2024屆新高三開(kāi)學(xué)摸底考試卷（北京專用）數(shù)學(xué)·答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)12345678910ACDDCCDBDA11． （5分）12． （5分）13．5 （5分）14．（5分）15．①③④16．（1）若選①:因?yàn)?，由余弦定理得，整理得，則，（3分）又，則，，（5分）則；（6分）若選②:因?yàn)?，即，則，（2分）又，則，又，得，（4分）則；（6分）（2）由正弦定理得：，則，（10分）則，．（13分）17．（1）這10名學(xué)生的考核成績(jī)（單位：分）分別為：93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1號(hào)、7號(hào)、8號(hào)、9號(hào)、10號(hào)，共5人,

（2分）所以樣本中學(xué)生考核成績(jī)大于90分的頻率是.

從該校高二年級(jí)隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生考核成績(jī)大于90分的概率為0.5；（4分）（2）由題知，考核成績(jī)小于90分的學(xué)生共4人，其中兩輪測(cè)試至少有一次大于90分學(xué)生有2人.

所以可取0,1,2，則，，，（7分）所以的分布列為012所以；（9分）（3）由題可得，，（12分），所以；.（13分）18．（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別以，為軸，軸，過(guò)作平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，（1分）所以，，因?yàn)椋?，所以，即，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，（3分）令，則，所以，平面的法向量為，則，（5分）令，則，所以，所以，所以，所以平面平面.（6分）（2）易知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為.（9分）（3）因?yàn)槔馍弦稽c(diǎn)，滿足，所以，所以，（12分）所以點(diǎn)到平面的距離.（14分）19．（1）由題得，所以橢圓的方程為，焦距為.（5分）（2）如圖，直線與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，（7分），即.設(shè),，,，則，．直線的方程為，則，（9分）直線的方程為，則，因?yàn)椋?=0，（11分）所以，所以，把韋達(dá)定理代入整理得或，當(dāng)時(shí)，直線方程為，過(guò)定點(diǎn)，（13分）即點(diǎn)，不符合題意，所以舍去.當(dāng)時(shí)，直線方程為，過(guò)定點(diǎn).所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).（15分）20．（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，（3分）又，所以切線方程為，即.（5分）（2），當(dāng)時(shí)，，解得，故時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，（6分）故時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，令，解得，，故當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，（7分）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故的極大值為，極小值為；當(dāng)時(shí)，令，解得，，故當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的極大值為，極小值為；（10分）綜上，當(dāng)時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，的極大值為，極小值為.（11分）（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，恒成立，（12分）時(shí)，，又的極大值為，極小值為，所以存在實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).（15分）21．（1）當(dāng)時(shí)，，，，所以，（2分）（2）設(shè)，其中，則，（4分）因，，因，所以，，，，又，，，所以，（6分）因，，，，因，，，，所以，，，，，，，所以所以為定值.（8分）（3），若，則，,故，，此時(shí)，不符合題意，（10分）故，猜想，下面給予證明，當(dāng)時(shí)，顯然成立，假設(shè)當(dāng)，時(shí)，都有成立，即，此時(shí)，，故，，，符合題