專(zhuān)題1-6折疊翻轉(zhuǎn)八大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1平行問(wèn)題..................................................................1

題型2垂直問(wèn)題..................................................................4

題型3體積距離問(wèn)題..............................................................5

題型4線面角問(wèn)題................................................................7

題型5二面角問(wèn)題................................................................9

題型6角度相關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.........................................................12

題型1體積相關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.........................................................13

題型8最值問(wèn)題.................................................................14

但題型分類(lèi)

題型1平行問(wèn)題

【例題1】(2023?全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí))如圖1所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形中，點(diǎn)B,C

在線段44'上，且4B=3,BC=4作,分別交公掰、聞?dòng)邳c(diǎn)外P作CC//44,

分別交為4、于點(diǎn)Q、Q,將該正方形沿BBi，CG折疊，使得與重合，構(gòu)成如

圖2所示的三棱柱4BC-.

圖1圖2

(1)在三棱柱ABC-&B?中，求證：AB1平面BCQBi；

(2)試判斷直線AQ是否與平面&GP平行，并說(shuō)明理由.

【變式1-1]1.(2022秋?河南鄭州?高二鄭州市第二高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)如圖1,在

邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P、Q分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，將AAPD、△CDQ分別

沿DP、DQ折疊，使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)M,連BM、PQ,得到圖2所示幾何體.

(1)求證：PM1DQ；

(2)在線段MD上是否存在一點(diǎn)F,使平面PQF,如果存在，求翳的值，如果不存在,

說(shuō)明理由.

【變式1-1]2.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折

疊，使得平面ABD1平面CBD,AE1平面ABD,S.AE=V2.

(1)求DE與平面BEC所成角的正弦值；

⑵直線BE上是否存在一點(diǎn)M，使得CMII平面ADE,若存在，確定點(diǎn)M的位置，若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1-1]3.(2021秋?寧夏銀川?高二?？茧A段練習(xí))如圖①所示的等邊三角形48c的

邊長(zhǎng)為2a,CD是48邊上的高，E,F分別是AC,8c邊的中點(diǎn)現(xiàn)將ZM8C沿CD折疊，使平面

ADC_L平面BDC,如圖②所示.

(1)試判斷折疊后直線48與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求四面體ADBC外接球的體積與四棱錐。-48FE的體積之比.

【變式1-D4.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知如圖1所示在邊長(zhǎng)為12的正方形,

中，BBj/CCj/AAr,且AB=3,BC=4,44/分別交8%,CG于點(diǎn)P、Q,將該正方形沿

BBi，CG,折疊，使得與A4i重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A/?,在該三棱

柱底邊4C上有一點(diǎn)M,滿足AM=kMC(0<k<1)；請(qǐng)?jiān)趫D2中解決下列問(wèn)題：

(1)求證：當(dāng)k=前寸，〃平面2PQ；

(2)若k=[,求三棱錐M-4PQ的體積.

【變式1-U5.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖，四邊形M4BC中，△力BC是等腰直角三

角形MCB=90°,△MAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形以4c為折痕將小M2C向上折疊到△DAC

的位置，使。點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影在力B上,再將△MAC向下折疊到△R4C的位置，使平面

EAC1平面ABC,形成幾彳可體￡MBCE.

(1)點(diǎn)尸在BC上,若。F〃平面E",求點(diǎn)F的位置；

(2)求二面角。-BC-E的余弦值.

題型2垂直問(wèn)題

【例題2](2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知梯形||CD,現(xiàn)將梯形沿對(duì)角線AC向

上折疊，連接，問(wèn)：

(1)若折疊前BD不垂直于力C,則在折疊過(guò)程中是否能使8。1AC?請(qǐng)給出證明；

⑵若梯形2BCD為等腰梯形，力B=3,CD=5,折疊前4c1BD,當(dāng)折疊至面4DC垂直于面

4BC時(shí)，二面角2-BD-C的余弦值.

【變式2-1](2020?全國(guó)?校聯(lián)考三模)如圖甲，E是邊長(zhǎng)等于2的正方形的邊CD的中點(diǎn)，

以AE、BE為折痕將AADE與3CE折起，使D,C重合(仍記為D),如圖乙.

D(C)

(1膝索:折疊形成的幾何體中直線DE的幾何性質(zhì)(寫(xiě)出一條即可不含DE±DA,DE±DB,

說(shuō)明理由）；

（2）求二面角D-BE-A的余弦值

題型3體積距離問(wèn)題

【例題3]（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直角梯形ABCD中，ABllCD,AB±AD,

且AB=AD=：CD=1.現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF,然后沿邊AD將正方形

ADEF折疊，使ED^DC,M為ED的中點(diǎn)，如圖2.

