6.2.4組合數(shù)習題階段一：解方程∴n＝10，解：例3解：

練習證明：例43305因此x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，∴x＝－3(舍)或x＝5.6.練習

階段二：應用題例1在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少種解：(1)所有的不同抽法種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的組合數(shù)，所以抽法種數(shù)為例1在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少種(2)從2件次品中抽出1件的抽法有

種，從98件合格品中抽出2件的抽法有

種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法種數(shù)為1.“至少”“至多”的問題例1在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少種說明：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解.分析：本題屬于組合問題中的最基本的問題，可根據(jù)題意分別對不同問題中的“含”與“不含”作出正確的判斷和分析．注意“至少”、“至多”問題，運用間接法解會簡化思維過程．例1在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種(4)抽出的3件中至多有1件是次品的抽法有多少種

抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件都是合格品的抽法種數(shù)，即

從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)為(3)

解1(直接法)：解2(間接法)：例1在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種(4)抽出的3件中至多有1件是次品的抽法有多少種

從100件產(chǎn)品抽出的3件中至多有1件是次品，包括有0件次品和有1件次品兩種情況，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，抽出的3件中至多有1件是次品的抽法種數(shù)為(4)

解：練習1.有政治、歷史、地理、物理、化學、生物這6門學科的學業(yè)水平考試成績，現(xiàn)要從中選3門考試成績.(1)共有多少種不同的選法(2)如果物理和化學恰有1門被選，那么共有多少種不同的選法(3)如果物理和化學至少有1門被選，那么共有多少種不同的選法解：（1）甲、乙、丙三人必須當選；（2）甲、乙、丙三人不能當選；（3）甲必須當選，乙、丙不能當選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當選.2.在一次數(shù)學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人去參加市級培訓，在下列條件下，有多少種不同的選法？組合問題

常見策略例1有翻譯人員11名，其中5名僅通英語、4名僅通法語，還有2名英、法語皆通.現(xiàn)欲從中選出8名，其中4名譯英語，另外4名譯法語，一共可列多少張不同的名單？524例2

(1)平面內(nèi)有9個點，其中4個點在一條直線上，此外沒有3個點在一條直線上，過這9個點可確定多少條直線？可以作多少個三角形？(2)空間12個點，其中5個點共面，此外無任何4個點共面，這12個點可確定多少個不同的平面？+11.“至少/多”問題——直/間接法(正難則反)[例1]有政治、歷史、地理、物理、化學、生物共6門學業(yè)水平考試科目，現(xiàn)要從中選3門科目.(1)若物理和歷史恰有1門被選，則有_____種不同的選法；(2)若物理和生物至少1門被選，則_____種不同的選法；自閱P25-例7[變式1]從10名大學畢業(yè)生中選3個人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()“丙沒有入選”的總選法數(shù)－“丙沒有入選”且“甲乙均沒入選”的選法數(shù)[變式2]某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名組成醫(yī)療小組到社區(qū)義診，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家，至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有_________種.2名外科專家：1名外科專家：無外科專家：115反面：至少3名外科專家正面：至多2名外科專家3名外科專家：4名外科專家：1.“至少/多”問題——直/間接法(正難則反)例3六本不同的書（1）平均分成三堆，問有多少種分法？分析：每堆兩本，分三步完成，第一步從六本中任取兩本作為第一堆，有種取法，第二步從剩下的四本中任取兩本作為第二堆，有種取法，第三步剩下的兩本作為第三堆，有種取法.據(jù)分步乘法原理，分堆方法數(shù)是種.問題1：這樣分堆會有重復嗎？2.分組及分配問題例3六本不同的書，（1）平均分成三堆，問有多少種分法？答：會造成重復分堆，例如假設(shè)這六本書編號為1，2，3，4，5，6號，先取兩本，取到3，4作為第一堆，再取5，6兩本作為第二堆，剩下1，2作為第三堆，這是一種分堆的方法.然后第二次分堆時，先取到1，2作為第一堆，再取到5，6作為第二堆，剩下3，4作為第三堆，顯然這種分堆方法跟第一種分堆方法是一樣的.而且繼續(xù)下去，這種分堆方法會重復3次，即次.問題2：怎么樣才能去掉重復的分堆呢？答：6次只算1次，可以除以得到，所以六本不同的書，平均分成三堆，最后的分堆方法數(shù)是種.問題1：這樣分堆會有重復嗎？例3六本不同的書，（2）如果按照4，1，1分成三堆，問有多少種分法？問題3：這樣分堆會有重復嗎？怎么樣才能去掉重復的分堆呢？分析：例如，可以假設(shè)這六本書編號為1，2，3，4，5，6號，先取四本，取到1，2，3，4作為第一堆，再取到5作為第二堆，剩下6作為第三堆，這是一種分堆的方法.然后第二次分堆時，先取到1，2，3，4作為第一堆，再取到6作為第二堆，剩下5作為第三堆，這兩種分堆方法是一樣的，所以有重復.會重復幾次呢？分析：同樣分三步，先取4本，再取1本，剩1本，所以有種分法.我們觀察發(fā)現(xiàn)會重復兩次，原因是5與6那兩堆.按照先5作為一堆后6作為一堆與先6一堆后5作為一堆是一樣的分堆方法.1，2，3，4因為個數(shù)跟他們個數(shù)不一樣，所以不會產(chǎn)生重復，所以按照4，1，1分堆，有種分法.例3六本不同的書，解：有種分法.（3）如果按照3，2，1分成三堆，問有多少種分法？元素個數(shù)相同的堆之間一般會有重復，比如第一問中的2,2,2均分，每堆有兩個元素，堆之間會有重復問題，還有就是第二問中4，1，1的1，1兩堆之間會有重復.問題4：什么樣的分堆會有重復呢？平均分組與不平均分組問題例4

