重難點15平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1定義法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】..........................................................6

【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】.........................................................10

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】.........................................14

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題1..............................................................................16

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】.......................................................21

【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】.................................................23

【題型8極化恒等式】........................................................................26

【題型9矩形大法】..........................................................................30

【題型10等和（高）線定理】....................................................................33

?命題規(guī)律

1、平面向量中的最值與范圍問題

平面向量中的范圍、最值問題是高考的熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識的

交匯組合；其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系

數(shù)的范圍等.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】

1.平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：

（i）“形化”，即利用平面向量的相關(guān)知識將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖

形的特征直接進(jìn)行判斷；

（2）“數(shù)化"，即利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.

2.平面向量中的最值（范圍）問題的常用解題方法：

（1）定義法

①利用向量的概念及其運算將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的等式關(guān)系；

②運用基木不等式、二次函數(shù)求其最值（范圍）問題，即可得出結(jié)論.

（2）坐標(biāo)法

①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把幾何圖形放在坐標(biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)；

②將平面向量的運算坐標(biāo)化，進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算；

③運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍).

(3)基底法

①適當(dāng)選取一組基底，利用基底轉(zhuǎn)化向量；

②寫出向量之間的聯(lián)系，根據(jù)向量運算律化簡目標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的關(guān)系式來進(jìn)行求解；

③運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍)，

即可得出結(jié)論.

【知識點2極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:

|￡+斤+耳_斤=2(|浦+時).

證明：不妨設(shè)在=￡,而=3,貝!］又=%+B,DB=a-b,

匹卜定=R+.第2+2a4+W①，

|喝2=麗?=(1可=@-2屋3+同2②，

①②兩式相加得：

\AC［+\DB［=2(@+W卜2(畫2+1石0.

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：［君=+一--------極化恒等式

平行四邊形模式：=「-|0同［.

2.幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的

4

(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角

線長”平方差的;，即:.I=(如圖).

⑵三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即

/2一應(yīng)聲（〃為2C的中點X如圖）.

極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)

系.

【知識點3矩形大法】

1.矩形大法

矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等.

即：已知點。是矩形/BCD與所在平面內(nèi)任一點，可以得到：O^+OC2=OB2+OD2.

【知識點4等和（高）線定理】

1.等和（高）線定理

⑴由三點共線結(jié)論推導(dǎo)等和（高）線定理：如圖，由三點共線結(jié)論可知，若蘇=%51+〃加U,〃eR）,

則%+〃=1,由AOAB與LOAE相似，必存在一個常數(shù)k,keR,使得OP'^kOP,則

OP'=kOP=k^OA+k^iOB,又OP'=xOA+yOB(x,yGR),-'-x+y=k^+k/i=k；反之也成立.

（2）平面內(nèi)一個基底｛51,而｝及任一向量而，OP'=XOA+//O3（/,Z/eR）,若點P在直線N8上或在平

行于N8的直線上，貝IU+〃=M定值）；反之也成立，我們把直線48以及與直線N8平行的直線稱為等和（高）

線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時，k=\-,

②當(dāng)?shù)群途€在。點和直線之間時，蛇（0,1）；

③當(dāng)直線4B在。點和等和線之間時，任（1,+8）；

④當(dāng)?shù)群途€過。點時，A=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點對稱，則定值左1，左2互為相反數(shù)；

⑥定值k的變化與等和線到0點的距離成正比.

?舉一反三

【題型1定義法求最值（范圍）問題】

【例1】（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）已知單位向量無修的夾角為泰則|瓦-1（互-五）|（teR）的最小值為

（）

A.|B.爛C.1D.1

Z24

【解題思路】直接利用數(shù)量積與模的關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.

【解答過程】易知瓦?邏=cos（=今

-1

2

所以|萬T（冕—藥）|2=|（l-t）ej+t*|2=（IT）2+2（i-t）t.-+t

=t2-t+l=（t-|）+%

即當(dāng)t=9時，同-K冕-初|min=當(dāng)

故選：B.

【變式1-1］（23-24高一下?安徽蕪湖?期中）如圖，已知點G是△4BC的重心，過點G作直線分別與AB,AC

兩邊交于M,N兩點，設(shè)莉=%而，AN=yAC,貝!|x+4y的最小值為（）

A.9B.4C.3D.|

【解題思路】借助平面向量線性運算與三點共線定理及基本不等式計算即可得.

