中學數(shù)學必修學問點總結

集合

()元素與集合的關系：屬于()和不屬于()1

2)集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性集合與元素((3)

集合的分類：按集合中元素的個數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集

4)集合的表示方法：列舉法、描述法(自然語言描述、特征性質描

述)、圖示法、區(qū)間法(

子集：若xAxB,則AB,即A是B的子集。

1、若集合A中有n個元素，則集合A的子集有2n個，真子集有(2n-l)

個。

2、任何一個集合是它本身的子集，即AA注

關系3、對于集合A,B,C,假如AB,且BC,那么AC.4、空集是任何集合

的(真)子集。

真子集：若AB且AB(即至少存在xOB但xOA),則A是B的真子集。

集合集合相等：AB且ABAB

集合與集合定義：ABx/xA且xB交集性質：AAA,A,ABBA,ABA,ABB,

ABABA定義：ABx/xA或xB并集性質：AAA,AA,ABBA,ABA,ABB,ABABB

運算

Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定義:CUAx/xll且xA補集性質：(CUA)A,

(CUA)AU,CU(CUA)A,CU(AB)(CUA)(CUB),C(AB)(CA)(CB)UUU

函數(shù)

映射定義：設A,B是兩個非空的集合，假如按某一個確定的對應關

系，使對于集合A中的隨意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素

y與之對應，那么就稱對應f：B為從集合A到集合B的一個映射

傳統(tǒng)定義：假如在某變更中有兩個變量x,y,并且對于x在某個范圍內

的每一個確定的值，

定義依據(jù)某個對應關系f,y都有唯一確定的值和它對應。那么y就是

x的函數(shù)。記作yf(x).

近代定義：函數(shù)是從一個數(shù)集到另一個數(shù)集的映射。定義域函數(shù)及其

表示函數(shù)的三要素值域對應法則

解析法函數(shù)的表示方法列表法

圖象法

傳統(tǒng)定義：在區(qū)間a,b上,若axlx2b,如f(xl)f(x2),則f(x)在a,b上遞

增,a,b是

遞增區(qū)間；如f(xl)f(x2),則f(x)在a,b上遞減,a,b是的遞減區(qū)間。單調

性導數(shù)定義：在區(qū)間a,b上，若f(x)O,則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；

如f(x)O

a,b是的遞減區(qū)間。則f(x)在a,b上遞減，

最大值：設函數(shù)yf(x)的定義域為I,假如存在實數(shù)M滿足：(1)對于

隨意的xl,都有f(x)M；函數(shù)(2)存在xOI,使得f(xO)M。則稱M是函數(shù)

yf(x)的最大值函數(shù)的基本性質最值最小值：設函數(shù)yf(x)的定義域為I,假

如存在實數(shù)N滿足：(1)對于隨意的xl,都有f(x)N；(2)存在xOI,使

得f(xO)No則稱N是函數(shù)yf(x)的最小值

(l)f(x)f(x),x定義域D,則f(x)叫做奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱。

奇偶性(2)f(x)f(x),x定義域D,則f(x)叫做偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱。

奇偶函數(shù)的定義域關于原點對稱

周期性：在函數(shù)f(x)的定義域上恒有f(xT)f(xKTO的常數(shù))則f(x)叫做周

期函數(shù)，T為周期；

T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，簡稱周期

(1)描點連線法：列表、描點、連線向左平移個單位：yly,xlaxyf(xa)

向右平移a個單位：yy,xaxyf(xa)

平移變換向上平移b個單位：xlx,ylbyybf(x)

11向下平移b個單位：xx,yllbyybf(x)

橫坐標變換：把各點的橫坐標xl縮短(當wl時)或伸長(當Owl

時)

到原來的1/w倍(縱坐標不變)，即xlwxyf(wx)

伸縮變換縱坐標變換：把各點的縱坐標y伸長(A1)或縮短(OA1)到原

來的A倍1函數(shù)圖象的畫法(橫坐

標不變)，即yly/Ayf(x)(xxl2xOx2xOx2)變換法12yoyf(2x0x)關于點

(xO,yO)對稱：yyl2yOyl2yOy

xxl2xOxl2xOx關于直線xxO對稱：yf(2x0x)yylyly對稱變換xxlxx關于

直線yyO對稱：12yoyf(x)yy2yl0yl2yoyxxl關于直線yx對稱：yfl(x)yyl

附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、

對數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)

函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)ytanx

中xk

2

(kZ)；余

切函數(shù)ycotx中；6、假如函數(shù)是由實際意義確定的解析式，應依據(jù)自

變量的實際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)

法；6、配方法三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、

單調性法；7、干脆法四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調性法五、

函數(shù)單調性的常用結論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則f(x)g(x)在這個區(qū)間上

也為增(減)函數(shù)2、若f(x)為增(減)函數(shù)，貝"(X)為減(增)函數(shù)

3、若f(x)與g(x)的單調性相同,則yf[g(x)]是增函數(shù);若f(x)與g(x)的

單調性不同，則

yf[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調

性相反。

5、常用函數(shù)的單調性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、

證不等式、作函數(shù)圖象。六、函數(shù)奇偶性的常用結論：

工、假如一個奇函數(shù)在xO處有定義，則f(0)0,假如一個函數(shù)yf(x)既是

奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)O(反之不成立)

2、兩個奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)為偶

函數(shù)。3、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個函數(shù)yf(u)和ug(x)復合而成的函數(shù),只要其中有一個是偶函數(shù)，

那么該復合函數(shù)就是偶函數(shù)；當兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復合函數(shù)是奇

函數(shù)。5、若函數(shù)

f(x)的定義域關于原點對稱，貝Uf(x)可以表示為

11

f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)],該式的特點是：右端為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)

22

的和。

零點：對于函數(shù)yf(x),我們把使f(x)O的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點。

定理：假如函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連綿起伏的一條曲線，并且有

f(a)f(b)O,

零點與根的關系那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]內有零點。即存在c(a,b),

使得f(c)O,這個c也是方

程f(x)O的根。(反之不成立)關系：方程f(x)O有實數(shù)根函數(shù)yf(x)有零

點函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點⑴確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)O,給定精確度;

函數(shù)與方程(2)求區(qū)間(a,b)的中點c;函數(shù)的應用⑶計算f(c)；

二分法求方程的近似解①若f(c)O,則c就是函數(shù)的零點；

②若f(a)f(c)O,則令b(此時零點cx(a,b))；0③若f(c)f(b)O,則令a(此

時零點cx(c,b))；0

⑷推斷是否達到精確度：即若a-b,則得到零點的近似值a(或b);否則

重復24。幾類不同的增長函數(shù)模型函數(shù)模型及其應用用已知函數(shù)模型解決

問題

建立實際問題的函數(shù)模型

n為根指數(shù)，a為被開方數(shù)a分數(shù)指數(shù)累

arasars(aO,r,sQ)指數(shù)的運算

rs指數(shù)函數(shù)rs性質(a)a(aO,r,sQ)

(ab)rarbs(aO,bO/rQ)

定義：一般地把函數(shù)yax(aO且al)叫做指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)性質：見

表1

對數(shù)：xlogaN,a為底數(shù)，N為真數(shù)

loga(MN)logaMlogaN;基本初等函數(shù)

logaMlogalVllogaN;.N對數(shù)的