第17講基本立體圖形目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀①利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。②知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。③能用斜二測(cè)法畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合）的直觀圖。1.通過對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系；能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。2.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征；了解簡(jiǎn)單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征。3.掌握用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖；會(huì)用斜二測(cè)畫法畫常見的柱、錐、臺(tái)、球以及簡(jiǎn)單組合體的直觀圖。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01棱柱、棱錐和棱臺(tái)1.棱柱(1)概念：一般地，由一個(gè)平面多邊形沿某一方向平移形成的空間圖形叫作棱柱.平移起止位置的兩個(gè)面叫作棱柱的底面，多邊形的邊平移所形成的面叫作棱柱的側(cè)面(如圖所示).(2)表示與分類：底面為三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……左上圖為三棱柱，右上圖為六棱柱，分別記作棱柱ABC-A'B'C'棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'。(3)棱柱的特點(diǎn)：兩個(gè)底面是全等的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行，側(cè)面都是平行四邊形?！疚Ⅻc(diǎn)撥】(1)概念中平移的平面多邊形包括它的內(nèi)部.(2)棱柱的兩個(gè)底面互相平行.(3)有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱.如圖所示的幾何體不滿足“相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行”，所以它不是棱柱。【即學(xué)即練1】如圖，已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)4，高為7，一質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)，沿三棱柱側(cè)面繞行兩周到達(dá)的最短路線長(zhǎng)為（

）A．25 B．24 C．31 D．28【答案】A【分析】根據(jù)正三棱柱的側(cè)面展開圖求得最短線路長(zhǎng).【詳解】正三棱柱的側(cè)面展開圖是底邊長(zhǎng)為，高為的矩形，所以繞行兩周的最短路線長(zhǎng)為.故選：A2.棱錐(1)概念：當(dāng)棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，得到的空間圖形叫作棱錐(如圖所示).(2)表示與分類：底面為三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐……右上圖為四棱錐，可記作棱錐S-ABCD.(3)棱錐的特點(diǎn)：底面是多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形?！疚Ⅻc(diǎn)撥】棱錐的特征：①底面是多邊形；②側(cè)面都是三角形；③側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)。需要注意“有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形”的幾何體不一定是棱錐?！炯磳W(xué)即練2】如圖所示，在三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（

）A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．組合體【答案】B【分析】根據(jù)圖形和棱錐的定義及結(jié)構(gòu)特征，即可得出結(jié)論．【詳解】三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點(diǎn)，四邊形為底面的四棱錐．故選：B．3.棱臺(tái)(1)概念：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分稱之為棱臺(tái)。(如圖所示)(2)表示與分類：棱臺(tái)用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示，如上圖中的棱臺(tái)記作棱臺(tái)ABCD-A'B'C'D'。由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫作三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)?！疚Ⅻc(diǎn)撥】判斷棱臺(tái)的步驟：先看上、下底面是否互相平行，再看各條側(cè)棱延長(zhǎng)線是否相交于一點(diǎn).只具備其中一條時(shí)不是棱臺(tái)。如果兩底面的對(duì)應(yīng)邊平行且成比例，那么這個(gè)幾何體是棱臺(tái)?！炯磳W(xué)即練3】下列關(guān)于棱錐?棱臺(tái)的說法正確的是（