【解答過程】由點G是△ABC的重心，AM=xAB,AN=yAC,

故正=|（AB+而）=|（|AM+iZ/V）=j-AM+j-AN,

由G、M、N三點共線，故5+點=1,

則x+4y=（x+4y）（*+3='+［+M+^|+2jp|=3,

當(dāng)且僅當(dāng)禁=￡即x=l,y=：時，等號成立.

故選：C.

【變式1-2］（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）點。是△ABC所在平面內(nèi)一點，若市+/+方=0,AM

=xAB,AN^yAC,~M0=WN,貝ijxy的最小值為（）

124

A.-B.1C.-D.—

【解題思路】易知。為△ABC的重心，由題意，根據(jù)重心的性質(zhì)可得；+：=著=3,結(jié)合基本不等式計

xy1+4

算即可求解.

【解答過程】由題意知，OA+OB+OC=0,則。為△ABC的重心，

由府=xABAN=yACjW=%而知,

4MB三點共線，4MC三點共線，M,O,N三點共線，

如圖，。為3C的中點，且而=|而，雨=涼+而，而=瓦？+前,

A

由麗=4而，得加+而=4（a+而），又府=萬南，麗=y南,

所以氯+^AD=AyAC+xAB,

->Ay---->x>3AV---->3%----->

即“。=?i+a)4C+----------------=2(1+4力C+2(1+4)48,

因為。為2c的中點，所以而=冠+冠，

31y_1(_1+A

所以嘮一?，解得"=再，所以!+2=膏=3,

=—?v=------xyi+A

、2(1+4)------2V3A

由x>0,y>0,得3=工+：22區(qū)，即

xyyxyy

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=|時等號成立，所以xy的最小值為《

故選：D.

【變式1-3］（23-24高一下?上海?期末）已知向量石方總滿足同=|山=1,a-b=-^,c=xa+yb

（x、y￡R,y>0）,則下列四個命題中，正確命題的個數(shù)是（）.

①若x=l,則舊的最小值為爭

②若久=1，則存在唯一的力使得乙區(qū)=0；

③若同=1,則x+y的最小值為一1；

④若?=i,則逢2+2i的最小值為一a

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】對于①，對工=%五+丫9兩邊平方轉(zhuǎn)化為求y2-y+1的最值可判斷①；對工=法+、石兩邊同乘

以2可判斷②；對苒=法+好兩邊平方然后利用基本不等式可判斷③；由③知％+y>-1可判斷④.

【解答過程】|a|=\b\=l,a-b=—c=xa+y&(x,yGR,y>0),

對于①,若久=L則那=x2a2+2xya-b+y2b2=1+2yx(—2)+/

=y2-y+l=(y-1)+^>|,當(dāng)且僅當(dāng)y=T時，取得等號，

???理的最小值為3.?.?的最小值為亨???①正確；

對于②，若％=1,由2?工=0得%彥+y五.刃=%_&=o,l-|y=0,

??.y=2,?,?存在唯一的y=2,使得五?工=0,.,?②正確；

對于③,若間—1，則1=c2=(xa+yb)2=%2+y2-xy

=(%+y)2—3xy>(%+y)2—3?^=出產(chǎn)■,

當(dāng)且僅當(dāng)汽=y=1時取得等號，???生詈工1,?<-%+y<2,

又yNO,?,?%+yN%Z-l,當(dāng)且僅當(dāng)y=0,%=-1時取得等號，二③正確；

對于④，若同=1,則五"?石=%一|丫+(—3%+y=?，

由③知x+yN—1,???N?，:.④正確.

故選：D.

【題型2基底法求最值(范圍)問題】

【例2】(23-24高一下?重慶巴南?階段練習(xí))在矩形ZBCD中，已知瓦尸分別是BC,CO上的點，且滿足族=近

存=2萬.若點P在線段BD上運動，且”=〃!E+m4/”,〃ER),則1+〃的取值范圍為()

兒卜然]B.[|圖C,[|,|]D,[-|，|]

【解題思路】建立基底，DC^a^DA^b,貝|族=2-歲，而=頡一3,然后將設(shè)而=土屈+(1-。而

,0<t<l,最終表示為而=(—"學(xué)族+R—韻福然后得到4+〃=9才，進(jìn)而求出范圍.

