備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷(新高考八省專用)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.已知集合4=卜|*2-*-240},3=3y=&+l},則A[J8=()

A.[1⑵B.[-l,+oo)C.[-1,1]D.[l,+oo)

【答案】B

【分析】解一元二次不等式得集合A,根據(jù)集合的描述法轉(zhuǎn)化得集合8,根據(jù)集合的并集的概念求解即可

得結(jié)論.

【詳解】不等式/_》_2W0解得-IV,則人={3[-1<；1<2},

函數(shù)y=4+l中xNO,所以yNl,故3={y|y21},

所以AU3=[T，”).

故選：B.

2.若i.z=l+i,則目=()

A.-#)B.-72C.V5D.72

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得出復(fù)數(shù)z,利用共物復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閕-z=l+i,貝!Jz=W=U=l-i,所以，口1+i，

11

所以，同=#7?=應(yīng).

故選：D.

3.已知命題p：VxeR,ln(2"+l)>0,命題sin(2x+3)=3,則()

A.P和4都是真命題B.T7和4都是真命題

C.。和-1^都是真命題D.T7和r7都是真命題

【答案】C

【分析】解不等式ln（2，+l）＞0,結(jié)合尸sin?x+0）的值域?yàn)椋?1』，及命題的真假判斷即可.

【詳解】ln（2"+l）＞0,Bpin（2x+l）＞lnl,

因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx在（0,+s）上單調(diào)遞增，

所以2*+1＞1，即2工＞0,解得xeR,所以命題。是真命題；

y=sin（ox+0）的值域?yàn)椋?U］,所以命題4是假命題，則F是真命題.

故選：C.

4.紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺、石瓢壺、潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似

看成一個(gè)圓臺，如圖給了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）,那么該壺的容積約為（）

10------?

A.100cm3B.205cm3C.300cm3D.400cm3

【答案】B

【分析】法一：利用圓臺體積公式進(jìn)行求解，再結(jié)合選項(xiàng)得到答案；法二：補(bǔ)全圖像利用三角形相似可求

出小圓錐體的高，大圓錐體積減小圓錐體積即可求解.

【詳解】解法一：根據(jù)題意可知"=4,r=3,R=5,根據(jù)圓臺體積公式可得

V=17t/7（r2+7?2+rT?）=17tx4x（32+52+3x5）=^^?205（cm3）.

解法二：如圖，設(shè)小圓錐的高為xcm,根據(jù)三角形相識可得X告=：3,解得兀=6,

x+45

?士g4如位兀*52xlOTIX32x6196K一一/

所以該壺的容積為-----------------=----?205cm3）.

故選：B.

it孝則1-tana

5.若cos+-

sina

A.上BD

5-1-i

【答案】c

1-tana

【分析】由題給條件求得cosa-sina,cosasina的值，進(jìn)而求得的值.

sina

【詳解】由cos[a+￡|=￥，A/2._V2

可得----sinex=-----9

223

.225

貝（Jeosa-sina=§,則（cosa-sina,貝！|cosasina=——,

18

2

,1-tancosa-sina3_12

故t—:----

sinasinacosa55

18

故選：C

則）+上的最小值為（

6.已知x>0,z>0,且—

Xz

A.3B.5C.7D.8

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件對上+8進(jìn)行變形，得到）+史上三+期一1,再利用基本不等式求最小值.

XZXZXZ

E、r、cy9x、z—x9xZ9%Y

【詳解】因?yàn)椤眤-x,x>0,所以」+—>----+—=-+——1,

XZXZXZ

因?yàn)閤>0,z>0,所以三+鄧-122、/土旦-1=5,所以）+鄧N5,

XZVXzXZ

[y=2x,一

當(dāng)且僅當(dāng).0時(shí)取等號.

lz=3x

所以』+史的最小值為5.

XZ

故選：B.

7.若函數(shù)/（%）=:一在九=2時(shí)取得極小值，則/（%）的極大值為（）

x+bx+\

13

A.-B.1C.—eD.e

e8

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合極小值的定義建立方程求得參數(shù)，還原函數(shù)解析式明確定義域，求導(dǎo)列表,

可得答案.

