工程數(shù)學線性代數(shù)與概率統(tǒng)計答案1章?一、線性代數(shù)部分

1.1行列式的定義與性質(zhì)題目求排列32514的逆序數(shù)。

答案在排列32514中：3排在首位，逆序數(shù)為0；2的前面比2大的數(shù)有3，逆序數(shù)為1；5的前面比5大的數(shù)沒有，逆序數(shù)為0；1的前面比1大的數(shù)有3、2、5，逆序數(shù)為3；4的前面比4大的數(shù)有5，逆序數(shù)為1。所以排列32514的逆序數(shù)為\(0+1+0+3+1=5\)。

題目計算二階行列式\(\begin{vmatrix}3&1\\2&4\end{vmatrix}\)。

答案根據(jù)二階行列式的計算公式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=adbc\)，可得：\(\begin{vmatrix}3&1\\2&4\end{vmatrix}=3×4(1)×2=12+2=14\)。

題目計算三階行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)。

答案根據(jù)三階行列式的展開法則：\(\begin{align*}&\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\\=&1×\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}2×\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3×\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\\=&1×(5×96×8)2×(4×96×7)+3×(4×85×7)\\=&1×(4548)2×(3642)+3×(3235)\\=&1×(3)2×(6)+3×(3)\\=&3+129\\=&0\end{align*}\)

1.2行列式的計算方法題目利用行列式的性質(zhì)計算\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{vmatrix}\)。

答案\(\begin{align*}&\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}1&2&3\\41×4&52×4&63×4\\71×7&82×7&103×7\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}1&2&3\\0&3&6\\0&6&11\end{vmatrix}\\=&1×\begin{vmatrix}3&6\\6&11\end{vmatrix}\\=&1×((3)×(11)(6)×(6))\\=&1×(3336)\\=&3\end{align*}\)

題目計算行列式\(\begin{vmatrix}a&b&c\\a^2&b^2&c^2\\b+c&c+a&a+b\end{vmatrix}\)。

答案\(\begin{align*}&\begin{vmatrix}a&b&c\\a^2&b^2&c^2\\b+c&c+a&a+b\end{vmatrix}\\=&(a+b+c)\begin{vmatrix}1&1&1\\a^2&b^2&c^2\\b&c&a\end{vmatrix}\\=&(a+b+c)\begin{vmatrix}1&0&0\\a^2&b^2a^2&c^2a^2\\b&cb&ab\end{vmatrix}\\=&(a+b+c)(ba)(ca)\begin{vmatrix}1&0&0\\a^2&b+a&c+a\\b&1&1\end{vmatrix}\\=&(a+b+c)(ba)(ca)(b+a+c+a)\\=&(a+b+c)(ba)(ca)(a+b+c)\\=&(a+b+c)^2(ba)(ca)\end{align*}\)

1.3克拉默法則題目用克拉默法則解方程組\(\begin{cases}2x+yz=2\\x+2y+z=3\\xy+2z=2\end{cases}\)。

答案系數(shù)行列式\(D=\begin{vmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{vmatrix}\)\(\begin{align*}D&=2×\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}1×\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}+(1)×\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}\\&=2×(2×21×(1))1×(1×21×1)+(1)×(1×(1)2×1)\\&=2×(4+1)1×(21)1×(12)\\&=2×51×11×(3)\\&=101+3\\&=12\end{align*}\)

\(D_x=\begin{vmatrix}2&1&1\\3&2&1\\2&1&2\end{vmatrix}\)\(\begin{align*}D_x&=2×\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}1×\begin{vmatrix}3&1\\2&2\end{vmatrix}+(1)×\begin{vmatrix}3&2\\2&1\end{vmatrix}\\&=2×(2×21×(1))1×(3×21×2)+(1)×(3×(1)2×2)\\&=2×(4+1)1×(62)1×(34)\\&=2×51×41×(7)\\&=104+7\\&=13\end{align*}\)

\(D_y=\begin{vmatrix}2&2&1\\1&3&1\\1&2&2\end{vmatrix}\)\(\begin{align*}D_y&=2×\begin{vmatrix}3&1\\2&2\end{vmatrix}2×\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}+(1)×\begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}\\&=2×(3×21×2)2×(1×21×1)+(1)×(1×23×1)\\&=2×(62)2×(21)1×(23)\\&=2×42×11×(1)\\&=82+1\\&=7\end{align*}\)

\(D_z=\begin{vmatrix}2&1&2\\1&2&3\\1&1&2\end{vmatrix}\)\(\begin{align*}D_z&=2×\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}1×\begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}+2×\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}\\&=2×(2×23×(1))1×(1×23×1)+2×(1×(1)2×1)\\&=2×(4+3)1×(23)+2×(12)\\&=2×71×(1)+2×(3)\\&=14+16\\&=9\end{align*}\)