【解答過程】矩形4BCD中，已知E,F分別是B&CD上的點，且滿足而=成而=2而，

ti

設(shè)反=2,瓦1=石，則族=卷+旗=五一步，AF=AD+~DF^^a-b,

{AE=a-^b(a=^AE-^AF

聯(lián)立b畤今可解得T泣一纖，

因為點P在線段8。上運動，則可設(shè)萬=tAB+(l-t)^O<t<l,

AP—tAB+(1—t)AD—tcc—(1—t)b

/6—>3—A/2—>6—A

=t^AE-^AF)-(l-t^AE-^AF)

=(一l+q荏+CT福

a=，+臾

又Q=4標(biāo)+〃Q(尢〃CR),所以_659,，

因為owtwi,所以a+〃=3EE，].

故選：B.

【變式2-1]（23-24高一下?浙江?期中）如圖，在四邊形中，AB\\CDfAB=2CD,P為線段CD上一個

動點（含端點），AC=mDB+nAP,則zn+幾的取值范圍是（）

A.（0,1]B.[2,3]C.[1,2]D.[2,4）

（.An_1

【解題思路】設(shè)加=%比，以而，同為基底表示前后可得加下=/,求出科n后結(jié)合0W2W1可求m+n

（n—m=1

的范圍.

【解答過程】設(shè)麗=2比，則0W4W1,

故m=m（AB-AD）+n（AD+WC）=（m+^）AB+（n-rn）AD,

又而=詬+沆=而+冠，因而，屈不共線,

.Ani

m+—=

所以2,故所以巾+71=/一1,

n—m=1

因為0W2W1,故lWm+?iW2,

故選：C.

【變式2-2]（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）己知口48co中，點尸在對角線/C上（不包括端點4,C）,

點。在對角線AD上（不包括端點3,D）,若Q=%而+%而，AQ=A2AB+^2BC,記2彩一出的最小

12

值為冽，彳+不的最小值為〃，則（）

必林2

,19C19

A.m=on=-ZB.m=4n=-Z

19-19

C.m=-n=-D.m=—n=-

【解題思路】由四邊形N8CZ）為平行四邊形，得而=為屈+出近=%同+〃i前及刈=〃1且加6（0,1）,

再通過二次函數(shù)求最小值m；由4Q=入2/8+〃2/0及點。在對角線BZ）上，得/（2+〃2=1，再通過基本不

等式求最小值幾

【解答過程】因為四邊形48co為平行四邊形，所以而=汨而+%或=刈屈+%而，

又點尸在對角線NC上（不包括端點/,C）,所以%=%且％6（0,1）,

貝眨淤一〃1=2怒一心=2（七一I）?—",當(dāng)為=3時，m=-1.

同理而=上前+42而，因為點0在對角線AD上（不包括端點2,D）,

所以入2+42=1且入2>0，“2>。，

當(dāng)且僅當(dāng)22=!，42=彳時取得等號，所以幾=:

故選：A.

【變式2-3]（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）已知。為△ABC的內(nèi)心，角/為銳角，sin4=浮，若而=乩

O

AB+AAC,則〃+2的最大值為（）

【解題思路】方法一：先得到點。是△48C內(nèi)心的充要條件是：aOA+bOB+cOC=G,其中BC=Q,

AC=b,AB=c,從而得到〃+/l=（冷今看=1+言，求出cos4=（,利用余弦定理得到拉+c2-%c=

。2,求出E=ji一恚，由基本不等式求出最大值，得到答案；

方法二：作出輔助線，得至!］而=%丫同+x（l—y）前，得到方程組，得到/l+〃=x,作出內(nèi)切圓，根據(jù)sinA=

平，求出sint=",設(shè)出內(nèi)切圓半徑，故40=4r,由圖知0D20E=r,從而求出x=篇=石建譏W2

【解答過程】方法一：點。是△力8c內(nèi)心的充要條件是：aa+6而+c方=6,其中BC=a,AC=b,

AB=c,

理由如下：若。8？+力赤+c0?=6,則a瓦？+b?X+荏）+c?X+無）=6,

整理得（a+b+c）OA+bAB+cAC=6,

所以市=—募（需+襦），即點。在N84C的角平分線上，

同理可證，點。在乙4BC,NBC4的角平分線上，即點。為△4BC的內(nèi)心.