）A．有兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間部分所圍成的幾何體叫做棱臺(tái)C．棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由若干個(gè)等腰梯形組成的D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)棱臺(tái)的定義以及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A，棱臺(tái)的各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，因此有兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺(tái)，故A錯(cuò)；對(duì)于B，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間部分所圍成的幾何體叫做棱臺(tái)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，棱臺(tái)的側(cè)面展開圖不一定是由若干個(gè)等腰梯形組成的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，故D正確.故選:D.4.多面體棱柱、棱錐和棱臺(tái)都是由一些平面多邊形圍成的空間圖形。由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形叫作多面體.多面體有幾個(gè)面就稱為幾面體，如三棱錐就是四面體。知識(shí)點(diǎn)02圓柱、圓錐和圓臺(tái)1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念(1)將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形分別叫作圓柱、圓錐、圓臺(tái)(如圖所示)，這條直線叫作軸。(2)垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫作底面。不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫作母線。2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表示方法圓柱、圓錐、圓臺(tái)用表示它們的軸的字母表示，上圖中的圓柱、圓錐、圓臺(tái)可分別表示為圓柱OO',圓錐SO,圓臺(tái)OO'?！疚Ⅻc(diǎn)撥】圓錐的簡(jiǎn)單性質(zhì)(1)平行于底面的截面都是圓面。(2)過軸的截面是全等的等腰三角形。(3)過圓錐頂點(diǎn)與底面相交的截面是等腰三角形。(4)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形?！炯磳W(xué)即練4】有下列命題，其中錯(cuò)誤命題個(gè)數(shù)是（

）①圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體；②過圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形；③以直角三角形一邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；④平行于母線的平面截圓錐，截面是等腰三角形.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征逐一分析四個(gè)命題得結(jié)論．【詳解】解：①圓柱是將矩形以一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體，故①錯(cuò)誤；②過圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，故②正確；③以直角三角形一直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，故③錯(cuò)誤；④平行于母線的平面截圓錐，截面不是等腰三角形，是拋物線，故④錯(cuò)誤．其中錯(cuò)誤命題個(gè)數(shù)為3．故選：C．知識(shí)點(diǎn)03球與復(fù)雜的空間圖形1.概念：半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作球面，球面圍成的空間圖形叫作球體，簡(jiǎn)稱球.如圖所示的球可記為球O.2.球的結(jié)構(gòu)特征用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是一個(gè)圓面.如果截面經(jīng)過球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經(jīng)過球心，則截面圓的半徑小于球的半徑.3.球的截面性質(zhì)球心和截面圓心的連線垂直于截面.球心到截面的距離d與球半徑R及截面圓的半徑r滿足：。4.旋轉(zhuǎn)體一般地，一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面(如圖)，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的空間圖形稱為旋轉(zhuǎn)體。這條定直線叫作旋轉(zhuǎn)軸.圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球都是特殊的旋轉(zhuǎn)體.5.復(fù)雜的空間圖形一些復(fù)雜的空間圖形是由柱體、錐體、臺(tái)體和球等簡(jiǎn)單空間圖形組合而成的空間圖形.它有如下兩種構(gòu)成形式：(1)由簡(jiǎn)單空間圖形拼接而成，如圖1.(2)由簡(jiǎn)單空間圖形截去或挖去一部分而成，如圖2.【即學(xué)即練5】下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．球體是旋轉(zhuǎn)體 B．圓柱的母線平行于軸C．斜棱柱的側(cè)面中沒有矩形 D．用平行于正棱錐底面的平面截正棱錐所得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)【答案】C【分析】利用球體的定義判斷A；利用圓柱的結(jié)構(gòu)特征判斷B；舉例說明判斷C；利用正棱臺(tái)的定義判斷D作答.【詳解】因球體是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體，即球體是旋轉(zhuǎn)體，A正確；由圓柱的結(jié)構(gòu)特征知，圓柱的母線平行于軸，B正確；如圖，斜平行六面體中，若平面，則側(cè)面四邊形是矩形，C不正確；由正棱臺(tái)的定義知，D正確.故選：C知識(shí)點(diǎn)04直觀圖的斜二測(cè)畫法一般地，用斜二測(cè)畫法畫空間圖形的直觀圖，規(guī)則如下：(1)在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn),再取z軸,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°。(2)畫直觀圖時(shí)把它們畫成對(duì)應(yīng)的：x'軸y'軸和z'軸，它們相交于點(diǎn)O'。并使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°，x'軸和y'軸所確定的平面表示水平面。(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸y'軸或z'軸的線段。(4)已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來的一半?！炯磳W(xué)即練6】水平放置的的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知，軸，則中邊上的中線的長(zhǎng)度為（