則\(x=\frac{D_x}{D}=\frac{13}{12}\)，\(y=\frac{D_y}{D}=\frac{7}{12}\)，\(z=\frac{D_z}{D}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\)。

二、概率統(tǒng)計部分

1.1隨機事件與樣本空間題目試說明下列事件的關(guān)系：（1）\(A\)："擲一顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)"；\(B\)："擲一顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)"。（2）\(A\)："射手射擊一次，擊中靶心"；\(B\)："射手射擊一次，未擊中靶心"。

答案（1）事件\(A\)和事件\(B\)不能同時發(fā)生，且\(A\cupB\)為必然事件（擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)），所以\(A\)與\(B\)是互斥且對立的關(guān)系。（2）事件\(A\)和事件\(B\)不能同時發(fā)生，且\(A\cupB\)為必然事件（射手射擊一次不是擊中靶心就是未擊中靶心），所以\(A\)與\(B\)是互斥且對立的關(guān)系。

題目從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況。記\(A\)表示"兩件產(chǎn)品都是合格品"，\(B\)表示"至少有一件是合格品"，\(C\)表示"至多有一件是合格品"，問\(A\)與\(B\)，\(A\)與\(C\)是什么關(guān)系？

答案\(A\)發(fā)生時，\(B\)一定發(fā)生，所以\(A\subseteqB\)。\(A\)發(fā)生時，意味著兩件都是合格品，那么\(C\)（至多有一件是合格品）就不發(fā)生，\(A\)與\(C\)不能同時發(fā)生，且\(A\cupC\)不是必然事件，所以\(A\)與\(C\)是互斥關(guān)系。

1.2事件的概率題目已知\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(A\cupB)=0.6\)，求\(P(A\capB)\)。

答案根據(jù)概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(A\capB)\)，可得：\(P(A\capB)=P(A)+P(B)P(A\cupB)=0.5+0.30.6=0.2\)。

題目設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個隨機事件，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(AB)=0.2\)，求\(P(A\cupB)\)和\(P(BA)\)。

答案因為\(P(AB)=P(A)P(A\capB)=0.2\)，已知\(P(A)=0.4\)，所以\(P(A\capB)=P(A)0.2=0.40.2=0.2\)。則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(A\capB)=0.4+0.30.2=0.5\)。\(P(BA)=P(B)P(A\capB)=0.30.2=0.1\)。

1.3古典概型題目將一枚硬幣拋擲三次，求恰好出現(xiàn)一次正面的概率。

答案一枚硬幣拋擲三次，總的基本事件數(shù)為\(2×2×2=8\)種。恰好出現(xiàn)一次正面的情況有（正，反，反）、（反，正，反）、（反，反，正），共\(3\)種。所以恰好出現(xiàn)一次正面的概率為\(\frac{3}{8}\)。

題目從\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這六個數(shù)字中任取三個組成三位數(shù)，求能被\(5\)整除的三位數(shù)的概率。

答案從六個數(shù)字中任取三個組成三位數(shù)，總的個數(shù)為\(A_{5}^1A_{5}^2=5×5×4=100\)個（百位不能為\(0\)）。能被\(5\)整除的三位數(shù)，個位必須是\(0\)或\(5\)。當個位是\(0\)時，百位有\(zhòng)(5\)種選擇，十位有\(zhòng)(4\)種選擇，共\(5×4=20\)個。當個位是\(5\)時，百位不能為\(0\)，有\(zhòng)(4\)種選擇，十位有\(zhòng)(4\)種選擇，共\(4×4=16\)個。所以能被\(5\)整除的三位數(shù)共有\(zhòng)(20+16=36\)個。則能被\(5\)整除的三位數(shù)的概率為\(\frac{36}{100}=\frac{9}{25}\)。

1.4條件概率題目已知\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.4\)，\(P(A\capB)=0.2\)，求\(P(A|B)\)和\(P(B|A)\)。

答案根據(jù)條件概率公式\(P(A|B)=\frac{P(A\capB)}{P(B)}\)，可得：\(P(A|B)=\frac{0.2}{0.4}=0.5\)。\(P(B|A)=\frac{P(A\capB)}{P(A)}=\frac{0.2}{0.6}=\frac{1}{3}\)。

題目設(shè)某種動物由出生算起活到\(20\)歲的概率為\(0.8\)，活到\(25\)歲的概率為\(0.4\)。現(xiàn)有一只\(20\)歲的這種動物，問它能活到\(25\)歲的概率是多少？

答案設(shè)\(A\)表示"活到\(20\)歲"，\(B\)表示"活到\(25\)歲"，則\(P(A)=0.8\)，\(P(B)=0.4\)，且\(B\subseteqA\)，所以\(P(A\capB)=P(B)=0.4\)。由條件概率公式可得這只\(20\)歲的動物能活到\(25\)歲的概率為\(