故而=—1—AB+—^―ZC,

人a+b+ca+b+c

,,Qb+c1y,a

故R〃+4=赤11=1+二

因為角”為銳角，5也4=浮，

所以cos4=|.由定理得到cosA="+；『。2=,=＞川+c2-^bc=a2,

oZbco4

15

…一如1_入彳―

故言=Jb2+c2+2bc-+^+2

cb

又因為?+（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號），

15?

—1511a1_5

所以1」一~I-2-+221一2+工2=7167,所以〃+菽4=1+D淑+c之1+16-4

故〃+2<^,

方法二：如圖，延長4。，交BC于點D,

設(shè)CO=yCB,W^AD-AC=y(^AB—AC\i^AD—yAB+(1—y)7lC,

設(shè)Z。=xAD=x^yAB+(1—y)4C)=xyAB+%(1—y^AC-)

??"+〃=%,

作△ABC的內(nèi)切圓與BC邊切于點￡,與ZB切于點R

設(shè)圓O半徑為r,

???sinX=A為銳角,

.AA

2nsin—cos—2ta哼

sinA=2sin^cos1-=22

sin24+cos24ta吟+1'

22

,,2tan—生解得tanS=隼或危（舍去），

故taY二

2841b

44.ZV15A

故rsm5=R0S5,

又sin??+cos21=1,解得sin?=負(fù)值舍去,

OF1

—即4。=4「，由圖知0D20E=r,

一國一4r

”一1初一4r+\0D\-?

故選：c.

【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】

【例3】（2024?河北滄州一模）如圖，在等腰直角△ABC中，斜邊4B=4?，點。在以2C為直徑的圓上

運動，則|同+而|的最大值為（）

A.4V6B.8C.6V3D.12

【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，用坐標(biāo)法求向量的模的取值范圍.

【解答過程】如圖：以C為原點，建立平面直角坐標(biāo)系.

則4(0,4),8(4,0),可設(shè)。(2+2cos0,2sin0),

則48=(4,-4),AD=(2+2cos0,2sin0-4)

所以+AD=(6+2cos0,2sin0—8)

-T2

所以4B+4D=(6+2cos0)2+(2sin0—8)2=104+8(3cos0—4sin0).

又因為3cos0—4sin。W5,所以|同+而『W144n[AB+AD\<12.

故選：D.

【變式3-1](2024?四川成都?三模)在矩形4BCD中，4B=5,4D=4,點E滿足2荏=3而，在平面4BCD

中，動點P滿足方?麗=0,則麗?元的最大值為()

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2J13-6

【解題思路】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過程】以。為坐標(biāo)原點(。是BE中點)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

因為在矩形4BCD中，AB=5,AD=4,2AE=3EB,~PE-~PB=G,

所以動點P在以。為圓心，1為半徑的圓上運動，故設(shè)P(cos0,sin6),

則A(0,4),D(4,4),C(4,-l),

DP-AC=(cos0-4,sin0-4)1(4,-5)=4(cos0-4)-5(sin0-4)=V41cos(0+cp)+4,

其中銳角3滿足tan0=[,故而?尼的最大值為聞+4,

故選：A.

【變式3-2](2024?湖南永州?三模)在△2BC中，乙4cB=120。，|前|=3,|近|=4,~DC-~DB=0,^]\AB+AD\

的最小值為()

A.6V^—2B.2,19—4C.3v1D.719—2

【解題思路】以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸，過C垂直BC的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系，求得點O的軌跡方程，取80的中點為M,求得M的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合可求|版+前|min.

