專題十一次函數(shù)（講義）——中考數(shù)學一輪復習備考合集考情分析命題點命題形式命題熱度命題特點一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.一次函數(shù)的圖象與系數(shù)☆☆本專題中選擇題和填空題多考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及一次函數(shù)解析式的確定，解答題多考查一次函數(shù)的實際應用和一次函數(shù)的綜合運用問題，常與方程（組）和不等式（組）結合，體現(xiàn)了數(shù)形結合、分類討論的數(shù)學思想2.一次函數(shù)的增減性☆☆3.一次函數(shù)的圖象變換☆☆4.一次函數(shù)解析式的確定☆☆一次函數(shù)與方程（組）、不等式（組）結合5.一次函數(shù)與方程（組）結合☆6.一次函數(shù)與不等式（組）結合☆一次函數(shù)的實際應用7.一次函數(shù)的實際應用☆☆☆一次函數(shù)與幾何綜合8.一次函數(shù)與幾何圖形綜合☆☆講解一：正比例函數(shù)及其圖象一、正比例函數(shù)的定義形如（是常數(shù)，）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中是比例系數(shù).二、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的取值范圍象限圖象增減性一、三隨的增大而增大二、四隨的增大而減小講解二：一次函數(shù)及其圖象一、一次函數(shù)的定義形如（是常數(shù)，）的函數(shù)叫做一次函數(shù).當時，，所以正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，其中是自變量，是因變量.【注意】1.在一次函數(shù)中，，可以為02.正比例函數(shù)一定是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).二、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的取值范圍的取值范圍象限圖象增減性一、二、三隨的增大而增大一、三、四一、二、四隨的增大而減小二、三、四【注意】1.直線與軸的交點坐標；與軸的交點坐標為2.確定的符號：一次函數(shù)圖象從左至右呈上升趨勢，即當隨的增大而增大時，；反之，3.確定的符號：一次函數(shù)圖象與軸的交點在正半軸時，；反之，4.的作用：的符號函數(shù)增減性或圖象的傾斜方向；直線的傾斜程度5.的作用：的符號直線與軸交點的位置三、一次函數(shù)圖象間的位置關系同一平面直角坐標系中兩直線，的位置關系的關系與的關系與相交，與相交于軸上的一點，與平行命題精練命題形式1一次函數(shù)的圖象與系數(shù)1．（2024·四川·中考真題）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【思路點撥】本題考查一次函數(shù)的圖像，掌握根據(jù)k，b的符號正確判斷一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限是解題的關鍵．根據(jù)k，b的符號判斷直線所經(jīng)過的象限，然后確定必不經(jīng)過的象限即可．解析：∵由已知，得：，∴圖象經(jīng)過第一、二、三象限，∴圖象不經(jīng)過第四象限．故選：D．2．（2023·陜西·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和（k為常數(shù)，）的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D解析：∵和（k為常數(shù)，），∴函數(shù)過原點，且經(jīng)過二、四象限，圖象是下降的；一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三、四，且圖象是上升的，故A、B、C不合題意，D選項符合題意；故選：D．3.（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與（其中，，，，為常數(shù)）的圖象分別為直線，．下列結論正確的是（）A． B． C． D．【答案】A解析：由一次函數(shù)：的圖象可得：，，由一次函數(shù)：的圖象可得：，，∴，，，，正確的結論是A，符合題意，故選A．命題形式2一次函數(shù)的增減性1．（2024·新疆·中考真題）若一次函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則k的值可以是（）A． B． C．0 D．1【答案】D【思路點撥】本題考查了一次函數(shù)的增減性，要知道，在直線中，當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減?。馕觯骸咭淮魏瘮?shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大，∴，而四個選項中，只有D符合題意，故選：D．2．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則y的值隨x的增大而．