專題02三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型

近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風(fēng)

箏（鷹爪）、翻角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.飛鏢模型（燕尾）模型......................................................................................................................1

模型2.風(fēng)箏（鷹爪）模型..............................................................................................................................5

模型3.角內(nèi)（外）翻模型..............................................................................................................................7

...................................................................................................................................................9

模型1.飛鏢模型（燕尾）模型

飛鏢（燕尾）模型看起來(lái)特別簡(jiǎn)單，在復(fù)雜幾何圖形倒角時(shí)往往有巧妙的作用。因?yàn)槟Ｐ拖耧w

鏢（回旋鏢）或燕尾，所以我們稱為飛鏢（燕尾）模型。

圖1圖2圖3

基本模型：條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①BCDABD；②ABADBCCD。

證明：連接AC并延長(zhǎng)至點(diǎn)P；在ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；

又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BC△D=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B△+∠D=∠BCD。

延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)P；在ABQ中，ABAQBCCQ；在CDQ中，CQQDCD。

即：ABAQCQQD△BCCQCD，故ABADBCC△D。

拓展模型1：條件：如圖2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=1（∠A+∠C）。

2

證明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=1∠ABC；∠ADO=1∠ADC；

22

根據(jù)飛鏢模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=1∠ABC+1∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；

22

∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=1（∠A+∠C）。

2

拓展模型2：條件：如圖3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=1（∠D-∠B）。

2

證明：根據(jù)飛鏢模型：DCB=D+B+DAB，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B，

11

∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB，

22

11

∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B），

22

∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO，

11

∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B）

22

例1．（2023·福建南平·八年級(jí)校考階段練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”．

如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊

形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢?下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說(shuō)，就是一個(gè)角

“凹”逃去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和．

（即如圖1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：

方法一：如圖2，連結(jié)AB，則在ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，

即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，△

又：在ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，

∴∠AD△B=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．

方法二：如圖3，連結(jié)CD并延長(zhǎng)至F，

∵∠1和∠3分別是ACD和BCD的一個(gè)外角，．．．．．．．．．．

大家在探究的過(guò)程中△，還發(fā)現(xiàn)△有很多方法可以證明這一結(jié)論．

任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是_________；

(2)探索及應(yīng)用：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過(guò)程的剩余部分．

例2．（2023·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果

A52,B25，C30,D35,E72，那么F的度數(shù)是（）．

A．72B．70C．65D．60

例3．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣

圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究BDC與A、B、C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：

①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若

A60，則ABXACX；②如圖o3，ABE、ACE的2等分線（即角平分線）BF、

CF相交于點(diǎn)F，若BAC60，BEC130，求BFC的度數(shù)；

拓展：（3）如圖4，BOi，COi分別是ABO、ACO的2020等分線（i1，2，3，，2018，2019），它們的交點(diǎn)

從上到下依次為O1、O2、O3、…、O2019．已知BOCm，BACn，則BO1000C度．

例4.（2023·廣東·八年級(jí)期中）如圖，在三角形ABC中，ABACBC，為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，

并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.求證：（1）ABACADBC；（2）ABACAPBPCP.

模型2.風(fēng)箏（鷹爪）模型

圖1圖2

1）鷹爪模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；

證明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA；同理，∠2=∠CAO+∠COA；

∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。

2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。

證明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA；同理，∠2=∠DAO+∠DOA；

∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA）

=∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。

例1．（2023·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，1、2、3分別為A、B、C

的外角．判斷下列大小關(guān)系何者正確？（）

A．1+3=ABC+DB．1+3ABCDC．123360D．123360

例2．（2023·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題情境】已知A，在A的兩邊上分別取點(diǎn)B、C，在

A的內(nèi)部取一點(diǎn)O，連接OB、OC．設(shè)OBA1，DOCA=D2，探索BOC與A、1、2之間

的數(shù)量關(guān)系．

【初步感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)O在ABC的邊BC上時(shí)，BOC180，此時(shí)A12180，則BOC與