）A．5 B．10 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則還原圖形的邊角關(guān)系再求解即可.【詳解】由斜二測(cè)畫法規(guī)則知，即直角三角形，其中,，所以，所以邊上的中線的長(zhǎng)度為.故選：A.能力拓展能力拓展考法01棱柱、棱錐、棱臺(tái)的有關(guān)計(jì)算【典例1】如圖，正四棱錐，M，N為棱PA，PC的中點(diǎn)，平面BMN與棱PD交于點(diǎn)Q，則下列說法正確的是（

）A．四邊形MBNQ是菱形B．四邊形MBNQ對(duì)角線MN中點(diǎn)也是四棱錐高線的中點(diǎn)C．D．【答案】B【分析】如圖連接，、，設(shè)，連接，設(shè)，即可得到，從而判斷B正確，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，即可判斷為上靠近的三等分點(diǎn)，從而得到A、C錯(cuò)誤，因?yàn)閭?cè)棱與底面邊長(zhǎng)關(guān)系無法確定，從而無法判斷；【詳解】解：如圖連接，、，設(shè)，連接，設(shè)，因?yàn)镸，N為棱PA，PC的中點(diǎn)，所以，則為的中點(diǎn)，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可知即為四棱錐的高，故B正確；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，則，因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，所以，即，所以為上靠近的三等分點(diǎn)，顯然，但是，故四邊形不是菱形，且與不相似，故A、C錯(cuò)誤；因?yàn)檎睦忮F的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)關(guān)系無法得知，故無法確定，故D錯(cuò)誤；故選：B考法02圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的有關(guān)計(jì)算【典例2】如圖，圓柱的底面半徑為2，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，點(diǎn)E在圓柱的下底面圓上，若圓柱的側(cè)面積為，且，則（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積為可求得圓柱母線長(zhǎng)，又因?yàn)锳BCD是圓柱的軸截面，可知與圓柱的上下底面垂直，且是下底面圓的直徑，根據(jù)勾股定理計(jì)算可得，即可得出.【詳解】如下圖所示：設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為l，由圓柱的側(cè)面積為可得，得，連接AE，則，連接BE，則，故，故.故選：A.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列命題中不正確的是（

）A．圓柱?圓錐?圓臺(tái)的底面都是圓面B．正四棱錐的側(cè)面都是正三角形C．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺(tái)D．以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，另一腰和兩底邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓臺(tái)【答案】B【分析】由正四棱錐的概念判斷B；由旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征判斷A、C、D．【詳解】對(duì)于A：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，故A正確；對(duì)于B：正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺(tái)，故C正確；對(duì)于D：以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，另一腰和兩底邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓臺(tái)，故D正確．故選：B．2．必修第二冊(cè)實(shí)戰(zhàn)演練第八章課時(shí)練習(xí)26直線與直線平行）在正六棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線中與棱AB平行的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】由題意作出正六棱柱，即可得出與棱平行的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線.【詳解】連接，，則與棱AB平行的有，，，，，共有5條.故選：D.3．若用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形為如下圖的一個(gè)正方形，則原來圖形是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用斜二測(cè)畫法判斷.【詳解】解：由斜二測(cè)畫法知：平行或與x軸重合的線段長(zhǎng)度不變，平行關(guān)系不變，平行或與y軸重合的線段長(zhǎng)度減半，平行關(guān)系不變，故選：A4．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則它的母線長(zhǎng)和底面半徑的比值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓柱母線、半徑，結(jié)合即可得結(jié)果.【詳解】令圓柱母線為，底面半徑為，則，故.故選：D5．若正方體的一個(gè)截面恰好截這個(gè)正方體為等體積的兩部分，則該截面(

)A．一定通過正方體的中心 B．一定通過正方體一個(gè)表面的中心C．一定通過正方體的一個(gè)頂點(diǎn) D．一定構(gòu)成正多邊形【答案】A【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，所有過中心的截面都把正方體分成體積相等的兩部分，從而可得正確答案．【詳解】根據(jù)題意，恰好截正方體為等體積的兩部分的截面，可能為中截面、對(duì)角面、也可能是傾斜的平面，不管哪種截面都過正方體的中心．故選：A．6．如圖，圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，四邊形ACDE為該圓柱的軸截面，點(diǎn)B為半圓弧CD的中點(diǎn)，則在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（

