

R叩，

00

'/〃/〃.*一〃〃〃〃〃/〃〃〃f〃〃.

參考答案

【例題1】B

【解析】子彈與皮劃艇(含士兵及裝備)組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以子彈的速度方向?yàn)檎较?，以地面為?/p>

考系，設(shè)皮劃艇的速度大小為匕，則子彈的速度大小為丫-匕，由動(dòng)量守恒定律得

v-Vj)-(M-m)=0

解得匕=豆，故選B。

【例題2】BD

【解析】AB.小滑塊，"從A點(diǎn)靜止下滑，物體M與滑塊機(jī)組成的系統(tǒng)水平方向所受合力為零，系統(tǒng)水平

方向動(dòng)量守恒，豎直方向有加速度，合力不為零，所以系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，M和機(jī)組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，

選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；

CD.系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，由于系統(tǒng)初始狀態(tài)水平方向動(dòng)量為零，所以小從A到C的過程中，機(jī)向右

運(yùn)動(dòng)，M向左運(yùn)動(dòng)，城從C到2的過程中，M還是向左運(yùn)動(dòng)，即保證系統(tǒng)水平方向動(dòng)量為零，選項(xiàng)C錯(cuò)

誤，D正確。故選BD。

【例題3】AC

【解析】A、4和B組成的系統(tǒng)所受的外力之和為零，動(dòng)量守恒，初態(tài)總動(dòng)量為相丫，則彈簧壓縮最短時(shí)，

系統(tǒng)總動(dòng)量仍然為根也故A正確.

B、輕彈簧被壓縮到最短時(shí)A和8的速度相等，由動(dòng)量守恒有根丫=2ww共，可得v共=耳，則此時(shí)A的動(dòng)

1,1,

能為&,=彳mv^=-mv；故B錯(cuò)誤.

28

C、A和2在相對(duì)靠近壓縮彈簧和相對(duì)遠(yuǎn)離彈簧恢復(fù)的過程中，滿足系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，有：

mv=mvA+mvB,mv~=mv^+mv^,可得匕=0,vB=v；故C正確.

D、A、8為系統(tǒng)的機(jī)械能有一部分轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，機(jī)械能不守恒，而A和8及彈簧組成的系統(tǒng)沒

有其它能參與轉(zhuǎn)化機(jī)械能守恒，而故D錯(cuò)誤.故選AC.

【例題4】D

【解析】AB.甲、乙碰撞的過程中，甲、乙組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，設(shè)碰撞前甲的速度為

v甲，乙的速度為u乙，碰撞后乙的速度為M乙，由動(dòng)量守恒定律得：相針甲一加乙"乙二加乙M乙

代入數(shù)據(jù)解得：M乙=lm/s,方向水平向右，故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；

CD.甲、乙碰撞過程機(jī)械能的變化量：入石=3叫偏+3吆%—3吆吃

代入數(shù)據(jù)解得AE=1400J,即機(jī)械能減少了1400J,故C錯(cuò)誤，D正確。故選D。

【例題5】A

【解析】子彈擊中木塊過程，系統(tǒng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得

mvi=(M+m)v

解得『4

M+m

子彈擊中木塊后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)子彈與木塊組成的系統(tǒng)，由動(dòng)能定理得：

一〃(M+m)gs=O~(M+m)v2

M+mi__

解得V1=-------J2〃gs,故A正確，BCD錯(cuò)誤。故選A。

m

【例題6】(l)4m/s,Im/s；(2)B先停止運(yùn)動(dòng)，Im,1.5s；(3)4.25m

【解析】

(1)由題意可知，兩小物塊在彈簧被釋放時(shí)滿足動(dòng)量守恒定律，規(guī)定向右為正方向，則

WV

AA+/nBVB=°

112

2mv

且IMAVA+~BB="=10J

聯(lián)立可得VA=4m/s,vB=-Im/s

所以彈簧釋放后瞬間A、B速度的大小分別為4m/s和lm/So

（2）由題意可知，兩小球在彈簧釋放后將做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度相同，其大小為

2

aA==a=4g=2m/s

由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式可得v=%+0

物塊A停下來需要的時(shí)間為人=2s

aA

物塊B停下來需要的時(shí)間為。='=0.5s

1

所以可知，物塊B先停止運(yùn)動(dòng)。物塊B從彈簧釋放到停下所運(yùn)動(dòng)的位移為/=5為灰?=025m

在這段時(shí)間內(nèi)，物塊A運(yùn)動(dòng)的位移為乙=vAtB=0.75m

則此時(shí)兩物塊相距的距離為AX=XB+XA=1m

物塊A想停下還需要的時(shí)間為加=心-灰=L5s

（3）物塊A從彈簧釋放到停下所運(yùn)動(dòng)的位移為X、=~aAt^=4m

則A和B都停止后，A與B之間的距離是&==4.25m

【例題7】AB

【解析】A.火箭的推力來源于燃料燃燒時(shí)產(chǎn)生的向后噴出的高溫高壓氣體對(duì)火箭的反作用力，故A正

確；

B.在燃?xì)鈬姵龊蟮乃查g，視萬戶及所攜設(shè)備（火箭（含燃料）、椅子、風(fēng)箏等）為系統(tǒng)，動(dòng)量守恒，設(shè)火箭的

速度大小為也規(guī)定火箭運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，則有（M-陰）丫-根％=0

解得火箭的速度大小為v=—%

M—m

故B正確;

C.噴出燃?xì)夂笕f戶及所攜設(shè)備做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得上升的最大高度為

,v2m2Vg

h———-------x--------------

2g2(M-myg

故C錯(cuò)誤；

D.在火箭噴氣過程中，燃料燃燒時(shí)產(chǎn)生的向后噴出的高溫高壓氣體對(duì)萬戶及所攜設(shè)備做正功，所以萬戶

及所攜設(shè)備機(jī)械能不守恒，故D錯(cuò)誤。故選AB。

[例題8]1m

Y

【解析】設(shè)船移動(dòng)距離為X,則人移動(dòng)距離為/-X,以船行方向?yàn)檎较?，船?duì)地的平均速度為7,人對(duì)

7—Xx]—x

地的平均速度為-----，如圖所示，由動(dòng)量守恒定律有M--m——二0

ttt

即Mx-m(l-x)=0

【例題9】(l)2m/s；(2)0.4m/s；(3)0.12。

【解析】

(1)小球下擺過程，機(jī)械能守恒根gr(l—cos8)=；mv2

小球碰前瞬間的速度大小v=y[gr=2m/s

2,2

(2)小球與小滑塊碰撞前、后瞬間，由向心力公式可得：FT—mg=m—,F\—mg=m-—

rr

由題意得：尸T一尸T=4.8N

聯(lián)立求得碰后瞬間小球的速度大小為v'=0.4m/s

(3)小球與小滑塊碰撞過程動(dòng)量守恒，取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mv=-mv'+m2Vi

解得：vi=1.2m/s

小滑塊在木板上滑動(dòng)過程中動(dòng)量守恒，可得：加2也=(M21+