A、1、2之間的數(shù)量關(guān)系是BOCA12．

【問(wèn)題再探】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在ABC的內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)寫出BOC與A、1、2之間的數(shù)量關(guān)系并

說(shuō)明理由；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在ABC的外部時(shí)，BOC與A、1、2之間的數(shù)量關(guān)系是________；

【拓展延伸】（1）如圖4，1、2的外角平分線相交于點(diǎn)P．

①若A50，BOC100，則P________°；②若DBOC=4DA且P30，則A________°；

③直接寫出BOC與A、P之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖5，1的平分線與2的外角平分線相交于點(diǎn)Q，則Q________（用BOC、A表示）．

例3．（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期末）如圖，在ABC中，A80，點(diǎn)D、E是ABC邊AC、AB上的

點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．令PDC1，PEB2，DPE．

(1)若點(diǎn)P在線段BC上，如圖1所示，50，求12的值；

(2)若點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則、1、2之間的關(guān)系________；

(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊CB的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，則、1、2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由；

(4)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到ABC外，如圖4所示，則請(qǐng)表示、1、2之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

模型3.角內(nèi)（外）翻模型

圖3圖4

條件：如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，

結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；

證明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C；同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；

∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。

條件：如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，

結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。

證明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C；同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；

∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C）

=∠EC’F+∠FCE=2∠C。

例1．（23-24八年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，在折紙活動(dòng)中，小李制作了一張VABC的紙片，點(diǎn)D，E分

別在邊，AC上，將VABC沿著折疊壓平，A與A重合，若12130，則A．

????

例2．（23-24八年級(jí)下·山東德州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，把VABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED的

外面時(shí)，此時(shí)測(cè)得1112，A40，則2的度數(shù)為（）

A．32B．33C．34D．36

例3．（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)?？计谥校?）如圖1，將ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE

內(nèi)點(diǎn)A的位置．則A、ADC、AEB之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；

（2）如圖2，若將（1）中“點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)點(diǎn)A的位置”變?yōu)椤包c(diǎn)A落在四邊形BCDE外點(diǎn)A的位

置”，則此時(shí)A,ADC、AEB之間的數(shù)量關(guān)系為：_________；

（3）如圖3，將四邊形紙片ABCD（C90，AB與CD不平行）沿EF折疊成圖3的形狀，若DEC115，

AFB45，求ABC的度數(shù)；

（4）在圖3中作出DEC、AFB的平分線EG、FH，試判斷射線EG、FH的位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上

向點(diǎn)C移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)C重合），DEC、AFB的大小隨之改變（其它條件不變），上述EG，F(xiàn)H的位置

關(guān)系改變嗎？為什么？

1．（2024.山東七年級(jí)期中）如圖，把ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)A落在四邊形BCDE內(nèi)時(shí)，則∠A與∠1+

∠2之間有始終不變的關(guān)系是（）△

A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）

2．（2023·河南·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在ABC中，A20，ABC與ACB的角平分線交于D1，ABD1

與ACD1的角平分線交于點(diǎn)D2，依此類推，ABD4與ACD4的角平分線交于點(diǎn)D5，則BD5C的度數(shù)是（）

A．24B．25C．30D．36

3．（2023·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4滿足的關(guān)系式是（）

A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3D．∠1＋∠4＝∠2－∠3

4．（2023春·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個(gè)30的角后得到一個(gè)六邊形

BCDEMN，則12的度數(shù)為（）

A．100B．105C．200D．210

5．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將四邊形紙片ABCD沿MN折疊，使點(diǎn)A落在四邊形CDMN外點(diǎn)A的位

置，點(diǎn)B落在四邊形CDMN內(nèi)點(diǎn)B的位置，若DD=90°，2136，則C等于（）

A．36B．54C．60D．72

6．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖ABC中，將邊BC沿虛線翻折，若∠1+∠2＝110°，則∠A的度

數(shù)是度．△

7．（2023春·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在ABC中，B40，C75，將B、C按照如圖所示折

疊，若ADB35，則123°

8．（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，用鐵絲折成一個(gè)四邊形ABCD（點(diǎn)C在直線BD的上方），且∠