9[爐+(/;一2)1+1-同

【詳解】由函數(shù)/(町=H5—，求導(dǎo)可得/'(%)=

4~iL/JvI-L(%2+〃龍+1)

由題意可得((2)=0,則4+2伍-2)+—解得〃=—1,

所以回Ei則x2—尤+1=+-1>0,

)e*(尤])(%2)

,令/'(力=0,解得x=l或2,

可得下表:

X(fl)10,2)2(2,+oo)

f'(x)+0—0+

/W/極大值/極小值/

i

則函數(shù)的極大值為/(1)=苦e肉=e

故選：D.

22

8.設(shè)橢圓E京+琶=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為小工，右頂點(diǎn)為A,已知點(diǎn)P在橢圓E上,若4尸為=90。,

NPA&=45。，則橢圓的離心率為()

A.73-1B.逅C.72-1D.-

37

【答案】A

【分析】利用已知條件求出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入|巴訃|柩|=2/-2°2中形成齊次方程，解出離心率即可.

【詳解】

如圖：由題意不妨設(shè)Pg,%）在第一象限，知|「盟+|「局=2a①,

因?yàn)?尸8=90。，所以耳『+|巡『=4。2②,

所以（|明+陷『-（陷「+|尸閭）=2|明.附卜4/_布，

則歸耳口尸鳥|=2/-2。2,且|OP|=C,即k+y：=c2,

又由N7M￡=45。，所以|剛=|尸"|=%,又|。叫=和即%+%=。,

結(jié)合s刖%=加解得玉=竺止,％=工，

CC

22

代入。+多=1（〃〉?！?）中，整理得—2ac+2a2—c2=0,

ab

即3+2e-2=0,解得e=g+l（舍）或e=6-L

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.某校為了更好地支持學(xué)生個(gè)性發(fā)展，開設(shè)了學(xué)科拓展類、科技創(chuàng)新類、體藝特長類三種類型的校本課程，

每位同學(xué)從中選擇一門課程學(xué)習(xí).現(xiàn)對該校5000名學(xué)生的選課情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖1,并用分層隨機(jī)抽樣

的方法從中抽取2%的學(xué)生對所選課程進(jìn)行了滿意率調(diào)查，如圖2.則下列說法正確的是（）

圖2

A.滿意度調(diào)查中抽取的樣本容量為5000

B.該校學(xué)生中選擇學(xué)科拓展類課程的人數(shù)為1250

C.該校學(xué)生中對體藝特長類課程滿意的人數(shù)約為875

D.若抽取的學(xué)生中對科技創(chuàng)新類課程滿意的人數(shù)為30,則a=70

【答案】BC

【分析】根據(jù)滿意率調(diào)查圖表即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)題意計(jì)算即可

判斷C選項(xiàng)，列出方程即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】滿意率調(diào)查中抽取的樣本容量為5000*2%=100,A錯(cuò)誤；

由扇形統(tǒng)計(jì)圖知1-35%-40%=25%,

則5000x25%=1250人，B正確；

該校學(xué)生中對體藝特長類課程滿意的人數(shù)約為5OOOx35%x5O%=875人，C正確；

抽取的學(xué)生中對科技創(chuàng)新類課程滿意的人數(shù)為30,

貝!|100x40%xa%=30,貝!|a=75,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.定義在R上的偶函數(shù)/(X),滿足/(x+2)-/(x)=/⑴，則()

A./(1)=0B./(l-x)+/(l+x)=0

20

C./(l+2x)=/(l-2x)D.E"i)=10

Z=1

【答案】AC

【分析】利用特殊值及偶函數(shù)性質(zhì)判斷A；根據(jù)已知條件得/(x+2)-/(-》)=0、/(尤+1)_/(1-幻=0判斷11、

C；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，舉反例/(尤)=。判斷D.