【解答過程】由題意，以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸，過C垂直CB的直線為y軸建立如圖所示的平面

直角坐標(biāo)系，

則4(—/爭，5(4,0),由沆?麗=0,可得。是以BC為直徑的圓,

所以D的軌跡方程為。-2)2+y2=4,

取BD的中點為“，設(shè)M(%,y),D(Xo,y°),

(x_久0+4

可得[二盔，所以/始名丁，所以(2%-6)2+(2y)2=4,

所以點M的軌跡方程為(x—3)2+必=1,圓心為H(3,0),半徑為1,

由荏+而=2就，所以I同+而I=2|而I，所以I荏+前|min=2|而Imin，

所以I前Imin=\AH\-1=J(-|-3)2+(^-0)2-l=3V3-1,

所以+ADIniin=6-\/3—2.

故選：A.

【變式3-3]（2024?貴州貴陽?一模）如圖，在邊長為2的正方形28CD中.以C為圓心，1為半徑的圓分別

交CD,BC于點、E,F.當(dāng)點P在劣弧EF上運動時，麗?麗的取值范圍為（）

A.11-2vx-JB.[1-2vx-1]

C.[-1,1-V2]D.[1-2V2.1-V2]

【解題思路】根據(jù)給定條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立函數(shù)關(guān)系，求出函

數(shù)的值域即可.

【解答過程】依題意，以點C為原點，直線DC,BC分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)點P（cos8,sin0）（-n<9<一卞,而。（一2,0）鳳0,-2）,

則BP=（cos。,sin。+2）,DP—（cos。+2,sin0）,

因止匕BP-DP—cos20+2cos8+sin20+2sin0=1+2V2sin（0+：）,

由-nWOW-（得一手+則一1Ssin（8+）W-爭

因此1-W1+2V^sin（。+1）W—1,

所以麗?市的取值范圍為[1-2&>-1].

故選：B.

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例4】（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測）在△回（7中，點尸為線段上任一點（不含端點），^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,貝嚀+；的最小值為（）

A.3B.4C.8D.9

【解題思路】先根據(jù)共線向量基本定理得到％+2y=1,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【解答過程】因為點尸為線段BC上任一點（不含端點），

所以設(shè)麗=4麗，^LAF-AB=XAC-XAB,

即萬1=4前+（J-%）福

又族=xAB+2yAC（x>0,y>0）,

故％+2y=1—A+2=1,

^+y=G+?）（x+2y）=1+4+T+7^5+2J^f=9'

當(dāng)且僅當(dāng)§=,，即x=y=g時，等號成立，

故§+：的最小值為9.

故選：D.

【變式4-1］（23-24高一下?廣西南寧?階段練習(xí)）在aaBC中，點O滿足團(tuán)=2左，過點。的直線分別交

射線AB,4C于不同的兩點/，N.設(shè)詢='同，AN=^AC,則+n的最小值是（）

323

A.3B.1C,-D.-

【解題思路】利用共線定理的推論可得§n+，=1,然后利用換元法結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求出最值即可.

【解答過程】由題可知，m>0fn>0,

因為病=3荏，麗=海,所以屈=TH俞，AC=nAN,

因為前=2沆，所以前一布=2（前一痛），

所以前=癡+|右=|m^4M+|九而，

因為M,O,N三點共線，所以百71+|n=1,則九=與巴>0,貝!JOV血V3,

所以病+九=/+?!=（7n一;）當(dāng)??！=9時等號成立，

Z\4/lolb4

所以m2+n的最小值為登

1O

故選：D.

【變式4-2］（23-24高一下?安徽六安?期末）在△4BC中，已知萬?尼=9,sinB=cos/lsinC,S^ABC=6,P

為線段4B上的一點，且而="高+喘，則%;的最小值為（）

5+V6D

B.C.-^+―5+2前

A.卷+?6124

【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件依次可求得邊b,c,a和角4的三角函數(shù)值，從而將向量等式化簡，利用平面向量基

本定理得到方+?=1,最后利用常值代換法即可求得.

【解答過程】由4B,AC=bccosA=9①，由sinB=cosAsinC和正弦定理可得6=ccosA②,

把②代入①可得，匕=3,

又由SA4BC=^bcsinA=6可得be=總代入①可得，tanA=*

/bin/iD

則角4是銳角，cos力=|,代入①可得，c=5,

O

又由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=9+25—2x5x3x-=16得a=4,

于是，CP=%?品+不禽=/4因P為線段上的一點，貝咕+?=1,

RbQ沁后14+先喑，

當(dāng)且僅當(dāng)左=含時等號成立，即x=3e一6,y=12-4歷時，打；取得最小值歿逅.

