1雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用研究 21.雙曲線的定義及方程 31.1雙曲線的定義 31.2雙曲線的方程 42.雙曲線的性質(zhì) 42.1雙曲線的通徑 52.2雙曲線的焦半徑 2.3雙曲線的焦點(diǎn)三角形 62.4等軸雙曲線 73.雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用 73.1雙曲線通徑的應(yīng)用 3.2雙曲線焦半徑的應(yīng)用 3.3雙曲線焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用 3.4等軸雙曲線的應(yīng)用 3.5雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用 參考文獻(xiàn) 2方法，本文從雙曲線的性質(zhì)出發(fā)，闡述了雙曲線軸雙曲線等性質(zhì)，并對(duì)應(yīng)用雙曲線性質(zhì)解題進(jìn)行了分析.前言雙曲線是在對(duì)圓錐曲線的不斷探究中演變發(fā)展而來的，希臘數(shù)學(xué)家柏拉圖學(xué)派的門奈赫莫斯首先發(fā)現(xiàn)并提出圓錐曲線這一概念，而后阿波羅尼奧斯在一定程度上改進(jìn)了門奈赫莫斯的方法，而圓錐曲線真正的建立與完善的標(biāo)志是希臘數(shù)學(xué)家帕普斯的著作《匯編》[11.雙曲線作為幾何數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，同時(shí)作為解析幾何的基本內(nèi)容，是幾何學(xué)研究的重要課題之一，同樣也是圓錐曲線中的一種特殊曲線.在高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線是極其重要一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，是比較難的知識(shí)，圓錐曲線不僅僅在高中數(shù)學(xué)中有所涉及和講解，同時(shí)它在現(xiàn)實(shí)生活中也有著非常重要的地位和作用.一方面雙曲線能在一定程度上培養(yǎng)學(xué)生的審美能力，另一方面圓錐曲線也是學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際開拓視野的理想內(nèi)容，對(duì)雙曲線的學(xué)習(xí)和探究過程能很好地培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手制作能力和實(shí)驗(yàn)探究能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際解決問題的和統(tǒng)一觀點(diǎn)的認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)問題模型化作為解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運(yùn)用廣泛，而雙曲線代數(shù)化主要就是構(gòu)造一種實(shí)物作為數(shù)學(xué)問題的元素，把數(shù)學(xué)問題中元素間抽象的相互關(guān)系解釋為這種實(shí)物間的一種具體關(guān)系，于是抽象問題就有了一種解釋.實(shí)踐表明，在對(duì)一些奇形怪狀問題的求解過程中，運(yùn)用雙曲線代數(shù)化的思想，構(gòu)建和使用雙曲線代數(shù)式有利于整體性的思考問題、創(chuàng)造性的解決問題，雙曲線作為一種常用的數(shù)學(xué)模型，其構(gòu)造和使用能過建立雙曲線代數(shù)關(guān)系，運(yùn)用雙曲線思想解決問題在高中數(shù)程、解不等式、求函數(shù)值域、確定字母的取值以及確定移動(dòng)物體的位置，同樣雙曲線在實(shí)際生活中也有一定的運(yùn)用，在航空航天中脫離引力場(chǎng)的航天器在飛離地3球的過程中所飛行的軌跡，在以地球?yàn)樵c(diǎn)的坐標(biāo)系中看到的就是一個(gè)雙曲線軌跡，總之，雙曲線的一系列性質(zhì)對(duì)我們的學(xué)習(xí)生活有著很大的影響，因此對(duì)雙曲線的通徑、焦半徑、焦點(diǎn)三角形以及等軸雙曲線等性質(zhì)進(jìn)行分析并將它們運(yùn)用到解決實(shí)際問題中去，能夠幫助讀者理解雙曲線性質(zhì)的實(shí)際意義，切實(shí)體會(huì)雙曲線性質(zhì)1.1雙曲線的定義1.1.1《圓錐曲線論》對(duì)雙曲線的闡述雙曲線的定義是依附于圓錐曲面產(chǎn)生的.在《圓錐曲線論》中，阿波羅尼奧斯從雙曲線的定義分析依附于他定義的超曲線.