【詳解】由〃x+2)-〃x)=〃l),令x=-l,貝!|〃1)一〃一1)=7⑴=/(-1)=0,

又/(X)為偶函數(shù),則/⑴=/(-1)=0,A對；

由上，得/(x+2)-/(x)=0n/(x+2)-/(-x)=0(1),

在①式，將尤-1代換工,得/(x+l)-/(l-x)=0②，B錯(cuò)；

在②式,將②代換工,得F(2x+l)-2”2x)=0n心+l)"(l-2x),C對；

由〃x+2)=〃x)且/(x+l)=f(l-x),即周期為2且關(guān)于尤=1對稱,

20

顯然/。)=。是滿足題設(shè)的一個(gè)函數(shù)，此時(shí)￡/(i)=。，D錯(cuò).

i=l

故選：AC

11.已知函數(shù)〃x)=sin0x+Gcos(yx(o>O),尤e[0,兀],對Vxe[0,7r]都有機(jī)M,且廣⑺的零點(diǎn)

有且只有3個(gè).下列選項(xiàng)中正確的有(

A.M+m=0

8n

。的取值范圍為

B.357

C.使/(5)="的尤。有且只有2個(gè)

D.方程〃x)=有的所有根之和為6萬

【答案】AC

【分析】〃x)=sin0x+JGcos0x=2sin(5：+g),始終把。x+g看做一個(gè)整體，借助正弦函數(shù)的圖象、最

值、方程的根來對選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】〃x)=sinGx+\/§cosGx=2sin(s;+a，令￡+$貝!Jy=2sin，,

令/(x)=0,即sinf=O,

7171

xe[0,7i],:.t=cox+1^^一,(071H--,

33

則/⑺在[0,可上有3個(gè)零點(diǎn),

TV

貝!)3兀W/maxV4兀，即3兀?師+]<4兀,

Q11

解得<葭，故B錯(cuò)誤;

7171

,.,xe[0,7i],cox+^￡一,6971H---,

33

則朋'=2,m=-2,所以A/+根=0,故A正確;

若/(x())=M=2,即sin(叫)+?=：!,

7TTC_7157rri.

0x0+§=5或①%+1=萬，故C正確?

/(0)=73,且/(二的零點(diǎn)有且只有3個(gè),

所以方程f(x)=6有四個(gè)根，從小到大分別為。，0%2，入3.

/(x)=A/3,BPsint=,

2

兀2兀兀7兀兀8兀

貝=公石+§=可/2=O)X2+~=~^3=刃"3+]=可，

14兀

貝[]<2?(0+X]+X[+毛)=~~~9

故0+%+%+無3=貴，即方程〃力=6的所有根之和為事，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決。的取值范圍與最值問題主要方法是換元法和卡住。的大致范圍，如本題B選項(xiàng)，

具體方法為：

(1)根據(jù)x的范圍，求出0X+0的范圍；

(2)把0X+。看成一個(gè)整體，即利用換元法，把，=4$皿8+0)變成y=Asinf來降低解決問題的難度，再

借助正弦函數(shù)的圖象，要使/(左)有3個(gè)零點(diǎn)，則8+。的最大值就必須在［3兀,4兀)之間，列出不等式即可求

出。的取值范圍.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知平面向量￡,5滿足忖=忖=|2-?=2,則>5=.

【答案】2

【分析】根據(jù)向量的模長結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得數(shù)量積.

【詳解】因?yàn)殁獾?斤5卜2,

所以,一可2=4,貝!I方2-21石+后=4一2灑5+4=4,解得75=2.

故答案為：2.

13.已知直線嚴(yán)依與曲線〃x)=F相切，則實(shí)數(shù)。的值為.

2

【答案】-e

4

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)數(shù)表示斜率，結(jié)合切線過原點(diǎn)可計(jì)算切點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而算出。的值.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為氟一，

根玉

由〃尤)=?得，-3=當(dāng)3，故切線斜率T),

由直線>=依可知切線過(0,0),故。=

.??冬―丁）,解得々=2,

XQX0

?_e2

..Q=--?

4

2

故答案為：e

4

14.已知拋物線丁=2°32>0）上的點(diǎn)尸（2,%）到焦點(diǎn)尸的距離為4,過點(diǎn)尸作直線/交拋物線于A8兩點(diǎn)，

延長陽交準(zhǔn)線于點(diǎn)C,A,B兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為M,N,若忸。=2忸N|,則AAFM的面積為.

【答案】16出

【分析】借助焦半徑公式可得P,借助拋物線定義與相似三角形的性質(zhì)計(jì)算可得|AM|=|AF|=8,結(jié)合三角

形面積公式即可得解.