（選填“增大”或“減小”）【答案】減小解析：正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，解得：，又，的值隨的增大而減?。蚀鸢笧椋簻p小．3.（2024·四川自貢·中考真題）一次函數(shù)的值隨的增大而增大，請寫出一個滿足條件的的值．【答案】（答案不唯一）解析：∵的值隨x的增大而增大，∴，∴，∴的值可以為：，故答案為：（答案不唯一）．4.（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）點、在一次函數(shù)的圖像上，則（用“”、“”或“”填空）．【答案】<【思路點撥】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)，可知一次函數(shù)值y隨著x的增大而增大，再比較x值的大小，可得答案．解析：∵一次函數(shù)中，，∴一次函數(shù)值y隨著x的增大而增大．∵，∴．故答案為：．講解三：一次函數(shù)的圖象變換一、一次函數(shù)圖象的平移平移前的解析式平移方式平移后的解析式向左平移m個單位長度向右平移m個單位長度向上平移m個單位長度向下平移m個單位長度簡記為“左加右減自變量，上加下減常數(shù)項”.二、一次函數(shù)圖象的對稱對稱前的解析式對稱方式對稱后的解析式關于x軸對稱關于y軸對稱關于原點對稱命題精練命題形式3一次函數(shù)的圖象變換1.（2023·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標系中．將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉，再向上平移1個單位長度，所得直線的函數(shù)表達式為（）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】先求出函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉的函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可求出平移后的解析式．解析：∵點是函數(shù)圖象上的點，∴將繞原點逆時針旋轉，則旋轉后圖象經(jīng)過原點和、∴將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉得到圖象的解析式為，∴根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律，再將其向上平移1個單位后的解析式為．故選A．2.（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）在平面直角坐標系中，將正比例函數(shù)的圖象向右平移3個單位長度得到一次函數(shù)的圖象，則該一次函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．【答案】B解析：正比例函數(shù)的圖象向右平移3個單位長度得：，故選：B．3.（2024·西藏·中考真題）將正比例函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度后得到函數(shù)圖象的解析式為．【答案】解析：正比例函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度后得到函數(shù)圖象的解析式為：，故答案為：．【題型解讀】本題考查一次函數(shù)圖象與幾何變換，在平面直角坐標系中，平移后解析式有這樣一個規(guī)律“左加右減，上加下減”.講解四：一次函數(shù)解析式的確定待定系數(shù)法的步驟（1）設：設所求一次函數(shù)的解析式為；（2）代：將圖象上的點的橫坐標、縱坐標分別代換，得到方程組（3）解：解關于的值代入中，從而得到函數(shù)解析式（4）確定函數(shù)解析式常見類型（1）兩點型：直接運用待定系數(shù)法求解；（2）平移型：由平移前后不變，設出平移后的函數(shù)解析式，再代入已知點坐標即可命題精練命題形式4一次函數(shù)解析式的確定1.（2024·山東東營·中考真題）在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度是所掛物體質(zhì)量的一次函數(shù)．一根彈簧不掛物體時長12.5cm，當所掛物體的質(zhì)量為2kg時，彈簧長13.5cm．當所掛物體的質(zhì)量為5kg時，彈簧的長度為cm，【答案】【思路點撥】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、由自變量求函數(shù)值的知識點，解答時求出函數(shù)的解析式是關鍵．設與的函數(shù)關系式為，由待定系數(shù)法求出解析式，并把代入解析式求出對應的值即可．解析：設與的函數(shù)關系式為，由題意，得，解得：，故與之間的關系式為：，當時，．故答案為：．2.（2023.北京·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，與過點且平行于x軸的線交于點C.