題型115類概率統(tǒng)計(jì)選填解題技巧（概率的基本性質(zhì)、條件概率、全概率、貝葉斯公式、樣本數(shù)字特征）技法01技法01判斷概率中的事件關(guān)系的解題技巧技法02條件概率解題技巧技法03全概率解題技巧技法04貝葉斯公式解題技巧技法05樣本數(shù)字特征的解題技巧本節(jié)導(dǎo)航技法01判斷概率中的事件關(guān)系的解題技巧在概率小題中，利用概率的基本性質(zhì)判斷事件的相互關(guān)系（互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件等），是新高考卷的常考內(nèi)容，難度中等偏易，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．概率加法公式的推廣當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(5)獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)·P(B)，個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）質(zhì)地均勻的正四面體模型四個(gè)表面分別標(biāo)有，，，四個(gè)數(shù)字，將這個(gè)模型拋擲一次，并記錄與地面接觸面上的數(shù)字，記事件“數(shù)字為的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是的倍數(shù)”為事件，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．事件兩兩互斥 B．事件與事件對立C． D．事件兩兩相互獨(dú)立1．（2024·福建莆田·二模）若，則（

）A．事件與互斥 B．事件與相互獨(dú)立C． D．2．（2024·湖南衡陽·一模）已知古典概型的樣本空間，“事件”，則命題“事件”是命題“事件與事件相互獨(dú)立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體的八個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1到8，將其隨機(jī)拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)字依次為，事件：，事件，事件，則下列正確的是（

）A． B．C．互斥 D．相互獨(dú)立1．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測）事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的概率為，若，，，則事件與事件的關(guān)系為（

）A．互斥 B．對立 C．獨(dú)立 D．包含2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）擲出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一枚點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“第二枚點(diǎn)數(shù)大于4”，則與關(guān)系為（

）A．互斥 B．互為對立 C．相互獨(dú)立 D．相等3．（2024·江西·模擬預(yù)測）有6個(gè)質(zhì)地形狀相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字，從中隨機(jī)有放回的取兩個(gè)球，每次取1個(gè)球．事件“第一次取出的球標(biāo)的數(shù)字為奇數(shù)”，事件“第二次取出的球標(biāo)的數(shù)字為偶數(shù)”，事件“兩次取出的球標(biāo)的數(shù)字之和為5”，事件“兩次取出的球標(biāo)的數(shù)字之和為6”，則（

）A．與互斥 B．與相互獨(dú)立C．與相互獨(dú)立 D．與互斥4．（2024·河北滄州·一模）（多選）某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的課外活動，為同學(xué)們舉辦了四種科普活動：科技展覽、科普講座、科技游藝、科技繪畫．記事件：只參加科技游藝活動；事件：至少參加兩種科普活動；事件：只參加一種科普活動；事件：一種科普活動都不參加；事件：至多參加一種科普活動，則下列說法正確的是（

）A．與是互斥事件 B．與是對立事件C． D．5．（多選）投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，設(shè)隨機(jī)變量．記A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，則（

）A．和互為對立事件 B．事件和不互斥C．事件和相互獨(dú)立 D．事件和相互獨(dú)立技法02條件概率解題技巧條件概率是新高考卷的常考內(nèi)容，難度中等偏難，是概率中的核心內(nèi)容，在小題和大題中都有考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，能化繁為簡（2023·全國甲卷·高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.41．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為2．（2024·天津·高考真題）某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個(gè)項(xiàng)目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個(gè)項(xiàng)目.假設(shè)每人參加每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項(xiàng)目的概率為；已知乙同學(xué)參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為．3．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）小明爬樓梯每一步走1級臺階或2級臺階是隨機(jī)的，且走1級臺階的概率為，走2級臺階的概率為．小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率是（

）A． B． C． D．1．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在某電路上有C，D兩個(gè)獨(dú)立工作的元件，每次通電后，需要更換C元件的概率為0.3，需要更換D元件的概率為0.2，則在某次通電后C，D有且只有一個(gè)需要更換的條件下，C需要更換的概率是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽·模擬預(yù)測）某公司進(jìn)行招聘，甲、乙、丙被錄取的概率分別為，，，且他們是否被錄取互不影響，若甲、乙、丙三人中恰有兩人被錄取，則甲被錄取的概率為（

）．A． B． C． D．3．（2024·河北衡水·三模）已知甲、乙、丙三人參加射擊比賽，甲、乙、丙三人射擊一次命中的概率分別為，且每個(gè)人射擊相互獨(dú)立，若每人各射擊一次，則在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概率為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南邵陽·一模）在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是和，且三人的測試結(jié)果相互獨(dú)立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級的概率為（

）A． B． C． D．技法03全概率解題技巧全概率是新高考卷的?？純?nèi)容，難度中等偏難，是概率中的核心內(nèi)容，在小題和大題中都有考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計(jì)算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個(gè)復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.（2024·河南信陽·二模）隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明的上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，，，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，，，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是（