）．A． B． C．3 D．2【答案】B【分析】畫出圓柱的側(cè)面展開圖，解三角形即得解.【詳解】解：圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，由題得,所以.所以在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為.故選：B7．長(zhǎng)、寬、高分別為3、4，5的兩個(gè)相同的長(zhǎng)方體，把它們某兩個(gè)全等的面重合在一起，組成大長(zhǎng)方體，則大長(zhǎng)方體對(duì)角線最長(zhǎng)為_____.【答案】【分析】分類討論求解大長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即可.【詳解】當(dāng)大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、時(shí)，體對(duì)角線為.當(dāng)大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、時(shí)，體對(duì)角線為.當(dāng)大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、時(shí)，體對(duì)角線為.因?yàn)?，所以大長(zhǎng)方體對(duì)角線最長(zhǎng)為.故答案為：8．下列說法正確的是________.（填序號(hào)）①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；②圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；③以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐；④用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面．【答案】③④【分析】利用圓錐、圓柱、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征逐一判斷，可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，以直角梯形直角腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)，以直角梯形的斜腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái)，①錯(cuò)；對(duì)于②，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，②錯(cuò)；對(duì)于③，以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐，③對(duì)；對(duì)于④，用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面，④對(duì).故答案為：③④.9．如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得小圓錐與圓錐SO底面的面積之比為，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，求圓錐SO的母線長(zhǎng)．【答案】12cm【分析】由圓錐平行于底面的截面的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】解：因?yàn)榻氐眯A錐與圓錐SO底面的面積之比為，所以小圓錐與圓錐SO底面半徑之比是．如圖，設(shè)SA的長(zhǎng)為y，小圓錐底面與被截的圓錐底面半徑分別是x，4x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得．解得．所以圓錐SO的母線長(zhǎng)為12cm．10．如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1，M，N分別為棱A1B1，C1D1的中點(diǎn).(1)這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCNM把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)是；三棱柱BB1M－CC1N；四棱柱ABMA1－DCND1【分析】根據(jù)棱柱的定義及結(jié)構(gòu)特征可解答.【詳解】（1）該長(zhǎng)方體是棱柱，并且是四棱柱，因?yàn)橐蚤L(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四條側(cè)棱互相平行，符合棱柱的定義．（2）各部分形成的幾何體還是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.題組B能力提升練1．如圖，是斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的的直觀圖，是的中點(diǎn)，且軸，軸，，則（

）A．的長(zhǎng)度大于的長(zhǎng)度B．的面積為4C．的面積為2D．【答案】B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法確定原圖形，由此判斷各選項(xiàng).【詳解】由圖象知：，，，為的中點(diǎn)所以，A錯(cuò)誤；的面積，B正確；因?yàn)?，，所以的上的高，的面積，C錯(cuò)誤，，所以，D錯(cuò)誤.故選：B2．有下列四種敘述：①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；②兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn).其中正確的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)棱臺(tái)的定義和結(jié)構(gòu)特征可判斷各項(xiàng).【詳解】對(duì)于①：當(dāng)截面不平行于底面時(shí)，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)，①錯(cuò)；對(duì)于②③：如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長(zhǎng)線不能相交于一點(diǎn)，不是棱臺(tái)，②③錯(cuò)；對(duì)于④：棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征知：側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，④正確.故選：B3．如圖，已知等腰直角三角形是一個(gè)平面圖形的直觀圖，，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的定義，畫出平面圖形，求得原三角形的直角邊，從而面積可得．【詳解】由題意，利用斜二測(cè)畫法的定義，畫出原圖形，∵是等腰直角三角形，，斜邊，∴，∴，∴原平面圖形的面積是.故選：A．4．將一個(gè)大圓錐截去一個(gè)小圓錐得到圓臺(tái)，圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑之比為1:3，若大圓錐的高為15，則圓臺(tái)的高為（