由超曲線特點(diǎn)來看，超曲線是用不平行母線且與底圓相交地平面取截取圓錐，所得的截面即為超曲線，也就是現(xiàn)在所說的雙曲線的一支.通過截面截取圓錐的方式可以求得超曲線的方程為：在給出超曲線的定義后，阿波羅尼奧斯再次通過兩個(gè)對(duì)頂?shù)膱A錐得到了二相對(duì)截線的定義，這就是現(xiàn)在所說的雙曲線.在超曲線定義的基礎(chǔ)上，給出了二相對(duì)截線的定義，即就是現(xiàn)在的雙曲線的定義.阿波羅尼奧斯并不是直接給出雙曲線的確切定義，而是從雙曲線一支入手.通過一系列證明才給出了雙曲線的定義.他用一個(gè)不過頂點(diǎn)的平面去截取一個(gè)對(duì)項(xiàng)圓錐，得到的兩個(gè)截線都是超曲線，個(gè)超曲線有共同的直徑、橫截邊、相等的參量，這也就說明了這兩條超曲線的聯(lián)系，也就隱含了雙曲線一支和雙曲線另一支的一致性.因此在書中諸多命題的證明中，阿波羅尼奧斯只是證明了超曲線的有關(guān)部分，因?yàn)槊鞔_兩者內(nèi)在的聯(lián)系，對(duì)于雙曲線的有關(guān)部分，阿波羅尼奧斯并沒有單獨(dú)給出詳細(xì)的證明.在給出了雙曲線的定義之后，阿波羅尼奧斯在第I卷的21命題又證明了曲線方程表達(dá)式的變式形式，也可以說是雙曲線的另一種代數(shù)表達(dá)式，其證明的方程為,這種形式與現(xiàn)在的雙曲線表達(dá)式非常接近.41.1.2高中知識(shí)體系對(duì)雙曲線的定義高中知識(shí)體系對(duì)雙曲線的定義有兩種：一種是靜態(tài)定義、一種是動(dòng)態(tài)定義.其中，雙曲線的靜態(tài)定義為，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F?、F?的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零小于|F?F?|)的點(diǎn)集合叫做雙曲線.定點(diǎn)F?、F?叫作雙曲線的焦點(diǎn).兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距.M|MF|-|MF?|=2a,0<2a<|F?F?|}.若2a=|FF|,則點(diǎn)M的軌跡是分別以F?、F?為端點(diǎn)且在直線F?F?上的兩條射線；若2a>|FF?|,則點(diǎn)M的軌跡不存在.1.2雙曲線的方程1.2.1雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的定義及推導(dǎo)根據(jù)雙曲線的定義，我們類比推導(dǎo)橢圓方程的方法來推導(dǎo)雙曲線的方程，先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)定點(diǎn)F,F?的距離為2c,取線段F?F?所在的直線為x軸，線段F?F?的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系3(如圖1)圖1雙曲線圖形則點(diǎn)F?,F?的坐標(biāo)分別為(c,0),(-c,0),設(shè)點(diǎn)P(x,y)是雙曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P與F?,F?的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a,即|PF|-|PF?|=2a,5將兩邊再進(jìn)行平方得x2c2+a?-2a2cx=a2x2+a2c2-2a2cx+a2y2因?yàn)閏2-a2>0,所以可以令b2=c2-a2(b>0)得，b2x2-a2y2=a2b2,即方程Ax2+By2=C(ABC≠0過程.斜率不存在且過焦點(diǎn)的直線被雙曲線截得的線段被稱為雙曲線的通徑.對(duì)于6無關(guān).2.2雙曲線的焦半徑雙曲線上任意一點(diǎn)與其焦點(diǎn)的連線段，叫做雙曲線的焦半徑5.對(duì)于雙曲線),其中F?、F?是它的左和右焦點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x?,yo).若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則有|PF|=ex?+a,|PF|=ex?-a;若點(diǎn)P在雙曲線的左假設(shè)它的上、下焦點(diǎn)分別為F?、F?,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)為(x?,y。),若點(diǎn)P在雙曲線的上支上，則有|PF|=ey。+a,|PF|=ey?