故選：D.

【變式4-3］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，在中，M為線段的中點，G為線段AM上一點,

,>.>____>,”>“>>41

AG=2GM,過點G的直線分別交直線4B,AC于P,Q兩點.設(shè)AB=M4P(X>0),AC=yAQ^y>0),則工7+。7

的最小值為（）

A

6

D.

【解題思路】由中點和三等分點得到庶=式四+而），結(jié)合荏=xQ（x>0）,AC=yAQQy>0）,得到

萬二舜+領(lǐng)，

由三點共線得到x+y=3,利用均值不等式中“1的代換”求得貴+崇的最小值.

【解答過程】因為M為線段BC的中點，所以府=共存+宿，又因為m=2而，所以庶=|彳而=*四+

AC),

^AB=xAP(x>0),AC=yAQ(y>0),則4G=%P+%Q,

xv

而P,G,Q三點共線，所以§即％+y=3,

貝仁+冊=加+2)+(…)&+冊H%+甯+喘M4+2厝尋=苧=*

當(dāng)且僅當(dāng)霜=W券，即X=2,y=l時取等號.

故選：B.

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題】

【例5】(2024?陜西渭南?二模)已知菱形4BCD的邊長為LCOSNBA。*,。為菱形的中心，E是線段48上的

動點，則萬?麗的最小值為()

【解題思路】設(shè)4E=448,032W1,將。E,。。分別用表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律即可得解.

【解答過程】由題意點。為8。的中點，

—>—>

設(shè)2E=；L4B,0W2W1,

貝院=族-前=4同-前，DO==^AB-^AD,

故瓦-DO=^AAB-AD')■(|^4F-^AD)

1—>21—>2

=—AAB+—AD—前.麗

111/11\

=#+5一式/+￡

當(dāng)4=0時，麗?而取得最小值看

BC

A

故選：A.

【變式5-1](2024?重慶?模擬預(yù)測)如圖，圓。內(nèi)接邊長為1的正方形ZBCQP是弧(包括端點)上一

點，則Q?荏的取值范圍是()

A.[1川B.[1,呼C.[1,陰D.片,1]

【解題思路】法一：以/為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量

的坐標(biāo)運算即可求解；法二：連接A&CP,設(shè)4尸48=仇0〈9m泉貝ijNPAC=：-e,AP-AB=\AP\\AB\cose=

\AB\-\AC\cos^PAC,即可求解.

【解答過程】方法一：如圖1,以4為坐標(biāo)原點，4B,4。所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則力(0,0),B(l,0)).

設(shè)P(x,y),則而=(x,y).因為同=(1,0),所以而?法=x.

由題意知，圓O的半徑r=￥.因為點P在弧BC(包括端點)上，

所以+孝，所以而.荏的取值范圍是[1，里?

圖1

方法二：如圖2,連接4&CP.易知乙82。=：,

設(shè)4Pz8=仇0<6￡/則4P4C=：-e.

由已知可得=1,\AC\=a4Ape=p所以|4尸|=\AC\cosZ.PAC=&cosg—。），

所以Q.1AB=\AP\\AB\cos9=&cosg-e）cos。=魚（乎cos。+夸sin6）cos6

=（cos0+sin0）cos0=cos20+sinOcosJ=3+￡￡s2g；+返$也（26+-）.

因為owe蝠所以打28+上牛，所以日Wsin（20+》Wl,

所以14+爭in（20+=）<芋，即而?同的取值范圍是[1,告引.

故選：C.

【變式5-2]（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形4BCD中，△4BD為等邊三角形,

CB=CD=2BD=2,當(dāng)點E在對角線AC上運動時，詼?麗的最小值為（）

【解題思路】由平面幾何知識可得4C平分NB4D,且平分ABCD,設(shè)“與BD交于點0,可求得|港|cosNBC4=

孚，可得麗?麗=（|園-平）2-得，可求最小值.