圖1圖2

⑴求證：AMII平面BEC;

（2）求證:BC_L平面BDE;

⑶求點(diǎn)D到平面BEC的距離.

【變式3-1]1.（2021?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，點(diǎn)D,E,G分

別是邊AB,AC,BC的中點(diǎn)，連接DE,連接2G交DE于點(diǎn)F.現(xiàn)將△/WE沿折疊至△ArDE

的位置，使得平面&DE1平面BCED.連接&G,EG.求點(diǎn)B到平面4EG的距離.

C

【變式3-1]2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖是矩形ABCD和以邊4B為直徑的半圓組成

的平面圖形，將此圖形沿4B折疊，使平面4BCD垂直于半圓所在的平面，若點(diǎn)E是折后圖形

中半圓。上異于4,B的點(diǎn)

(1)證明：E41EC；

(2)若4B=2AD=2,且異面直線力E和DC所成的角為g,求三棱錐D-ACE的體積.

【變式3-1J3.(2020?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖所示長(zhǎng)方形BC￡T,FB=2AB=2FA=2BC,

現(xiàn)沿，GH兩道折痕進(jìn)行折疊，AD.GH均與CE垂直/HAB=；,成為如圖所示立體圖

形

EG

FHABAB

(1)若FH:HA1:2,FA1AB,求證平面￡TGH〃平面4BCD；

(2)在(1)的條件下，設(shè)AB=3,請(qǐng)求出四面體H-2CE的體積

【變式3-1]4.(2019秋?全國(guó)?高三階段練習(xí))如圖一，在直角梯形4BCD中，分別為

2B的三等分點(diǎn),FG〃BC,ED||BC,AB=3=2，若沿著FG,DE折疊使得點(diǎn)/和B重合，

如圖二所示，連結(jié)GC,8D.

(1)求證：平面GBDJ_平面BCDE；

(2)求點(diǎn)E到平面CDG的距離.

【變式3-1]5.(2023?四川瀘州瀘縣五中?？既?如圖1,在梯形4BCD中，AB//CD,

且28=2CD=4,△ABC是等腰直角三角形，其中BC為斜邊.若把△4CD沿4C邊折疊到4

4CP的位置，使平面24。，平面4BC,如圖2.

(2)若E為棱8c的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面P4E的距離.

題型4線面角問(wèn)題

【例題4](2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)如圖1,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P為CD

中點(diǎn)，分別將WAD,WBC沿PA,PB所在直線折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合于點(diǎn)O,如圖2.在

三棱錐P-OAB中，E為PB中點(diǎn).

(I)求證：PO±AB;

(II)求直線BP與平面POA所成角的正弦值；

(1U)求二面角P-AO-E的大小.

P

DP

OB

圖i圖2

【變式4-1]1.(2020?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖，四邊形M4BC中△ABC是等腰直角三角形，

ACIBC,AMAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，以4C為折痕，將4M4C向上折疊到△D2C的位

置，使點(diǎn)。在平面力BC內(nèi)的射影在48上，再將△M4C向下折疊到△E4C的位置，使平面E4C1

平面ABC,形成幾何體ZMBCE.

(1)點(diǎn)F在BC上,若。///平面E4C,求點(diǎn)尸的位置；

(2)求直線4B與平面EBC所成角的余弦值

【變式4-1]2.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖，在平面多邊形2BFCDE中，2BFE是邊

長(zhǎng)為2的正方形,DCFE為等腰梯形，G為CD的中點(diǎn)，S.DC=2FE,DE=CF=EF,現(xiàn)J各

梯形DCFE沿折疊，使平面DCFE_L平面4BFE.

(1)求證：EG1平面B。尸；

(2)求直線8。與平面CBF所成角的大小.

【變式4-1】3.(2020?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖，等腰梯形48CD中,AB//CD,DA=AB=

8c=2,CD=4,E為CD中點(diǎn)，將△DE4沿AE折到△心理的位置.

(1)證明：AE1；

(2)當(dāng)折疊過(guò)程中所得四棱錐。1-4BCE體積取最大值時(shí)，求直線與平面ABD1所成角

的正弦值.

【變式4-1]4.(2021?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))如圖，四邊形MABC中，MBC是等腰直角

三角形AC±BCAMAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形以AC為折痕將^MAC向上折疊到&DAC

的位置，使點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影在AB上,再將AMAC向下折疊到4AC的位置，使

平面EAC,平面ABC,形成幾何體DABCE.

(1)點(diǎn)F在BC上，若DFII平面EAC,求點(diǎn)F的位置；

(2)求直線AB與平面EBC所成角的余弦值.