-a;若點(diǎn)P在雙曲線的2.3雙曲線的焦點(diǎn)三角形設(shè)雙曲：),如果雙曲線上任意一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的連線可以構(gòu)成一個(gè)三角形，則這個(gè)三角形被稱為焦點(diǎn)三角形6(如圖2)圖2雙曲線的焦點(diǎn)三角形c2-a2=b2,此時(shí)的點(diǎn)P就是雙曲線的頂點(diǎn).7等軸雙曲線的方程形式為x2-y2=a(λ≠0).當(dāng)λ>0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)?shù)玫南?.通過對(duì)雙曲線通徑概念的擴(kuò)展得到可以將其應(yīng)用到證明通徑是雙曲線最短的焦點(diǎn)弦等問題中，其中"通經(jīng)是雙曲線最短的焦點(diǎn)弦"和"雙曲線半通徑長(zhǎng)的倒數(shù)是焦點(diǎn)弦倒數(shù)之和(差)的等差中項(xiàng)"是雙曲線通徑的重要應(yīng)用，此外通徑也是解決雙曲線與其他方程綜合應(yīng)用的解題基礎(chǔ).83.1.2雙曲線半通徑長(zhǎng)的倒數(shù)是焦點(diǎn)弦倒數(shù)之和(差)的等差中項(xiàng)9又因?yàn)殡p曲線的半通徑長(zhǎng)為,故命題得證.同理可證A、B不同支時(shí)存在雙曲線C右支上一點(diǎn)，|F?F?|=10,PF?⊥F?F?,,0點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則又因?yàn)閨PF|所在線段為雙曲線的通徑，由通徑的方程得,即由此可以求出雙曲線的方程為所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),又因?yàn)閨PF?|所在直線的方程為x=5,將其代入到雙曲線的方程中得所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為故向量的乘積為例題評(píng)析：從以上例題的題干可以看出，本題包括的概念點(diǎn)弦以及焦距，這些都是雙曲線的基本概念，本題主要將對(duì)雙曲線通徑的考雙曲線的整體概念中，并且希望解題者能夠形成雙曲線概念的相關(guān)圖像，最終達(dá)到能夠融會(huì)貫通的應(yīng)用雙曲線概念和性質(zhì)的目的.從上述例題對(duì)雙曲線通徑的考察可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線通徑的概念和方程式是題目重要的切入點(diǎn)，在解題者明的通徑是過焦點(diǎn)且垂直于兩焦點(diǎn)連線段的直線被雙曲線所截得的線段之后，很容易聯(lián)想到通徑方程與雙曲線方程中常數(shù)的共同點(diǎn)，從而能夠結(jié)合題干中的信息并3.2雙曲線焦半徑的應(yīng)用焦半徑是雙曲線的基礎(chǔ)概念，是由雙曲線上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線所構(gòu)成的焦點(diǎn)弦，其長(zhǎng)度不是定值[8.雙曲線的焦半徑及其變形在解決雙曲線焦半徑求離心率、雙曲線焦半徑求距離、雙曲線焦半徑求標(biāo)準(zhǔn)方程等問題中得到很廣泛應(yīng)用，下文就是通過解析不同類型的題目，進(jìn)而對(duì)雙曲線焦半徑的應(yīng)用做出總結(jié)與探討.3.2.1運(yùn)用雙曲線焦半徑求離心率已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線C:,雙曲線C的焦距為4,則它的離心率為又因?yàn)殡p曲線的焦距為4,則2c=4,即焦半徑c=2,將焦半徑的值帶入雙曲線的隱含方程a2+b2=c2中，得a2+b2=4,再將兩個(gè)代入數(shù)據(jù)后的方程聯(lián)立求解得a=1,b=√3,故雙曲線的離心率例題評(píng)析：上述運(yùn)用雙曲線焦半徑求離心率的例題中，題到了雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)、雙曲線方程以及焦距，雖然已知條件并未明確提及焦半徑，但是解題者需要明確焦半徑與焦距的關(guān)系.由于對(duì)稱性是雙曲線的主要特征，也是許多性質(zhì)和應(yīng)用的出發(fā)點(diǎn)，所以從焦距的概念拓展到焦半徑的概念是十分有必要的.本題中已知焦距的值也就相當(dāng)于知道了兩倍焦半徑的值，然后再把雙曲線方程中常數(shù)的幾何意義與焦半徑的幾何形狀聯(lián)系起來，最后利用"點(diǎn)在直(曲)線的上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直(曲)線的方程"和雙曲線關(guān)系式"a2+b2=c2"這兩個(gè)隱含條3.2.2運(yùn)用雙曲線焦半徑求距離已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為F?