【解答過程】因為CB=CD,所以△BCD為等腰三角形，又△4BD為等邊三角形，

所以4C平分MAD,且平分NBCD,

設(shè)AC與BD交于點。，由題可知BD=1,CB=CD=2,

所以|而|COSNBC4=半,

所以阮■EB^EC-（EC+CB＞）^EC2+^C-CB=

\EC\2+\EC\-\CB\cos（EC^CB）=\EC\2-\EC\■\CB\cos^BCA=\EC\2-^^\EC\

=（|國-孚）2-蔣，所以當(dāng)|國=華時，前.四取最小值，最小值為-蔣.

故選：D.

【變式5-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，已知正六邊形ABCDEf1的邊長為2,對稱中心為0,以。為圓心

作半徑為1的圓，點M為圓。上任意一點，則而?雨的取值范圍為（）

A.[-6,4]B.[0,8]C.[-8,0]D.[-673,0]

【解題思路】解法一連接。M,OC,設(shè)前，曲=①根據(jù)向量的線性運算用場，方表示出擊，然后結(jié)合

三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

解法二以。為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M（cosasin。），根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到而?麗，再結(jié)

合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

解法三借助向量投影的知識將前?屈轉(zhuǎn)化，找到取得最值時點M的位置，即可求得結(jié)果.

【解答過程】解法一：如圖所示：

B

連接。M,設(shè)而，。必=心連接。C,依題意得2。=2,4B=4,0c=2,XD-OC-J,

則力￡>-CM=AD-{^OM—OC}=AD-OM-AD-OC=4x1Xcos0-4X2Xcos^,

=4cos。一4.

因為ee[0，m，所以一1Wcosewi,（三角函數(shù)的有界性）

所以一8W前?而W0.

故選：C.

B

以。為坐標(biāo)原點，以直線4。為x軸，過。且和力D垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則依題意可得4(一2,0),￡)(2,0),C(l,-V3),

因為圓。的半徑為1,所以可設(shè)M(cosasin。)，

所以4。=(4,0),CM=(cos0—l,sin0+V3),所以AD?CM=4cos?！?,

又一iscosew1,(三角函數(shù)的有界性)

所以一8W前?而W0.

故選：C.

設(shè)4D,CM=6,貝！J4D-CM=|AD||CM|COS0=4|CM|COS0.

|威|cos6可看成是而在而上的投影，

當(dāng)點M與G重合時|后司cosJ最小，最小值為-2,

當(dāng)點M與N重合時|加|cos。最大，最大值為0,

故-8W而?麗W0.

故選：C.

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例6】（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）已知平面向量4b,才滿足同=1,同=舊，a-b=~l，（a-c,b-c）

=30°,則同的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3V3

【解題思路】由乙4。8=150。,乙4cB=30。，即點4,0,B,C四點共圓，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.

【解答過程】設(shè)市=a^OB=b^OC=c,

由同=1,同=舊，a-b——I，則COSNZOB=—

所以4WB=150。，又值一涓一力=30。，所以乙4cB=30。，

即點4。,SC四點共圓，要使同最大，即|瓦|為圓的直徑，

在aaOB中，由余弦定理可得4B2=OA2+OB2-2OAXOBXCOSZ.AOB=7,

即力B=V7,又由正弦定理可得2R=W^=2V7,

SlLL￡-/iUD

即同的最大值為2V7,

故選：A.

【變式6-1］（2024?湖南長沙?三模）在平行四邊形2BCD中，AC=2BD=4,點P為該平行四邊形所在平面

內(nèi)的任意一點，則麗）+1麗『+|而『的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

【解題思路】設(shè)4C與BD的交點為0,由m=而+市，兩邊平方可表示出|可『，同理可表示|麗『J而臼而

|2,四個式子相加化簡可求得結(jié)果.

【解答過程】設(shè)4C與8。的交點為。，由方=麗+市，

得I西2=|PO|2+麗2+2po.OAt

同理可得I而『=|PQ|2+\0B\2+2po-OB,

\PC\2=\P0\2+\OC\2+2P0-OC,

\PD\2=\P0\2+\OD\2+2P0-OD,

所以|西2+|西2+國|2+|麗2=

4|西2+畫|2+函2+|5c|2+|0DI2+2PO-（OA+OB+0C+0D）

=4|PO|2+10>10,當(dāng)點P與點。重合時，等號成立.

故選：C.