）A．10 B．C． D．5【答案】A【分析】畫出軸截面，利用圓錐與圓臺(tái)的特征，列出關(guān)系式，求解即可．【詳解】由題意畫出軸截面如下所示，可知，，可得，所以圓臺(tái)的高為．故選：A5．已知：“四棱柱是正棱柱”，：“四棱柱的底面和側(cè)面都是矩形”，則是的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】判斷命題和命題之間的邏輯推理關(guān)系，即可判斷出答案.【詳解】當(dāng)四棱柱是正棱柱時(shí)，其底面為正方形，側(cè)面為矩形，即是的充分條件；當(dāng)四棱柱的底面和側(cè)面都是矩形時(shí)，底面不一定是正方形，故四棱柱不一定是正棱柱，故不是的必要條件，則是的充分不必要條件，故選：A6．有下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的直線距離是圓柱的母線長(zhǎng)；②圓錐頂點(diǎn)與底面所圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線長(zhǎng)；③圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行的.其中正確的命題是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】B【分析】根據(jù)圓柱，圓錐幾何體的特征依次判斷即可得答案.【詳解】解：對(duì)于①，在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)所得直線與旋轉(zhuǎn)軸不一定平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，圓錐頂點(diǎn)與底面所圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線長(zhǎng)，故正確；對(duì)于③，圓柱的母線均與旋轉(zhuǎn)軸平行，故圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行，正確.所以，正確的命題是②③故選：B7．如圖所示的是用斜二測(cè)畫法畫出的的直觀圖（圖中虛線分別與軸，軸平行），則原圖形的面積是_____．【答案】40【分析】根據(jù)題意，分析原圖形三角形的高和底邊的邊長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，原圖形如圖，根據(jù)直觀圖畫法規(guī)則知,的底邊OB的長(zhǎng)為5，高為16，其面積.故答案為：408．在正方體中，棱長(zhǎng)為2，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則的最小值為________【答案】3【分析】由條件證明點(diǎn)E、F關(guān)于平面對(duì)稱，由此可得，再根據(jù)結(jié)論兩點(diǎn)之間線段最短求的最小值即可.【詳解】取的中點(diǎn)F，連接，如下圖：因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E、F關(guān)于平面對(duì)稱，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與平面的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立；所以的最小值為，由已知為直角三角形，且，為直角，所以，所以的最小值為3.故答案為：3.9．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖是一個(gè)棱數(shù)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上．則該半正多面體共有________個(gè)面．【答案】【分析】由圖形確定正方形和正三角形個(gè)數(shù)即可.【詳解】將圖所示的半正多面體看作上、中、下三個(gè)部分，則上部包含個(gè)正方形、個(gè)正三角形；中部包含個(gè)正方形；下部包含個(gè)正方形、個(gè)正三角形；該半正多面體共有個(gè)面.故答案為：.10．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得的兩個(gè)幾何體分別為一個(gè)小圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，若小圓錐的母線與圓臺(tái)的母線之比為3：1，圓臺(tái)的上底面半徑為3cm，求圓臺(tái)的下底面面積.【答案】【分析】根據(jù)三角形相似即可得下底面圓的半徑，進(jìn)而可求圓的面積.【詳解】如圖，設(shè)PA為大圓錐的一條母線，過PA和的平面與兩個(gè)圓錐的底面的交線分別為和，則由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理，知，所以，所以，由題意，得，則，所以，所以圓臺(tái)的下底面面積為.題組C培優(yōu)拔尖練1．以下說法正確的是（