（1）求該函數(shù)的解析式及點C的坐標；【答案】，解析：把，分別代入，得解得該函數(shù)的解析式為.把代入，得，解得，點C的坐標為.3.（2023·山東·中考真題）一輛汽車在行駛過程中，其行駛路程（千米）與行駛時間（小時）之間的函數(shù)關系如圖所示．當時，與之間的函數(shù)表達式為；當時，與之間的函數(shù)表達式為．【答案】解析：把代入，得，設當時，與之間的函數(shù)表達式為，把，分別代入，得，解得：，∴與之間的函數(shù)表達式為故答案為：．講解五：一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關系一、一次函數(shù)與方程（組）的關系方程（組）方程：方程組：一次函數(shù)；圖象關系方程的解是直線與軸交點（）的橫坐標，即方程組的解是直線與直線交點（）的橫、縱坐標，即二、用圖象法求二元一次方程組的解的一般步驟：（1）變函數(shù)：把方程組化為一次函數(shù)與.（2）畫圖象：建立一個平面直角坐標系，畫出兩個一次函數(shù)的圖象.（3）找交點：由圖象確定兩直線交點的坐標.（4）寫結論：依據(jù)點的坐標寫出方程組的解.【拓展】二元一次方程組中的兩個方程化為一次函數(shù)后，其圖象可能是兩條相交直線、兩條重合直線或兩條平行直線，因此，方程組可能有唯一解、無窮多解或無解.如的兩個方程化為一次函數(shù)后，其圖象是兩條平行的直線，故方程組無解.三、一次函數(shù)與不等式的關系不等式一次函數(shù)；圖象關系不等式的解集是直線在軸上方（）所對應的的取值范圍，即不等式的解集是直線在下方所對應的的取值范圍，即命題精練命題形式5一次函數(shù)與方程（組）結合1.（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）點在直線上，坐標是二元一次方程的解，則點的位置在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D解析：聯(lián)立方程組，解得，∴P的坐標為，∴點P在第四象限，故選∶D．2.（2023·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是（）

A．隨的增大而增大B．C．當時，D．關于，的方程組的解為【答案】C解析：A、隨的增大而增大，故選項A正確；B、由圖象可知，一次函數(shù)的圖象與軸的交點在的圖象與軸的交點的下方，即，故選項B正確；C、由圖象可知：當時，，故選項C錯誤；D、由圖象可知，兩條直線的交點為，∴關于，的方程組的解為；故選項D正確；故選C．3.（2022·陜西·中考真題）在同一平面直角坐標系中，直線與相交于點，則關于x，y的方程組的解為（）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】先把點P代入直線求出n，再根據(jù)二元一次方程組與一次函數(shù)的關系求解即可.解析：∵直線與直線交于點P（3，n），∴，∴，∴，∴1=3×2+m，∴m=-5,∴關于x，y的方程組的解.故選：C．命題形式6一次函數(shù)與不等式結合1.（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解不等式的方法：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍．找到當函數(shù)圖象位于x軸的下方的圖象即可．解析：∵不等式的解集是，∴當時，，觀察各個選項，只有選項B符合題意，故選：B．2.（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，直線過點，，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B解析：解：∵，∴當時，，故選：B．3.（2024·山東日照·中考真題）已知一次函數(shù)和，當時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍為.【答案】解析：可知過原點，∵中，時，，∴當過點時，，得；當與平行時，得．由函數(shù)圖象知，當時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，a的取值范圍為：．故答案為：．講解六：一次函數(shù)的實際應用判斷等量關系為一次函數(shù)的情況（1）函數(shù)圖象是直線（或直線的一部分）；（2）用表格呈現(xiàn)數(shù)據(jù)時：當自變量的變化值均勻時，函數(shù)的變化值也是均勻的，而且當自變量的變化值為1時，函數(shù)的變化值就是自變量的系數(shù)；（3）用語言呈現(xiàn)數(shù)據(jù)時：當自變量每變化1個單位時，因變量就相應變化個單位常見類型（1）最優(yōu)方案或方案選擇問題：常通過比價函數(shù)值的大小關系確定方案；（2）利潤最大或費用最少問題：通過函數(shù)增減性確定最值.注意：根據(jù)實際情況確定變量的取值范圍知識延伸：分段函數(shù)自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其解析式也不同的函數(shù)叫做分段函數(shù).在實際問題中，常用到分段函數(shù)的有出租車計費問題、行程問題、階梯水電費問題等，解答時需根據(jù)自變量的取值范圍分段討論.