【詳解】由拋物線注=20%5>0）過點(diǎn)尸（2,%）,且冒尸1=4,

得2+§=4,，0=4，P（2,0）,準(zhǔn)線方程為x=—2,

如圖.因?yàn)殁頒|=2忸N|,所以NBCN=30。,所以NC4M=60。,

連接又|AM卜|/W|,所以△血為等邊三角形，

....,,,\BN\BC2

因?yàn)殁?=忸用，所以忸q=2忸用，得望=不=耳，

Q

得忸N|=忸同=],所以\CF\=\CB\+\BF\=3\BF\=8,

由1^=色=1_~r=—r~r,解得|AM|=|AF|=8,

所以Sw=；|W|A叫sin6O'=1x82xg=16G

故答案為：16g\

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助相似三角形的性質(zhì)，得到系列等式，以解出|A"|、|AF|

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)設(shè)數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，己知卬4%成等差數(shù)列，數(shù)列｛2｝滿足"=等.

(1)求數(shù)列｛4｝和也,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記Sn和J分別為數(shù)列｛%｝和也,｝的前鼠項(xiàng)和，證明：Tn<Sn.

【答案】尸，b,g

⑵證明見解析

【分析】(1)設(shè)｛4｝的公比為4(4H。)，利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算代入計(jì)算求出4即得；

(2)利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算S.,利用錯(cuò)位相減法計(jì)算T”，運(yùn)用作差法比較兩者即得證.

【詳解】(1)因?yàn)椋?｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列且%+；，4a3成等差數(shù)列，設(shè)｛4｝的公比為鼠4中0),

由2（%+；）=q+4%,可得2（q+；）=l+4q2,解得：q=g或g=°（舍去）.

n

故%=e）i,4弋

T

1x（1-g）

=2（1$）

(2)由(1)可得由=

12n-1n

數(shù)列｛bn｝的前H項(xiàng)和[=]+級+…+k談’①

112n-1幾小

貝！=夕+方+…+方^+聲?②

1

1111

由①一②得(7；=--1----11-???-]n2Tn

22223------2"2n+1

nn+2

「J2“+i2"+1

2+n

即看=2-

2n

2+n-2（1-白=22+n

由（一S.=2_

2"2"2"4<。，

可得T<S",得證.

16.（15分）已知VA8C為等邊三角形，ZVIBD為等腰直角三角形，ABLBD,平面ABC，平面平

面四邊形C8ZJE中，CE=；BD,CE〃平面點(diǎn)尸為AD中點(diǎn)，連接斯.

（1）求證：平面AED_L平面A33；

（2）求二面角C-AE-O的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

4

【分析】（D取A3的中點(diǎn)。，連接OEOC,可證CO,平面鉆D,進(jìn)而證明四邊形OFEC是平行四邊形，

從而可證結(jié)論成立.

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以0Aoe，。尸所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正VABC的邊長

為2,求出相關(guān)點(diǎn)的的坐標(biāo)，求出平面AEC的法向量，平面AED的法向量，取法向量的方向一進(jìn)一出，利

用空間向量的公式求解即可.

【詳解】（1）取的中點(diǎn)0,連接。￡OC,

又因VABC為等邊三角形，所以

又因?yàn)槊鍭BC_L平面ABD,平面A3CPI平面=

COu面ABC,所以CO_L平面ABD,

又因?yàn)镃E〃平面ABO,CEu平面CBDE,平面CBDEfl平面ABD=,

所以CE〃BD,

又點(diǎn)尸為AD中點(diǎn)，所以。VABD且=又CE=；BD,

所以。尸〃EC,。尸=EC,所以四邊形OEEC是平行四邊形，

所以CO//EF,所以跖_L平面A3D,斯u平面AED,

所以平面_L平面ABD；

(2)由(1)可知CO_L平面ABD,OPu平面ABD,所以CO_LOF,

又因?yàn)镺F//BD,所以_La),

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A,OC,OF所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)正VABC的邊長為2,

則0(0,0,0),A(l,0,0),C(0,后0),E(0,省,1),￡>(-1,0,2),

AC=(-1,A/3,0),AE(-1,s/3,1),AD(-2,0,2),

設(shè)平面AEC的法向量為n=(x,y,z),

n-AC=-x+A/3y=0*

則｛―.r,不妨令y=石，貝！Jx=3,z=0,

n-AE=-x+y/3y+z=Q

所以平面AEC的法向量為方=(3,6,0),

設(shè)平面AED的法向量m=(a,b,c),

mAD=—2a+2c=0

則〈—不妨令c=l,貝!|a=l/=。,

fn-AE=-a+6b+c=0

所以平面AEC的法向量為何=(1,0,1),

__希加3V6

所以c°sw印

所求二面角C-4J-O的正弦值為J1-(-4)2=乎.

