2024-2025學(xué)年江蘇省天一中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若空間向量荏=（1,2,—2）,BC=（-1.-1.5）,則|宿=（）

A.<5B.3C.273D.710

2.已知拋物線C：/=y上點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,則M到C的焦點(diǎn)的距離為（）

A.1B，75C.[3D.2

4L

3.若圓C：%2+3/2=廠2&>0）與圓出（工一3）2+8-4）2=16只有一個(gè)公共點(diǎn)，則丁的值（）

A.3或6B.1或7C.1或9D.4或8

4已知｛a打｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,且口4+。5=27,a3a6=162,則公比q的值是（）

A.3B.-3C.2D.-2

5.已知橢圓盤+J=l（a>0）與雙曲線=1有相同的焦點(diǎn)，貝b的值為（）

A./2B.710C.4D.10

6.在數(shù)列｛際｝中，的=1,%1+1=。九+而短，則冊等于（）

A.-B.四工C.—D.^-

nnn2n

7.已知原點(diǎn)為0,橢圓C：務(wù)，=l（a>b>0）與直線八x—y+l=0交于4B兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)為

M,若直線。M的斜率為則橢圓C的離心率為（）

A-lBqC.『D邛

8.在正四棱錐S-4BCD中，底面邊長為20,側(cè)棱長為4,點(diǎn)P是底面4BCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且SP=百耳，則

當(dāng)4,P兩點(diǎn)間距離最小時(shí)，直線BP與直線SC所成角的余弦值為（）

A.-10Bb.—10Cc-—10UD-—10

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知直線Z：m久+y—m=0與圓C：/+V—2%-4y-4=0相交于4,B兩點(diǎn)，則（）

A.直線2過定點(diǎn)（0,1）B.圓C的半徑為3

C.當(dāng)爪=0時(shí)，|48|=275D.圓心C到直線1的最大距離是2

10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）

A.若空間向量1=(1,0,1),K=貝囁在3上的投影向量為(0,-另)

B.已知麗=(1,2,—2),AC=則點(diǎn)B到直線4C的距離為，I

C.若對空間中任意一點(diǎn)。有加=|旗函+：加，則P,A,B,C四點(diǎn)共面

D.若直線/的方向向量為沅=平面a的一個(gè)法向量為元=(一1,一2,1),貝切/a

11.數(shù)列滿足的=l,2an+1-an+(n-2)anan+1=0,n6N*,則下列選項(xiàng)正確的是()

1i

A.a5=—B.a10>a9C.an>D.Sn<n

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.點(diǎn)P是雙曲線盤-4=1左支上的一點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為F,若M為線段FP的中點(diǎn)，且M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離

為7,貝||PF|=.

13.已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=，T=+l,則鬻的取值范圍為.

n，n=

14.已知數(shù)列｛5｝滿足的=1,an+i=Tt1[,k￡N*,則｛%J的前20項(xiàng)和為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題15分)

5n為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和,已知a2+a4=14,S3=15.

(1)求｛冊｝的通項(xiàng)公式.

(2)設(shè)源=」一，求數(shù)列伯?｝的前n項(xiàng)和.

16.(本小題15分)

已知過拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線1交拋物線C于4,B兩點(diǎn)，當(dāng)直線Z垂直于x軸時(shí)，\AB\=

16.

(1)求拋物線方程；

(2)若|4B|=24,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AO/IB的面積.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面力BCD為正方形，側(cè)棱PD1底面力BCD,DA=DP=2,E、F分別在棱

PC、PB上，E為線段PC的中點(diǎn).

(1)若尸是PB的中點(diǎn)，求EF與平面EDB所成角的正弦值；

(2)若EF1PB,求平面DEF與平面力BCD的夾角的余弦值.

18.(本小題15分)

n

設(shè)數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)的為常數(shù)，且廝+1=3-2an(neN*).

(1)判斷數(shù)列｛a.-9a"｝是否為等比數(shù)列，請說明理由；

(2)S”是數(shù)列｛5｝的前n項(xiàng)的和，若｛S"是遞增數(shù)列，求生的取值范圍.

19.(本小題17分)

如圖，已知雙曲線C：捻―，=l(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±，點(diǎn)(苧,2)在雙曲線C上，4、

B為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，直線4P和直線x=1交于點(diǎn)N,直線NB交雙曲線C

的右支于點(diǎn)Q.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若點(diǎn)P在第一象限，且滿足麗=布，求直線PQ的方程；

(3)探究直線PQ是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，并說明理由.