下表中以確定下圖的函數(shù)解析式為例：類別舉例①找自變量的分界值為該函數(shù)自變量的分界值②分別求每段函數(shù)的解析式當時，；當時，③確定分段函數(shù)解析式故解析式為【注意】分段函數(shù)由多個解析式組成，寫分段函數(shù)解析式時必須帶上自變量的取值范圍.命題精練命題形式7一次函數(shù)的實際應用1.（2023·四川甘孜·中考真題）某次氣象探測活動中，在一廣場上同時釋放兩個探測氣球．1號探測氣球從距離地面5米處出發(fā)，以1米/分的速度上升，2號探測氣球距離地面的高度y（單位：米）與上升時間x（單位：分）滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示．(1)求y關于x的函數(shù)解析式；(2)探測氣球上升多長時間時，兩個氣球位于同一高度？此時它們距離地面多少米？【答案】(1)(2)探測氣球上升20分鐘時，兩個氣球位于同一高度，此時它們距離地面25米【思路點撥】（1）設關于的函數(shù)解析式為，將點代入計算即可得；（2）先求出1號氣球上升分時，高度為米，再根據(jù)兩個氣球位于同一高度建立方程，解方程即可得．解析：（1）由題意，設關于的函數(shù)解析式為，將點代入得：，解得，則關于的函數(shù)解析式為．（2）由題意可知，1號氣球上升分時，高度為米，則，解得，此時，答：探測氣球上升20分鐘時，兩個氣球位于同一高度，此時它們距離地面25米．2.（2024·吉林長春·中考真題）區(qū)間測速是指在某一路段前后設置兩個監(jiān)控點，根據(jù)車輛通過兩個監(jiān)控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經(jīng)過一段長度為20千米的區(qū)間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當他到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區(qū)間測速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時間（時）之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)的值為________；(2)當時，求與之間的函數(shù)關系式；(3)通過計算說明在此區(qū)間測速路段內(nèi)，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）【答案】(1)(2)(3)沒有超速解析：（1）由題意可得：，解得：．故答案為：．（2）設當時，y與x之間的函數(shù)關系式為，則：，解得：，∴．（3）當時，，∴先勻速行駛小時的速度為：，∵，∴輛汽車減速前沒有超速．3.（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）領航無人機表演團隊進行無人機表演訓練，甲無人機以a米/秒的速度從地面起飛，乙無人機從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無人機同時勻速上升，6秒時甲無人機到達訓練計劃指定的高度停止上升開始表演，完成表演動作后，按原速繼續(xù)飛行上升，當甲、乙無人機按照訓練計劃準時到達距離地面的高度為96米時，進行了時長為t秒的聯(lián)合表演，表演完成后以相同的速度大小同時返回地面．甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y(米)與無人機飛行的時間x(秒)之間的函數(shù)關系如圖所示．請結合圖象解答下列問題：(1)______米/秒，______秒；(2)求線段所在直線的函數(shù)解析式；(3)兩架無人機表演訓練到多少秒時，它們距離地面的高度差為12米？(直接寫出答案即可)【答案】(1)8，20(2)；(3)2秒或10秒或16秒．【思路點撥】本題主要考查求一次函數(shù)的應用，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題的關鍵．（1）根據(jù)圖形計算即可求解；（2）先求得甲無人機單獨表演所用時間為秒，得到，利用待定系數(shù)法即可求解；（3）利用待定系數(shù)法分別求得線段、線段、線段所在直線的函數(shù)解析式，再分三種情況討論，列式計算即可求解解析：（1）由題意得甲無人機的速度為米/秒，，故答案為：8，20；（2）由圖象知，，∵甲無人機的速度為8米/秒，甲無人機勻速從0米到96米所用時間為秒，甲無人機單獨表演所用時間為秒，∴秒，∴，設線段所在直線的函數(shù)解析式為，將，代入得，解得，∴線段所在直線的函數(shù)解析式為；（3）由題意，，同理線段所在直線的函數(shù)解析式為，線段所在直線的函數(shù)解析式為，線段所在直線的函數(shù)解析式為，當時，由題意得，解得或（舍去），當時，由題意得，解得或（舍去），當時，由題意得，解得或（舍去），綜上，兩架無人機表演訓練到2秒或10秒或16秒時，它們距離地面的高度差為12米．4.（2023·陜西·中考真題）經(jīng)驗表明，樹在一定的成長階段，其胸徑（樹的主干在地面以上處的直徑）越大，樹就越高．通過對某種樹進行測量研究，