17.(15分)重慶市高考數(shù)學(xué)自2024年起第9至11題為多選題，每道題共4個(gè)選項(xiàng)，正確選項(xiàng)為兩個(gè)或三個(gè)，

其評分標(biāo)準(zhǔn)是:每道題滿分6分，全部選對得6分，部分選對得部分分(若某道題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)

正確選項(xiàng)得3分;若某道題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分)，錯(cuò)選或

不選得0分.現(xiàn)甲、乙兩名同學(xué)參加了有這種多選題的某次模擬考試.

(1)假設(shè)第9題正確選項(xiàng)為三個(gè)，若甲同學(xué)完全不會，就隨機(jī)地選了兩項(xiàng)或三項(xiàng)作答，所有選法等可能，求

甲同學(xué)第9題得。分的概率；

(2)已知第10題乙同學(xué)能正確的判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是不符合題意的，他在剩下的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地猜選

了兩個(gè)選項(xiàng);第11題乙同學(xué)完全不會，他在四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地猜選了一個(gè)選項(xiàng).若第10題和11題正確選項(xiàng)是兩

個(gè)和三個(gè)的概率都為《?求乙同學(xué)第10題和11題得分總和X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2

【答案】(1R3

(2)分布列見解析，期望為￡

【分析】(1)設(shè)四個(gè)選項(xiàng)分別為A，8，G。，其中錯(cuò)誤選項(xiàng)為。，列舉法進(jìn)行求解；

(2)設(shè)出事件，得到第10題乙同學(xué)得Q4,6分的概率，第H題乙同學(xué)得023分的概率，第10,11題得分總

和X的可能取值為0,2,3,4,6,7,8,9,用獨(dú)立事件概率乘法公式得到相應(yīng)的概率，從而求出分布列和數(shù)學(xué)期

望.

【詳解】(1)假設(shè)四個(gè)選項(xiàng)分別為C。，其中錯(cuò)誤選項(xiàng)為。，

總的選法共有10種，分別為AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,

其中得。分的選法為4c￡>,88,共6種，

故甲同學(xué)得。分的概率為A=|;

(2)第10題乙同學(xué)三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)猜選兩項(xiàng)，用4,4,4分別表示第10題乙同學(xué)得。，4,6分，

第11題乙同學(xué)四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)猜選一項(xiàng)，用穌，與，為分別表示第11題乙同學(xué)得。，2,3分,

則P(4)=[?罟+?。＜尸⑷=》0+5=3,p(A)=；.'+gxo=：,

從而第10,11題得分總和X的可能取值為0,2,3,4,6,7,8,9,

i31131

p（x=o）=p（ABo）=-xi=-,P（X=2）=P（4,B2）=-X-=-,

iiii33

P（X=3）=P（4B3）=-X-=-,P（X=4）=P（A4B0）=-X-=-,

13131

P（X=6）=P（A4B2+AB0）=-xi+-x-=-,

P（X=7）=P（A4B3）=1xl=1,P（X=8）=P（4,B2）=1X|=^,

尸（X=9）=P（AA）=gx：=='

X的分布列為:

X02346789

11131111

r

881216481624

故數(shù)學(xué)期望為E（X）=0x!+2xl+3x-l-+4x2+6xL7x』+8x-l-+9x-l-=2.

'）8812164816242

18.（17分）已知函數(shù)/（x）=<zv2—l+21nr.

⑴討論的單調(diào)性；

⑵當(dāng)4=1時(shí)，若存4、%在，滿足了（3六-〃多），證明：玉+尤2?2;

⑶對任意的x>0,尸（無）《屁2工+：_111.1恒成立，其中/'⑺是函數(shù)"X）的導(dǎo)數(shù)，求。的取值范圍.

【答案】（1）答案見解析

（2）證明見解析

⑶S]

【分析】⑴求導(dǎo)八6=2辦+2=2（4+1）,分。<0討論求解；

XX

（2）由（1）知/（可在（0,+"）上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為證明占+%>2,然后利用極值點(diǎn)偏移證明；

（3）將問題轉(zhuǎn)化為0?=2'-（1=+1）求解；

lx

【詳解】（1）解：〃尤）的定義域?yàn)樗?⑹，/,（無）=2辦+2=2（加+1）.