）①棱柱的側(cè)面是平行四邊形；②長(zhǎng)方體是平行六面體；③長(zhǎng)方體是直棱柱；④底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；⑤直四棱柱是長(zhǎng)方體；⑥四棱柱、五棱錐都是六面體．A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥【答案】C【分析】根據(jù)棱柱（直棱柱、平行六面體、多面體）、棱錐（正棱錐）的結(jié)構(gòu)特征判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】①棱柱的兩個(gè)底面平行且側(cè)棱兩兩相互平行，故側(cè)面是平行四邊形，故正確；②平行六面體是各面都為平行四邊形的六面體，而長(zhǎng)方體是各面都為矩形的平行六面體，故正確；③直棱柱是側(cè)棱與底面垂直的棱柱，顯然長(zhǎng)方體的側(cè)棱與底面都垂直，故為直棱柱，故正確；④底面是正多邊形且各側(cè)面為全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐，故錯(cuò)誤；⑤底面為長(zhǎng)方形的直四棱柱是長(zhǎng)方體，故錯(cuò)誤；⑥四棱柱、五棱錐均有六個(gè)面，都是六面體，正確.故選：C2．一平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，B′C′∥y′軸，則四邊形OABC的面積為（）A． B．3 C．3 D．【答案】B【分析】結(jié)合圖形可得，則可得四邊形面積，后可得四邊形OABC的面積.【詳解】設(shè)軸與交點(diǎn)為D，因O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，則，又B′C′∥y′軸，則四邊形為平行四邊形，故.又，結(jié)合A′B′⊥x′軸，則，故.則四邊形面積為，因四邊形面積是四邊形OABC的面積的倍，則四邊形OABC的面積為.故選：B3．在正方體中，、分別是上、下底面的中心，則與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．不確定【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連接，，，根據(jù)題意可知，，且，，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，，由已知得，，且，，又根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，又，所以，故故選：B.4．用一個(gè)平面截正方體，截面圖形可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角梯形C．有兩個(gè)內(nèi)角相等的五邊形 D．正七邊形【答案】C【分析】根據(jù)正方體的截面分析得到答案.【詳解】用一個(gè)平面截正方體，截面圖形可能是三角形，四邊形，五邊形，六邊形.對(duì)于A：截面圖形如果是三角形，只能是銳角三角形，不可能是直角三角形和鈍角三角形.如圖所示的截面三角形.設(shè)，所以，，.所以由余弦定理得：所以為銳角.同理可求：為銳角，為銳角.所以為銳角三角形.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：截面圖形如果是四邊形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：如圖示的截面圖為五邊形，并且有兩個(gè)角相等.故C正確；對(duì)于D：因?yàn)檎襟w有六個(gè)面，所以一個(gè)平面截正方體，邊數(shù)最多為6.所以D錯(cuò)誤.故選：C5．已知四棱柱的底面為菱形，側(cè)棱底面，四棱柱各頂點(diǎn)都在體積為的同一球面上，則該四棱柱的側(cè)面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合圖形，利用圓的性質(zhì)，長(zhǎng)方體的外接球進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)槔庵黜旤c(diǎn)都在同一球面上，所以底面存在外接圓，因?yàn)榈酌鏋榱庑危翼旤c(diǎn)都在同一圓上，所以菱形的對(duì)角線為外接圓的直徑，即菱形為正方形.又側(cè)棱底面，所以四棱柱為長(zhǎng)方體.其外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線.設(shè)的邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，外接球的半徑R，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，即.①又因?yàn)橥饨忧虻捏w積為，即，解得.②由①②聯(lián)解得：，由重要不等式有：，解得.因?yàn)樗睦庵膫?cè)面積為.則該四棱柱的側(cè)面積的最大值為.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.6．如圖，在正三棱柱中，AB＝2，＝2，D，F(xiàn)分別是棱AB，的中點(diǎn)，E為棱AC上的動(dòng)點(diǎn)，則DEF周長(zhǎng)的最小值為_____．【答案】+2【分析】由正三棱柱的性質(zhì)可得：AB，AC．在RtADF中，利用勾股定理可得DF＝2．因此只要求出DE+EF的最小值即可．把底面ABC展開與側(cè)面在同一個(gè)平面，當(dāng)三點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線時(shí)，DE+EF取得最小值．再利用余弦定理求解．【詳解】解：由正三棱柱，可得底面ABC，∴AB，AC．在RtADF中，DF＝＝2．把底面ABC展開與側(cè)面在同一個(gè)平面，如圖所示，只有當(dāng)三點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線時(shí)，DE+EF取得最小值．在ADF中，∠DAF＝60°+90°＝150°，由余弦定理