、F?,點(diǎn)M在雙曲線上且MF?垂直于x軸，則點(diǎn)F?到直線MF?的距離為.由焦半徑公式和通徑公式,則x?=-3,例題評(píng)析：焦半徑是雙曲線上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線，由構(gòu)成明確的幾何關(guān)系，并且與方程中相關(guān)常數(shù)有著緊密的聯(lián)系.因此，焦半徑在雙曲線的相關(guān)例題中得到了相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，焦半徑的內(nèi)容均與雙曲線相關(guān)例題的解答有關(guān).但是，本題并非雙曲線焦半徑一般運(yùn)用的簡(jiǎn)單例題，而是直接從焦半徑的概念出發(fā)，嚴(yán)格考察了解題者對(duì)焦半徑公式的應(yīng)用，雖然這一方面不涉及邏輯性和加深解題者對(duì)雙曲線焦半徑公式的理解，焦半徑公式僅僅作為隱含條件.本題的解題思路關(guān)鍵是對(duì)雙曲線焦半徑公式的掌握，以及能夠運(yùn)用幾何思維對(duì)焦半徑的構(gòu)成以及幾何性質(zhì)進(jìn)行全面的掌握.3.3雙曲線焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用焦點(diǎn)三角形是雙曲線與實(shí)軸上的兩個(gè)焦點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三角形，雙曲線中先由點(diǎn)構(gòu)成線、再構(gòu)成面的關(guān)系，讓雙曲線的應(yīng)用變得更加豐富，幾何中的內(nèi)涵也讓雙曲線的世界更加靈動(dòng)和富有整體性9.在雙曲線焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用中，焦距或者半焦距作為三角形的一條邊體現(xiàn)了幾何三角形與雙曲線的交集，焦距與焦半徑形成的夾角則賦予了雙曲線概念以動(dòng)態(tài)美，夾角的取值范圍將不確定性帶入了雙曲線的討論中，使三角函數(shù)等極具變化的概念在雙曲線中得到了應(yīng)用，并且使極限和邊界等抽象思維在雙曲線中得到體現(xiàn).3.3.1求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)過雙曲的焦點(diǎn)F?的弦AB長(zhǎng)為m,另一焦點(diǎn)為F?,則△ABF?的周長(zhǎng)為需要求解焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng).焦點(diǎn)三角形是由雙曲線上任意一點(diǎn)與他們的兩焦點(diǎn)所圍成的一種特殊三角形，因此，在解決相關(guān)問題時(shí)，會(huì)涉及到很多與三角形相關(guān)的知識(shí).本題涉及到的是三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，可以運(yùn)用已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)將題干簡(jiǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)加減運(yùn)算：根據(jù)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)等于|AF|+|BF|+|AB,可得所求三角形的周長(zhǎng)為4a+2m3.3.2求焦點(diǎn)三角形中焦半徑之和的取值范圍雙曲線上任意一點(diǎn).雙曲線是軸對(duì)稱圖形，則可以設(shè)P點(diǎn)在雙曲線的右支上，因而可以得到P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為(1,2).根據(jù)焦半徑公式得|PF|=ex+a,(2x+1)2+(2x-1)2=8x2>16,由此可以得到P點(diǎn)橫坐標(biāo)的另一取值范圍為;例題評(píng)析：從題干來看，雙曲線的方程為已知條件，因而數(shù)量關(guān)系以及常數(shù)在平面坐標(biāo)軸中對(duì)應(yīng)的幾何關(guān)系，此外，焦點(diǎn)三角形的圖像也得到了強(qiáng)調(diào)，這往往解釋了與焦點(diǎn)三角形相關(guān)的幾何關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題答的對(duì)象是焦半徑之和的范圍，對(duì)應(yīng)到焦點(diǎn)三角形中本題的解題思路便一目了然.運(yùn)用焦點(diǎn)三角形作為橋梁將題干翻譯過來則成為一道簡(jiǎn)單的幾何計(jì)算題：求銳角三角形兩邊之和的取值范圍.