六本不同的書，按下列條件，各有多少種不同的分法；（1）分給甲，乙，丙三人，每人兩本；（2）分成三份，每份兩本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本;（4）分給甲，乙，丙3人，一人1本，一人2本，一人3本;（5）全部分給甲，乙，丙3人，每人至少一本.情形1：平均分給三個同學，有：法1：邊取邊分，有種分法.法2：可以考慮先分組，再分配給三個同學，所以有分法.情形3：如果按照3，2，1分給三個同學，有：

先分組，后分配

先分組，后分配綜上：分給三個同學，每個同學至少有一本，有：情形2：如果按照4，1，1分給三個同學，有：例4

六本不同的書，（5）全部分給甲，乙，丙3人，每人至少一本.[例4]將6個相同的球放入3個不同的盒子，每個盒子至少一球，有____種不同的放法.分組方法：①1、1、4型②1、2、3型③2、2、2型(分組分配法)共3+6+1=10種分法.分配方法：甲乙丙甲乙丙相同元素分3份，需2個不相鄰的隔板3.隔板法——相同元素分組元素相同（指標分配）問題隔板策略例6

有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排.相鄰名額之間形成9個空隙.在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應地分給7個班級，每一種插板方法對應一種分法共有____種分法.一班二班三班四班五班六班七班3.隔板法——相同元素分組3.隔板法——相同元素分組[變式1]將14個相同的球放入4個不同盒子，每個盒子至少一球，有____種方法.相同元素分4份，需3個不相鄰的隔板14個球間有13個間隔[例5]將20個相同的球放入編號為1,2,3,4的4個盒子，每個盒內(nèi)的球數(shù)不少于它的編號數(shù)，有____種放法.先將編號為1,2,3,4的4個盒子分別放入0,1,2,3個球，再將剩下的14個球放入4個盒子，每個盒子至少再放一球，即在14個球形成的13個空隙中插入3塊隔板12343.隔板法——相同元素分組[變1]方程x+y+z=18的正整數(shù)解有_______組.析：把18看成18個1相加，相當于在17個間隔中插入2塊隔板[變2]方程x+y+z=18的非負整數(shù)解有_______組.111111111111111111析：即(x+1)+(y+1)+(z+1)=21的非負整數(shù)解，即X+Y+Z=21的正整數(shù)解相當于在20個間隔中插入2塊隔板例7

有10個運動員名額，分給7個班,有多少種分配方案呢？組合問題

練習[練習1]某市擬從4個重點項目和6個一般項目中各選2個作為本年度要啟動的項目，其中重點項目A和一般項目B至少有一個被選中的不同選法有60種.[練習2]現(xiàn)有10件不同獎品，從中選6件分成3份，兩份各1件，另一份4件,有3150種不同的分法.[練習3]6本不同的書，分給甲、乙、丙3人，每人至少一本，有540種不同的分法.[練習4]將8個學生的研學名額分配給高二年級5個不同的班級，每班至少分到1個名額，共有35種不同的分配方法.[練習5]對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品一一進行測試，直至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有576種可能.[練習6]3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，不同的分配方法共有540種.[練習1]某市擬從4個重點項目和6個一般項目中各選2個作為本年度要啟動的項目，其中重點項目A和一般項目B至少有一個被選中的不同選法有______種.析：總