第頁，共頁第18頁，共18頁2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共19小題，共150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷（共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)數(shù)列的前項和，則的值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】D【解析】【分析】利用求解即可.【詳解】，，故.故選：D2已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，對原式進(jìn)行求導(dǎo)，然后令，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則令，則，解得故選:A3.已知為等差數(shù)列，前項和為，且，，則（）A.54 B.45 C.23 D.18【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意由等差數(shù)列求和公式及通項公式求出，從而得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，所以.故選：C4.已知是正項等比數(shù)列的前項和，且，，則（

）A.212 B.121 C.168 D.186【答案】B【解析】【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出，再列方程求出數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列求和公式可求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為數(shù)列為正項等比數(shù)列，所以，因為，又，所以，因為，所以或，若，則，解得，，所以，若，則，解得，，所以，綜上.故選：B.5.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)極值點(diǎn)，求出參數(shù)，再據(jù)此求導(dǎo)，討論單調(diào)性，求得最大值.【詳解】因為，故可得，因為是函數(shù)的極值點(diǎn)，故可得，即，解得.此時令，解得，由可得或；由可得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點(diǎn)為.則的極大值為.故選：C.6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性得最值求解.【詳解】由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即的最小值為．故選：C．7.已知直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為（）A.10 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】首先求出直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出圓心坐標(biāo)與半徑，求出及直線的方程，再求出圓心到直線的距離，從而求出點(diǎn)到直線距離的最大值，從而得解.【詳解】由，整理為，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，如圖，，直線的方程為，則圓心到直線的距離，則點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離，所以面積的最大值為.故選：D8.已知實數(shù)滿足，則下列選項中一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】AB選項，令，在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，由得到；CD選項，舉出反例得到CD錯誤【詳解】對于AB，令，則在0,+∞上單調(diào)遞增，由可得，即，，故A錯誤，B正確；對于C，取，則，且，又在0,+∞上單調(diào)遞增，故，此時，故C錯誤；對于D，取，則，且，又在0,+∞上單調(diào)遞增，故，此時，故D錯誤.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造，得到，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到，通過對賦值舉反例即可推得CD錯誤.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則，逐一對各個選項分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】選項A，因為是常數(shù)，所以，選項A錯誤；選項B，根據(jù)基本初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項B正確；選項C，根據(jù)基本初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項C正確；選項D，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項D錯誤.故選：BC.10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點(diǎn)重合，則下列關(guān)于的說法正確的有（）A.的周長為B.的最大值為C.當(dāng)時，的面積為D.橢圓上存在個不同的點(diǎn)，使得為直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知求出的值，結(jié)合橢圓的定義，即可判斷A選項；由基本不等式結(jié)合橢圓的定義，即可判斷B選項；根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式得出面積，即可判斷C選項；設(shè)，求出滿足的點(diǎn)的個數(shù)，即可判斷D項.【詳解】對于A，由得，∴的周長為，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，的面積為，故C正確；對于D，設(shè)存在點(diǎn)，使得，設(shè)，根據(jù)橢圓的定義有，因為，所以，即，整理可得，解得.如上圖，當(dāng)點(diǎn)位于短軸頂點(diǎn)時有，所以，當(dāng)時，點(diǎn)P為橢圓的上下兩頂點(diǎn)，則點(diǎn)有2個；分別過點(diǎn)，作軸的垂線，此時與橢圓有4個交點(diǎn)，即滿足以及的點(diǎn)有4個.綜上所述，橢圓上有且僅有6個點(diǎn)，使得為直角三角形，故D正確.故選：ACD．11.若首項為的數(shù)列的前項和為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.數(shù)列不是等比數(shù)列C. D.中存在三項構(gòu)成等差數(shù)列【答案】AB【解析】【分析】由已知得出是以2為公比的等比數(shù)列，得出和，再分別判斷各選項即可．【詳解】對于A，由得，，所以是以2為公比的等比數(shù)列，首項為，故A正確；對于B，由A知，即，當(dāng)時，，所以，故B正確；對于C，當(dāng)時，，，顯然，故C錯誤；對于D，取，且，假設(shè)存在能構(gòu)成等差數(shù)列，則，則有，即，所以，因為，所以，與矛盾；假設(shè)存在能構(gòu)成等差數(shù)列，則，即，則，即，顯然當(dāng)時無解，所以中任意三項都不能構(gòu)成等差數(shù)列，故D錯誤；故選：AB．