A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD

（填“增大”或“減小”）°．

9．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，BE是ABD的平分線，CF是ACD的平分線，BE與CF交

于G，若BDC140，BGC110，則A．

10．（2023·重慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖，P，Q為三角形ABC內(nèi)兩點(diǎn)，B，P，Q，C構(gòu)成凸四邊形．

求證：ABACBPPQQC．

11．（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D①，凹四邊形ABCD形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，

(1)如圖①，在規(guī)形ABCD中，若A80，BDC130，ACD30，則ABD______°；

(2)如圖②，將ABC沿DE，EF翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若CDOCFO72，則C______°；

(3)如圖③，在規(guī)形ABCD中，BAC、BDC的角平分線AE、DE交于點(diǎn)E，且B＞C，試探究B，

C，E之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

12．（2023·北京·一模）在課外活動(dòng)中，我們要研究一種凹四邊形——燕尾四邊形的性質(zhì)．

定義1：把四邊形的某些邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊

形（如圖1）．

（1）根據(jù)凹四邊形的定義，下列四邊形是凹四邊形的是（填寫序號(hào)）；

①②③

定義2：兩組鄰邊分別相等的凹四邊形叫做燕尾四邊形（如圖2）．

特別地，有三邊相等的凹四邊形不屬于燕尾四邊形．

小潔根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)燕尾四邊形的性質(zhì)進(jìn)行了探究.

下面是小潔的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（2）通過(guò)觀察、測(cè)量、折疊等操作活動(dòng)，寫出兩條對(duì)燕尾四邊形性

質(zhì)的猜想，并選取其中的一條猜想加以證明；（3）如圖2，在燕尾四邊形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，

∠BCD=120°，求燕尾四邊形ABCD的面積（直接寫出結(jié)果）．

13．（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D①，凹四邊形ABCD形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，

(1)如圖①，在規(guī)形ABCD中，若A80，BDC130，ACD30，則ABD______°；

(2)如圖②，將ABC沿DE，EF翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若CDOCFO72，則C______°；

(3)如圖③，在規(guī)形ABCD中，BAC、BDC的角平分線AE、DE交于點(diǎn)E，且B＞C，試探究B，

C，E之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

14．（2023·河北·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖①所示是一個(gè)飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛

鏢模型”．

（1）求證：ADCDABDCBABC；（2）如圖②所示是一個(gè)變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點(diǎn)

D，若EDF120，求ABCGEF的度數(shù)．

15．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180”．在三

角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊AC,BC上，將C沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時(shí)，若ADC58，則C＝，可以發(fā)現(xiàn)ADC與C的數(shù)量關(guān)系

是；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在ABC內(nèi)部時(shí)，且BEC42，ADC20，求C的度數(shù)；(3)如圖

3，當(dāng)點(diǎn)C落在ABC外部時(shí)，若設(shè)BEC的度數(shù)為x，ADC的度數(shù)為y，請(qǐng)求出C與x，y之間的數(shù)量

關(guān)系．

16．（2024·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D①，把ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED內(nèi)部點(diǎn)

A的位置，通過(guò)計(jì)算我們知道：2A12.請(qǐng)你繼續(xù)探索：

(1)如果把ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部點(diǎn)A的位置，如圖②，此時(shí)A與1、2

之間存在什么樣的關(guān)系？(2)如果把四邊形ABCD沿時(shí)折疊，使點(diǎn)A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部A、D的

位置，如圖③，你能求出A、D、1與2之間的關(guān)系嗎？（直接寫出關(guān)系式即可）

17．（2024·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【概念學(xué)習(xí)】在平面中，我們把大于180且小于360的角稱為優(yōu)角，如果

兩個(gè)角相加等于360，那么稱這兩個(gè)角互為組角，簡(jiǎn)稱互組．

（1）若1、2互為組角，且1135，則2________；

【理解運(yùn)用】習(xí)慣上，我們把有一個(gè)內(nèi)角大于180的四邊形俗稱為鏢形．

（2）如圖①，在鏢形ABCD中，優(yōu)角BCD與鈍角