題型5二面角問(wèn)題

【例題5】(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖1,在直角梯形EFBC中,BF||CE,EC1EF,

EF=1,FB=2,EC=3.現(xiàn)沿平行于EF的4。折疊，使得ED1DCS.BC_L平面BDE,如圖

2所示.

E

圖2

⑴求4B的長(zhǎng)度；

(2)求二面角尸-EB-C的大小.

【變式5-1J1.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖所示，平面圖形A8CDFE中，其中矩形ABCD

的邊長(zhǎng)分別為4B=3,BC=8,等腰梯形/WFE的邊長(zhǎng)分別為2E=5,EF=2.現(xiàn)將該平面

圖形沿著4。折疊，使梯形2。尸石與矩形A8CD垂直，再連接BE,CF，得到如圖所示的空間

圖形，對(duì)此空間圖形解答如下問(wèn)題：

⑴證明：ABLDF；

(2)求平面4BE與平面CDF所成銳二面角的余弦值.

【變式5-1]2,(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))在直角梯形CEPD中,PD//EC,PD=8,CE=6,

A為線段PD的中點(diǎn)，四邊形48CD為正方形.將四邊形P4BE沿48折疊，使得24，得

到如圖(2)所示的幾何體.

(1)求直線PD與平面PCE所成角的正弦值；

⑵當(dāng)F為線段28的中點(diǎn)時(shí)，求二面角P-CE-F的余弦值.

p

（1）（2）

【變式5-1]3.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知三角形PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，現(xiàn)

將菱形ABCD沿AD折疊，所成二面角P-AD-B的大小為120。，此時(shí)恰有PC1AD.

⑴求BD的長(zhǎng);

（2）求二面角。-PC-8的余弦值.

【變式5-1]4.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖1是由邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD與腰長(zhǎng)及下

底長(zhǎng)均為2的等腰梯形ABEF組成的平面圖形，將此圖形沿AB邊折疊，使得平面ABCD，平

面ABEF,如圖2所示.

圖1圖2

⑴在圖2中，連接BF,DF,求證：BF，平面ADF;

(2)求圖2中平面ADF與平面BDE的夾角的余弦值.

【變式5-1]5.(20121秋?全國(guó)?高三校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在直角梯形4BCD中，E,F

分別為AB的三等分點(diǎn),FG//BC,ED//BC,AB=3,BC=2若沿著FG,ED折疊使得點(diǎn)A,

B重合，如圖2所示，連結(jié)GC,BD

FEF

圖1圖2

(1)求證：平面GBD1平面BCDE;

(2)求二面角B-CG-。的余弦值.

題型6角度相關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【例題6】(2021?全國(guó)模擬預(yù)測(cè))圖①是矩形ABCD和以邊AB為直徑的半圓。組成的平

面圖形，將此圖形沿AB折疊，使平面ABCD垂直于半圓O所在的平面，如圖②，若點(diǎn)E

是半圓O上異于A,B的點(diǎn).

DC

(1)證明：平面END1平面EBC;

(2)若AB=24。=2,且異面直線BE和DC所成的角為》求平面DCE與平面AEC所成的

銳二面角的余弦值.

【變式6-1]1.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖，平面五邊形4BCD中"=ABAD=ZE=

乙CDE=90。，CD=DE=E2=&,?等A2DE沿AD折疊，得四棱錐P-ABCD.

P

⑴證明：PC12。；

⑵若二面角P-AD-B的大小是120。，求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.

【變式6-1]2.（2021秋?全國(guó)?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知五邊形P48CD是平面圖形（如圖

1）,四邊形4BCD是矩形,PA=PD,PAL?！?gt;.現(xiàn)在沿4。折疊4PAD，使得NPAB=90°,

得到四棱錐P-力BCD（如圖2）.

P

（1）求證：PD1平面P4B；

（2）若二面角A-PB-。的余弦值為-|,求物勺值.

DDC,

題型7體積相關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【例題7】（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在直角梯形BCDE中,BC//DE.BC1CD,

A為DE的中點(diǎn)，且DE=2BC=4,BE=2a,將4ABE沿AB折起，使得點(diǎn)E到達(dá)P處

（P與D不重合），記PD的中點(diǎn)為M,如圖2.

p

（1）在折疊過(guò)程中，PB是否始終與平面ACM平行？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，求CD與平面ACM所成角的正弦值.

【變式7-1]（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，已知矩形ABCD,其中4B=2,BC=4,

線段AD,BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F,現(xiàn)將△A8E沿著B(niǎo)E折疊，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P,得到四

棱錐P—BCDE,如圖2.

圖1圖2

（1）求證：BE1PF；

（2）當(dāng)四棱錐P-8CDE體積最大時(shí)，求二面角P-EC-B的大小.