參考答案

l.D

2.5

3.C

4.C

5.C

6.5

7.8

8.X

9.BCD

10.AC

U.ACD

12.6

”.[J

14.500

15J?：(1)設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,

由題意得償+：414,

[53=3al+3d=15,

解得的=3,d=2,

所以｛5｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為%,=2n+1,nGN+.

(2)由⑴知,an=2n+l,

所以6=_1_______i_______I(_L______

n

anan+i(2n+l)(2n+3)212n+12n+3萬

設(shè)數(shù)列｛配｝的前n項(xiàng)和為乃，

則”=瓦+歷+…+.=9GY)+《T)+…+(焉一焉)]

_1,1_1、_「

—2。―2九+3)-3(2n+3)*

16.解：(1)拋物線C：*=2p久Q>0)的焦點(diǎn)為尸?,0),

令x=p

解得：y-±p，

\AB\=2p=16,

解得：p=8,

???拋物線的方程為：y2=16%；

(2)依題意.設(shè)直線，方程為y=k(x—4),

設(shè)B(x2fy2)f

y=k(x—4)

則

y2=16%

得攵2%2—(842_|_16)%+16k2=0,k豐0,

又4=(8/c2+16)2-4xfc2x16k2=256(/+1)>0恒成立.

8必+16

?,?%1+%

2~~i?―，

8/+16,?16,.

貝

+g+P=——kzn—+8=丁kz+16=24.

得k=±V-2?

則直線/方程為y=—4),

則點(diǎn)。到直線I的距離為d=匕翌=挈,

V33

1苧

XX24

即40AB的面積S=xdx\AB\2-

17.解：(1)因?yàn)榈酌?BCD是正方形，E為線段PC的中點(diǎn)，側(cè)棱P。，底面4BCD,

以。為原點(diǎn)，力［，虎，而分別為％,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz；

貝!M(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),E(0,l,l),

由題意，F(xiàn)是P8的中點(diǎn)，貝

故前=(1,0,0),DB=(2,2,0),DE=(0,1,1)，

設(shè)平面EDB的法向量為萬=Qi，%,zi),

則陛1記,則[空?訪=2/+2%=0,

(DE1m｛DE-m=y1+z1=0

令為=-1,得沅=(1,—1,1)；

記EF與平面EDB所成角為0,

則5譏"=w，

\m\'\EF\<3x13

故EF與平面EDB所成角的正弦值為苧.

(2)礪=(0,1,1),=(2,2,-2)，

故屁?麗=0.

故。E1PB；又EF1PB,DECEF=E,DEu平面DEF,

EFu平面DEF,

故PB_L平面。EF,

故平面DEF的法向量元=而=(2,2,-2),

平面力BCD的法向量放=(0,0,1),

記平面OEF與平面力BCD的夾角為卬,

則cosw=胃=停，

I九1卜R|九2I=2V23x13

故平面DEF與平面48CD的夾角的余弦值為苧.

n

18.1?：(1)van+1=3-2an(n6N*),

0n+1qU+l

an+l---g_3n-2a---1-2(a—§-)?

則內(nèi)短時(shí),nn

-/3n-----=—2

an~an-an-

???的建時(shí)，｛斯一手｝為等比數(shù)列，公比為一2.

1

(2)由(1)可得：a?-y=(a1-|)X(-2r-,

n

???an=(ai-|0)(-2)n-1+yo>0,

72之2,<*?。2>0,。3>°，

_[3<,的<,亍3

19.解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)(苧,2)在雙曲線C上，且漸近線方程為y=±0￡，

佟=門

所以：64_-

(獲一記二1

解得｛二3

則C；小段1；

(2)設(shè)點(diǎn)P(&,yo),

因?yàn)辂?麗,

所以點(diǎn)N是AP的中點(diǎn)，

又4(一2,0),B(2,0),

可得N(2p,gyo),

因?yàn)辄c(diǎn)N在直線x=1上，

所以亨=1,

解得%0=4,

將祀=4代入雙曲線方程中，

解得M)=±6,

因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，

所以P(4,6),N(l,3),

則直線BN的方程為y=-3(x-2),

y——3(%—2)

聯(lián)立/,2_,消去y并整理得/-6x+8=0,

(疝一記=1

解得x=2或久=4,

即Q(4,-6),

所以直線PQ的方程為x=4；

(3)易知直線PQ斜率不為0,

設(shè)直線PQ的方程為x=my+t,P(x"i)，Q(x2,y2)>

x=my+t

x2y?_,消去工并整理得(3血2—l)y2+6mty+3t2-12=0,

{~4~12=

此時(shí)4=36m2t2-4(3m2-l)(3t2-12)>0,

解得127n2+/一4>0,

(,6mt