）A． B． C． D．1．（2024·云南昆明·三模）在定點(diǎn)投籃練習(xí)中，小明第一次投籃命中的概率為，第二次投籃命中的概率為，若小明在第一次命中的條件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的條件下第二次命中的概率是，則（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江·一模）（多選）現(xiàn)有一個(gè)抽獎活動，主持人將獎品放在編號為1、2、3的箱子中，甲從中選擇了1號箱子，但暫時(shí)未打開箱子，主持人此時(shí)打開了另一個(gè)箱子（主持人知道獎品在哪個(gè)箱子，他只打開甲選擇之外的一個(gè)空箱子）.記表示第號箱子有獎品，表示主持人打開第號箱子.則下列說法正確的是（

）A．B．C．若再給甲一次選擇的機(jī)會，則甲換號后中獎概率增大D．若再給甲一次選擇的機(jī)會，則甲換號后中獎概率不變1．（2024·河南·模擬預(yù)測）袋子中裝有5個(gè)形狀和大小相同的球，其中3個(gè)標(biāo)有字母個(gè)標(biāo)有字母.甲先從袋中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸出的球不再放回，然后乙從袋中隨機(jī)摸一個(gè)球，若甲?乙兩人摸到標(biāo)有字母的球的概率分別為，則（

）A． B．C． D．2．（2024·安徽·一模）有三臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，任取一個(gè)零件，則它是次品的概率（

）A．0.054 B．0.0535 C．0.0515 D．0.05253．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測）從數(shù)字，，，中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，第一次取到的數(shù)字為，再從數(shù)字，…，中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，則第二次取到數(shù)字為的概率是.技法04貝葉斯公式解題技巧貝葉斯公式是新高考卷的常考內(nèi)容，難度中等偏難，是概率中的重點(diǎn)內(nèi)容，在小題和大題中都有考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對任意的事件有（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有3臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．已知第臺車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件“零件為第i臺車床加工”，事件“零件為次品”，則（

）A．0.2 B．0.05 C． D．1．（2024·江西上饒·模擬預(yù)測）越來越多的人喜歡參加戶外極限運(yùn)動，據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，兩個(gè)地區(qū)分別有的人參加戶外極限運(yùn)動，兩個(gè)地區(qū)的總?cè)丝跀?shù)的比為．若從這兩個(gè)地區(qū)中任意選取一人，則此人參加戶外極限運(yùn)動的概率為；若此人參加戶外極限運(yùn)動，則此人來自地區(qū)的概率為，那么（

）A． B．C． D．2．（2024·江西南昌·一模）假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個(gè)球.已知從乙袋中取出的是2個(gè)白球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)白球的概率為（）A． B． C． D．1．（2024·湖南邵陽·三模）甲、乙兩個(gè)工廠代加工同一種零件，甲加工的次品率為，乙加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙工廠加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，任取一個(gè)零件，如果取到的零件是次品，則它是乙工廠加工的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·貴州遵義·三模）（多選）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，經(jīng)他研究，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：.現(xiàn)有甲、乙、丙三臺車床加工同一件零件，甲車床加工的次品率為，乙車床加工的次品率，丙車床加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起，且甲、乙、丙3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，，設(shè)事件，，分別表示取到的零件來自甲、乙、丙車床，事件B表示任取一個(gè)零件為次品，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．3．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）（多選）中國象棋是一種益智游戲，也體現(xiàn)博大精深的中國文化.某學(xué)校舉辦了一次象棋比賽，李明作為選手參加.除李明之外的其他選手中，甲、乙兩組的人數(shù)之比為，李明與甲、乙兩組選手比賽獲勝的概率分別為0.6，0.5.從甲、乙兩組參賽選手中隨機(jī)抽取一位棋手與李明比賽，下列說法正確的是（

）A．李明與甲組選手比賽且獲勝的概率為B．李明獲勝的概率為C．若李明獲勝，則棋手來自甲組的概率為D．若李明獲勝，則棋手來自乙組的概率為技法05樣本數(shù)字特征的解題技巧在概率統(tǒng)計(jì)問題中，樣本數(shù)字特征是一個(gè)重要的解題工具。樣本均值、樣本方差等數(shù)字特征，能夠反映出樣本數(shù)據(jù)的整體趨勢和離散程度。難度中等，需強(qiáng)加練習(xí)來熟練掌握樣本數(shù)字特征的解題技巧。平均數(shù)：，反映樣本的平均水平方差：，反映樣本的波動程度，穩(wěn)定程度和離散程度；標(biāo)準(zhǔn)差：，標(biāo)準(zhǔn)差等于方差的算術(shù)平方根，數(shù)學(xué)意義和方差一樣極差：等于樣本的最大值最小值總體方差公式設(shè)總體中有個(gè)個(gè)體，其取值分別為,總體均值為,則總體方差的計(jì)算公式為：這個(gè)公式反映了總體中各個(gè)個(gè)體與總體均值的偏離程度，總體方差越大，說明總體數(shù)據(jù)的離散程度越大，數(shù)據(jù)越分散；總體方差越小，說明數(shù)據(jù)越集中在均值附近。樣本方差公式對于從總體中抽取的樣本數(shù)據(jù),樣本均值為,樣本方差的計(jì)算公式為：這里使用作為分母，而不是,是為了對總體方差進(jìn)行無偏估計(jì)。當(dāng)樣本量較大時(shí)，使用或作為分母對結(jié)果影響較小，但在樣本量較小時(shí)，使用能更準(zhǔn)確地估計(jì)總體方差。（2024·吉林長春·一模）為了解小學(xué)生每天的戶外運(yùn)動時(shí)間，某校對小學(xué)生進(jìn)行平均每天戶外運(yùn)動時(shí)間（單位：小時(shí)）的調(diào)查，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣.如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了三年級及以下學(xué)生40人，其平均數(shù)和方差分別為2.5和1.65，抽取了四年級及以上學(xué)生60人，其平均數(shù)和方差分別為1.5和3.5，則估計(jì)該校學(xué)生平均每天戶外運(yùn)動時(shí)間的總體方差為（