XX

當(dāng)時(shí),r（x）>0,在（0,+8）上單調(diào)遞增；

匚或x=_『B（舍去）,

當(dāng)avO時(shí)，令/，（%）=0,得%

/I—―、

當(dāng)時(shí)，/，（x）＞0；當(dāng)xe工+00時(shí)，/（無）＜0,

aJ

II,+g］上單調(diào)遞減.

所以在0,上單調(diào)遞增，在

a）a）

綜上，當(dāng)420時(shí)，〃x）在（0,+8）上單調(diào)遞增;

匚工,+00上單調(diào)遞減.

當(dāng)"。時(shí),/（無）在0,上單調(diào)遞增，在

a）aJ

(2)當(dāng)a=l時(shí)，y(x)=%"—l+21nx,f(1)=0,

由（1）知a=l時(shí)，〃尤）在（0,+0上單調(diào)遞增,

當(dāng)玉。工2時(shí)，可證玉+々＞2.

不妨設(shè)要證再+%2＞2,即證％2＞2—芯，即證/（々）＞/（2_玉），

因?yàn)?(%)=-75)，所以即證〃占)+/(2-不)<0.

令g(x)=/(x)+〃2-x),其中0<x<l,

294（1）3

8'（耳=尸（無）+尸（2-尤）=2尤+、_2（2_a一二

元（無一2）

因?yàn)?。＜x＜l,所以g'（x）＞0,所以g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增,

所以g（x）＜g⑴=0,所以〃%）+〃2-玉）＜0,所以%+々＞2.

當(dāng)占=%時(shí)，因?yàn)椤?）=一/（龍2），所以〃不）="*2）=0，

所以再=X2=1,所以再+%=2.

綜上，玉+工222.

22

(3)/z(x)=2ax+—,由---lux—1,得2ax<xe"—lux—1,

即心飛所以對任意的—，（3小+:-…恒成立'

-(lnx+1)

等價(jià)于

2x

min

xe2x-(lnx+1)

令g(x)=(x〉0),

2x

e2x+2xe2'--2x—2(xe2x-lux-1

則<(x)=X2x2e2x+\nx,

令/z(x)=2x2e2x+lnx,貝"(x)=4xe2x(l+x)+—>0,所以,(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又/7(j=*_21n2<0,/2(l)=2e2>0,所以/7心〉(1)<0,

所以存在%?［』］,使得力優(yōu))=0,

2X

所以+lnx0=0,即-lnx0=2XQC°,所以ln(-ln%o)=ln2+21nx0+2x0,

所以In(—Inx。)+(-lnx0)=ln2x0+2x0,

令/(x)=lnx+M%>。)，Z'(x)=—+l>0,所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

因?yàn)?(—ln%o)=/(2/o),所以—hu：o=2xo

又x?0,九0)時(shí)，gf(x)<0；x?Xo，+oo)時(shí)，gf(x)>0,

所以g（%）在（0,不）上單調(diào)遞減，g（x）在（天,”）上單調(diào)遞增,

m,njc

所以且（加?=8（尤。）=城'；1Lixoe~0+2x0-l

=1,

2升

所以所以。的取值范圍是（f』.

19.（17分）在平面內(nèi)，若直線/將多邊形分為兩部分，多邊形在/兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線/的距離之和相等，則

22

稱/為多邊形的一條“等線雙曲線片:鼻-2=1（。>0]>0）的左、右焦點(diǎn)分別為大、F2,其離心率為2,

ab

且點(diǎn)尸為雙曲線E右支上一動點(diǎn)，直線機(jī)與曲線E相切于點(diǎn)P,且與E的漸近線交于A、8兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在

22

點(diǎn)B上方.當(dāng)P瑞，x軸時(shí)，直線y=l為AP耳工的等線.已知雙曲線E:?-2=1（。>0,6>0）在其上一點(diǎn)

ab

P（X。,%）處的切線方程為苦-咨=1.

ab

⑴求雙曲線E的方程；

⑵若y="x是四邊形A￡8工的等線，求四邊形的面積；

（3）已知