第一節(jié)

兩條直線的位置關(guān)系

第3課時(shí)

典型例題第七章相交線與平行線數(shù)學(xué)：秦老師2025魯教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)數(shù)學(xué)：秦老師題型一

互余、互補(bǔ)的角的關(guān)系的綜合例1.已知∠α與∠β互為補(bǔ)角，且

∠β比

∠α的一半大于15?，求∠β的余角。思路引導(dǎo)審條件析過(guò)程求結(jié)論∠α與∠β互為補(bǔ)角∠β比

∠α的一半大于15?∠α+∠β=180?

∠β=－∠α+15?

21∠β的余角=90?－∠β

求

∠β代入解方程代入計(jì)算點(diǎn)撥

解此類(lèi)題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，利用補(bǔ)角、余角的概念求解。解：由題意得

∠α+∠β=180?∠β=－∠α+15?

21故∠α+－∠α+15?=180?21解得∠α=110?把∠α=110?代入∠β=－∠α+15?21解得∠β=70?所以∠β的余角為90?－∠β=20?練習(xí)1.一個(gè)角的補(bǔ)交和這個(gè)角的余角的2倍互為補(bǔ)交，求這個(gè)角的度數(shù)。題型二

對(duì)頂角與角平分線的綜合應(yīng)用

例2.如圖所示，直線AB，CD相交于點(diǎn)O,OE平分∠DOB，若∠AOC=70?，求∠EOC的度數(shù)。ABCDEO解（方法一）如圖2所示圖1因?yàn)椤螪OB與∠AOC是對(duì)頂角所以∠DOB=70?又因?yàn)镺E平分∠DOB所以∠1=－∠DOB=70?÷2=35?（角平分線定義）所以∠EOC=∠DOC－∠1=180?－35?=145?

（補(bǔ)角定義）圖2ABCODE12321解（方法二）如圖2所示因?yàn)椤螪OB與∠AOC是對(duì)頂角所以∠DOB=∠AOC=70?又因?yàn)镺E平分∠DOB所以∠2=－∠DOB=35?又因?yàn)椤?=∠AOB－∠AOC=180?-70?=110?(補(bǔ)角定義）所以∠EOC=∠2+∠3=35?+110?=145?12練習(xí)2

如圖所示，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD,∠FOC=90?，∠1=40?求：（1）∠3的度數(shù)。

（2）∠2的度數(shù)。ABCDOEF123題型三

對(duì)頂角性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用例3.真實(shí)情境--生活情境

考古工作者在某地考察時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一座古塔。為了實(shí)地測(cè)量這座古塔外墻底部墻角（如圖）所示的∠AOC）的大小，在不能進(jìn)入塔內(nèi)的情況下，請(qǐng)你用所學(xué)過(guò)的知識(shí)幫考古工作者設(shè)計(jì)解決這個(gè)問(wèn)題的方案。BACDEFGH圖1圖2----------NM解：如圖2所示

延長(zhǎng)AB到點(diǎn)M,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)N,這樣在古塔外部得到∠ABC的對(duì)頂角∠MBN，由對(duì)頂角相等可知，只要測(cè)量出∠MBN的度數(shù)就可以確定∠ABC的度數(shù)。題型四

判斷直線的位置關(guān)系

例4.如圖所示，o為直線AB上一點(diǎn)，∠AOD：∠DOB=3:1，OD平分∠COB，試判斷AB與OC的位置關(guān)系。分析：由于∠AOD：∠DOB=3:1，可得∠BOD=45?又由于OD平分∠COB，

可得∠COB=2∠BOD=90?所以O(shè)C?ABABOCD解：因?yàn)镺為直線AB上一點(diǎn)

所以∠AOB=∠AOD+∠DOB=180?

因?yàn)椤螦OD：∠DOB=3:1

所以∠DOB=－×180?=45?

又因?yàn)镺D平分∠COB，

所以∠COB=2∠DOB=90?

所以O(shè)C?AB（由直角得垂直）41練習(xí)4

如圖所示，直線AB，CD相交于點(diǎn)O,OM?AB。

（1）若∠1=∠2，判斷ON與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

（2）若∠1=－∠BOC,求∠MOD的度數(shù)。41ABNDCM∟12題型五

垂線性質(zhì)的應(yīng)用例6如圖所示,一輛汽車(chē)在直線公路AB上由A向B行駛,M,N是位于公路兩側(cè)的村莊。(1)設(shè)汽車(chē)行駛到公路AB上點(diǎn)P的位置時(shí),距離村莊M最近行駛到點(diǎn)Q的位置時(shí),距離村莊N最近。請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB上分別作出點(diǎn)尸和點(diǎn)Q的位置。(2)當(dāng)汽車(chē)從A出發(fā)向B行駛時(shí),在公路AB的哪一段路上距離M,N兩村莊都越來(lái)越近在哪一段路上距離村莊N越來(lái)越近,而距離村莊M越來(lái)越遠(yuǎn)(分別用文字表述你的結(jié)論)…………PQ解（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)M作MP?AP，垂足為P，過(guò)點(diǎn)N作NQ?AB，垂足為Q，點(diǎn)PQ就是要作的兩點(diǎn)

（如圖所示）。（2）當(dāng)汽車(chē)從A向B行駛時(shí)，在AP這段路上時(shí)，汽車(chē)距離兩個(gè)村莊都越來(lái)越近；在PQ這段路上時(shí)，汽車(chē)距讓村莊N越來(lái)越近,距離村莊M越來(lái)越遠(yuǎn)練習(xí)

如圖上圖所示，已知點(diǎn)P是直線MN外一點(diǎn)，點(diǎn)ABC是直線MN上三點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C是直線MN上三點(diǎn)，分別連接PA、PB、PC。（1）通過(guò)測(cè)量的方法，比較線段PA、PB、PC的長(zhǎng)短，直接用“>”連接。（2）在直線MN上能否找到一點(diǎn)D，使PD最短？如果能，請(qǐng)?jiān)趫D中作出線段PD，并說(shuō)明事論依據(jù)，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。PMNABC題型六

利用垂直的定義求角的度數(shù)例6.如圖所示，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OF?CD，垂足為O，且OF平分∠AOE，若∠BOD=20°，求∠EOF的大小。ABCDEF解：因?yàn)椤螧OD=20°，所以∠AOC=∠BOD=20°

因?yàn)镺F?CD，所以∠COE=90°

所以∠AOC+∠AOF=90°所以∠AOF=90°-20°=70°

因?yàn)镺F平分∠AOE，所以∠EOF=∠AOF=70°O注意題中的兩個(gè)關(guān)系練習(xí)如圖1所示，直線AB,CD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE?AB（1）若∠AOC=27°44′求∠DOE的度數(shù)。

（2）如圖2，作射線OF使∠EOF=∠DOE,OA是∠COF的平分線嗎？說(shuō)明理由。（3）在圖2是上作OG?CD直接寫(xiě)出∠BOG與∠EOD的等量關(guān)系為：AABBCCDDEOOEF圖1圖2題型七

與相交線有關(guān)的規(guī)律探究題

例7.觀察下列各圖，尋找對(duì)頂角，完成填空（1）如圖1中共有

2對(duì)對(duì)頂角。（2）圖2中共有6對(duì)對(duì)頂角。（3）圖3中共有