）A．5 B．4 C．3 D．21．（2024·河北·模擬預(yù)測）某同學(xué)擲一枚正方體骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，統(tǒng)計(jì)出結(jié)果的平均數(shù)為2，方差為0.4，可判斷這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·江西贛州·一模）若一組樣本數(shù)據(jù)的方差為，則樣本數(shù)據(jù)的方差為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．3．（2025·重慶·一模）有4位同學(xué)各擲骰子5次（骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1，2，3，4，5，6），分別記錄自己每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四位同學(xué)根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并對自己的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1的是（

）A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為4 B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為5C．平均數(shù)為4，方差為1.2 D．中位數(shù)為4，方差為1.61．（2024·江西·二模）從甲隊(duì)60人、乙隊(duì)40人中，按照分層抽樣的方法從兩隊(duì)共抽取10人，進(jìn)行一輪答題．相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：甲隊(duì)答對題目的平均數(shù)為1，方差為1；乙隊(duì)答對題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.4，則這10人答對題目的方差為（

）A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.822．（2024·浙江金華·三模）命題P：，，…，的平均數(shù)與中位數(shù)相等；命題Q：，，…，是等差數(shù)列，則P是Q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·陜西西安·二模）有一組樣本數(shù)據(jù)：，，，其平均數(shù)為2，由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：，，，2，那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定有相同的（

）A．眾數(shù) B．中位數(shù)C．方差 D．極差4．（2024·陜西榆林·三模）在一次數(shù)學(xué)?？贾?，從甲?乙兩個(gè)班各自抽出10個(gè)人的成績，甲班的十個(gè)人成績分別為，乙班的十個(gè)人成績分別為.假設(shè)這兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相同?方差也相同，則把這20個(gè)數(shù)據(jù)合并后（

）A．中位數(shù)一定不變，方差可能變大B．中位數(shù)可能改變，方差可能變大C．中位數(shù)一定不變，方差可能變小D．中位數(shù)可能改變，方差可能變小一、單選題1．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）某停車場在統(tǒng)計(jì)停車數(shù)量時(shí)數(shù)據(jù)不小心丟失一個(gè)，其余六個(gè)數(shù)據(jù)分別是10，8，8，11，16，8，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為（

）A．21 B．24 C．27 D．322．（2024·遼寧葫蘆島·二模）設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，，則下列正確的是（

）A．若，則A與B相互獨(dú)立 B．C． D．A與B有可能是對立事件3．（2024·廣東佛山·一模）若古典概型的樣本空間，事件，甲：事件，乙：事件相互獨(dú)立，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·廣東·二模）一個(gè)正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字.事件，事件，若事件滿足，，則滿足條件的事件的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．8 C．16 D．245．（2024·貴州黔東南·二模）貴州有很多旅游景點(diǎn)，值得推薦的景區(qū)是“黃小西吃晚飯”.“黃小西”分別指黃果樹、荔波小七孔和西江千戶苗寨，“吃晚飯”分別代表其諧音對應(yīng)的三個(gè)景區(qū)：赤水國家級風(fēng)景名勝區(qū)、萬峰林和梵凈山.現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到貴州，都準(zhǔn)備從上面6個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩.設(shè)事件為“甲和乙至少一人選擇黃果樹”，事件為“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同”，則（

）A． B． C． D．6．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）有5張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1張卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為2”，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為6”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為”，則（

）A．與為對立事件 B．與為相互獨(dú)立事件C．與為相互獨(dú)立事件 D．與為互斥事件7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知總體劃分為3層，通過分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本容量分別為，，，樣本平均數(shù)分別為，，，樣本方差分別為，，，若，則（

）A．B．C．總體樣本平均數(shù)D．當(dāng)時(shí)，總體方差二、多選題8．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知，，，，，為依次增大的一組數(shù)據(jù)，則去掉和后，這組數(shù)據(jù)的（

）一定減小.A．極差 B．下四分位數(shù) C．上四分位數(shù) D．中位數(shù)9．（2024·重慶九龍坡·三模）已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為1，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)，的平均數(shù)為6B．?dāng)?shù)據(jù)，的方差為9C．?dāng)?shù)據(jù)的方差為1D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為510．（2024·山東濟(jì)南·三模）某同學(xué)投籃兩次，第一次命中率為．若第一次命中，則第二次命中率為；若第一次未命中，則第二次命中率為．記