第Ⅱ卷（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知等差數(shù)列前項和為，若，，則取得最小值時的值為____________．【答案】8【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得到，公差，為遞增數(shù)列，從而得到當(dāng)時，取得最小值【詳解】由已知數(shù)列為等差數(shù)列，則，又，所以，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值.故答案：.13.若雙曲線(，)與直線無交點(diǎn)，則離心率e的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求得的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，即可容易求得離心率范圍.【詳解】若雙曲線與直線無公共點(diǎn)，等價為雙曲線的漸近線的斜率，即，即，即，即，則，則，，離心率滿足，即雙曲線離心率的取值范圍是故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的范圍，涉及直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)范圍，屬綜合基礎(chǔ)題.14.若函數(shù)在上存在單調(diào)減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是__________【答案】【解析】【分析】求出，由已知可得在有解，即在有解，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，而時，函數(shù)存在單調(diào)減區(qū)間，所以在有解，即有解，因為，所以，即在有解，又因為，所以，所以．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)的值．【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）令并求出x的范圍，即可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)有兩個零點(diǎn)，利用函數(shù)極大值等于零或極小值等于零列方程即可求實數(shù)的值．【小問1詳解】因為，所以，令，則或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和.【小問2詳解】由（1）得的單調(diào)遞增區(qū)間為和.令可得，的單調(diào)遞減區(qū)間為?1,1，當(dāng)時，取得極大值；當(dāng)時，取得極小值.所以若有兩個零點(diǎn)，則或，解得.所以.16.在①；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．問題：已知等差數(shù)列為其前n項和，若______________．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求證：數(shù)列的前n項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）選①由與的關(guān)系求解即可；選②③由等差數(shù)列的通項公式與求和公式求解即可；（2）由（1）可得，利用裂項相消法證明即可.【小問1詳解】若選①：在等差數(shù)列中，，當(dāng)時，，也符合，∴；若選②：在等差數(shù)列中，，，解得；若選③：等差數(shù)列中，，解得；【小問2詳解】證明：由（1）得，所以17.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)，交拋物線于A、B兩點(diǎn).（1）若P為中點(diǎn)，求l的方程；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：利用點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦所在直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果；注意驗證所求直線與拋物線有兩個交點(diǎn)；方法二：設(shè)中點(diǎn)弦所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求中點(diǎn)弦所在直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果；注意考慮中點(diǎn)弦直線斜率不存在的情況是否滿足題意；（2）由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，方法一：設(shè)直線l：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及二次函數(shù)性質(zhì)求最值，注意比較直線斜率不存在的情況的值；方法二：設(shè)直線l：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及二次函數(shù)性質(zhì)求最值，此種設(shè)法已包含直線斜率不存在的情況.【詳解】解：（1）方法一：設(shè)，，，則，，，化簡得，因為的中點(diǎn)為，，，∴l(xiāng)的方程為，即.經(jīng)檢驗，符合題意.方法二：設(shè)，，當(dāng)斜率不存在時，顯然不成立.當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l：，顯然，由得易知，，因為的中點(diǎn)為，，即，解得，∴l(xiāng)的方程為（2）方法一：由拋物線的定義可知當(dāng)斜率不存在時，直線l：，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l：，顯然，由得，易知，，時，的最小值為綜上，的最小值為方法二：由拋物線的定義可知顯然直線l不平行于x軸，設(shè)直線l：，由得，易知，，，時，的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系；考查數(shù)形結(jié)合、分類討論以及函數(shù)方程等數(shù)學(xué)思想；考查邏輯推理、直觀想象以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).18.已知數(shù)列滿足,.（1）記,寫出,,,,并猜想數(shù)列的通項公式;（2）證明（1）中你的猜想;（3）若數(shù)列的前n項和為,求.【答案】（1）,,,,猜想（2）證明見解析（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)的遞推關(guān)系式及首項,寫出,進(jìn)而求得,,,,根據(jù)推導(dǎo)過程及各項即可猜想其通項公式;(2)因為,所以找到和的關(guān)系,即與的關(guān)系,對式子進(jìn)行配湊,可發(fā)現(xiàn)是以3為首項,2為公比的等比數(shù)列,即可得的通項公式;(3)根據(jù),可得,將寫為,再將,代入,可得,將代入,再利用等比數(shù)列的求和公式即可得.【小問1詳解】由題知,因為,所以,,,,,,,綜上:,,,,猜想【小問2詳解】由題意,知,,代入得,于是,即,因為,所以是以3為首項,2為公比的等比數(shù)列,故.【小問3詳解】因為,.19.設(shè)函數(shù)，曲線在原點(diǎn)處的切線為x軸，（1）求a的值；（2）求方程的解；（3）證明：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知在處的導(dǎo)數(shù)值為0，解方程即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)