由此可見，雙曲線焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用與三角形的幾何性質(zhì)息息相關(guān)，因此本題的解題關(guān)鍵在于對(duì)題目所描繪的焦點(diǎn)三角形圖像和性質(zhì)的正確把握，以及對(duì)題干隱含條件銳角小于30度的敏感性.3.4等軸雙曲線的應(yīng)用等軸雙曲線是一簇特殊的雙曲線，它具有實(shí)軸與虛軸相等、兩條漸進(jìn)線y=±x互相垂直的特點(diǎn)，還具有平行于實(shí)軸的弦的兩個(gè)端點(diǎn)與任意一頂點(diǎn)的連線構(gòu)成直角的性質(zhì)，可以運(yùn)用將這一性質(zhì)與證明題相結(jié)合的方法來擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)設(shè)CD是等軸雙曲線的平行于實(shí)軸的任意一弦，求證它的兩端點(diǎn)與實(shí)軸任一頂點(diǎn)的連線成直角.標(biāo)(a,0),CD所在的直線方程為y=m,聯(lián)立直線CD方程與等軸雙曲線方程得x=±Va2+m2,則點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為(-√a2+m2,m),Na2+m2,m,而點(diǎn)B是雙曲線的右頂點(diǎn)，所以BC和BD的坐標(biāo)分別為(-Va2+m2-a,m)和Na2+m2-a,m).因此等軸雙曲線中平行于實(shí)軸的線段的兩端點(diǎn)與實(shí)軸任一頂點(diǎn)的連線構(gòu)成直角得證.例題評(píng)析：證明題與等軸雙曲線的結(jié)合，往往要求解題者性質(zhì)具有一定的把握.本題立足于"等軸雙曲線中平行于實(shí)軸的弦的兩端點(diǎn)與實(shí)軸任一頂點(diǎn)的連線構(gòu)成直角"的性質(zhì)，是對(duì)解題者的數(shù)學(xué)證明思路和等軸雙曲線綜合運(yùn)用是數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)體系整體性和聯(lián)合性的重要途徑之魅力.再將c=3,b=2代入a2+b2=c2得a2=5,解答本題的關(guān)鍵是應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式，將"圓的圓心到與圓相切的雙曲線行解答.圓錐曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，它之所以能在數(shù)學(xué)史上留下光輝的一筆，是因?yàn)樗某霈F(xiàn)連接許多的數(shù)學(xué)概念，而且引出了證明和論證的新方法幾何美，在數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域具有重要的研究?jī)r(jià)值[11.本文應(yīng)用雙曲線定義并對(duì)雙曲線方程進(jìn)行推導(dǎo)從而引出雙曲線的性質(zhì)，對(duì)與雙曲線性質(zhì)相關(guān)雙曲線性質(zhì)與例題評(píng)析的過程中，展示了雙曲線性質(zhì)的運(yùn)用途徑，其中，在焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用中，對(duì)焦距與焦半徑形成的夾角賦予了雙曲線概念以動(dòng)態(tài)美，從而能使學(xué)生以敏銳的觀察力對(duì)問題進(jìn)行探索.雙曲線的性質(zhì)在生活中的運(yùn)用也與雙曲線相關(guān)數(shù)據(jù)有著密切的計(jì)算關(guān)系，在求焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)的過程中，將周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成了三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算的過程.掌握雙曲線相關(guān)性質(zhì)的運(yùn)用與計(jì)算是將雙曲線性質(zhì)應(yīng)用于生活的重要基礎(chǔ).相關(guān)問題的探討還會(huì)有很多，由于本人知識(shí)的限制式的研究，但我會(huì)在以后的學(xué)習(xí)生活中繼續(xù)關(guān)注這性質(zhì)運(yùn)用的研究能夠?qū)?shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教學(xué)帶去相關(guān)的靈感和啟發(fā)[1]孫宏安.門奈赫莫斯與圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)[J].數(shù)學(xué)通