【變式6-2］（23-24高一下?天津?期末）如圖，在△4BC中，已知2B=2,AC=3,NA=120。，E,F分別

是AB,AC邊上的點，且荏=K同，AF=yAC,且2久+y=l,若線段EF,BC的中點分別為M,N,則|麗

I的最小值為（）

V7

A.C?答D?察

2

【解題思路】根據(jù)幾何圖形中線段對應(yīng)向量的線性關(guān)系，可得獺=的而+%甌），^V=|（XF+ZC）,再

根據(jù)麗=麗一宿并結(jié)合K,ye［0,1］且2x+y=1,可得由2關(guān)于X的函數(shù)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求|而|

的最小值.

【解答過程】解：在△4BC中，|荏|=2,|尼|=3,U=120。,則前?前=|荏||前|cos4=-3,分別是邊4B/C

的點，線段EF,BC的中點分別為MN

--->1-->-->1-->-->--->1--?-->

.-.XM=^AF+AE)=^yAC+xAB),AN=^AB+AC},

■-'MN=AN-AM=|[(l-x)^B+(l-y)4C],

???兩邊平方得：

M/V2=：[(1-X)2AB2+2(l-x)(l-y)AB-AC+(l-y)2Xf2]

=^[4(l-x)2-6(l-x)(l-y)+9(l-y)2]=(l-x)2-|(l-x)(l-y)+^(1-y)2,

v2x+y=1,

:而2=13%2_5X+1=13(x-^)2+||,

又G[0,1],

二當(dāng)％時，麗?最小值為己即|而|的最小值為嚼.

故選：B.

【變式6-3］（23-24高一下?廣東廣州?期末）已知平面向量出b,e,且同=1,同=2.已知向量石與3所成

的角為60。，且歷―同對3-成對任意實數(shù)t恒成立，則|五+司+|頡一對的最小值為（）

A.V3+1B.2V3C.V3+V5D.2V5

【解題思路】同2/-可對任意實數(shù)t恒成立，兩邊平方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的恒成立問題，用判別式來解,

算出囚=2,借助同=2,得到自+句=,+2a，|五+可+跟一同的最小值轉(zhuǎn)化為氏+2目+跟-加的

最小值，最后用絕對值的三角不等式來解即可

【解答過程】根據(jù)題意，h-e=|b|-|e|cos600=||&|,

\b-te\>歷一成，兩邊平方歷『+t2\e\2-2tb-e>\b\2+\e\2-2b-e,整理得到|力t-l+\b\>0,

對任意實數(shù)t恒成立，則△=網(wǎng)2-4（-1+網(wǎng)）40,解得（歷|—2）2W0,貝U歷|=2.

由于同=2,如上圖，|方+司=1五+2W，則同++23一時=2石+2目+片2—M2］（：方+

2e+b8+4b-e=243,則同+3|+猿征一對的最小值為2舊.

當(dāng)且僅當(dāng)-2林加終點在同一直線上時取等號.

故選：B.

【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】

【例7】（23-24高一下?甘肅隴南?期末）已知平面向量旅滿足同=|同=4,向=2,3?9=-8,若/=43+4

X（4eR,〃eR）,貝眨4+〃的取值范圍是（）

A.［—竽，竽］B.［一等,亨］C"唱]D.[-276,276]

【解題思路】將工=A3+〃刃兩邊平方，整理得（2入一〃）2+3〃2=1,令2/1-比=cos0,V3u=sin。，所以

24+〃=cos0+竽sin。=^sin（0+喻,即可求解.

【解答過程】因為同=|川=4,同=2,五?B=-8,且石=疝+匝（awR,〃WR）,

所以12—（點+）2=入2@2_|_〃2同2+22成.b=16A2+16〃2—164〃=4,

所以（22—〃）2+3〃2=1,

令22—〃=cos0,V3u=sin。，

所以2a+〃=cosd+^^sin6=^|^sin（0+（p）,其中cosg=^^,sin0=^|^,

所以22+〃e［—經(jīng),亨］,

即22+〃的取值范圍是［一早，用.

故選：B.

【變式7-1］（23-24高一下?黑龍江哈爾濱?期末）在△4BC中，AB=6/C=8/R4C=去/是ABAC的平分

線上一點，且2/=舊，若△ABC內(nèi)（不包含邊界）的一點。滿