微專題40尺規(guī)作圖

1.（2024佛山模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.

（1）尺規(guī)作圖：在AC上確定一點D，使點D到CB，AB的距離相等（要求保

留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，過點D作DE⊥AB，交AB于點E，若AC＝6，AB＝10，

求△ADE的周長.

第1題圖

2.如圖，在矩形ABCD中，E為CB延長線上一點，連接AE，AC.

（1）實踐與操作：作BF∥AE交AC于點F；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，若AE＝3，BE＝，∠BFC＝∠ABE，求

BC的長.3

第2題圖

3.（2024廣東黑白卷）如圖，在等邊△ABC中，AD為BC邊上的高.

（1）實踐與操作：利用尺規(guī)，以CD為邊在CD下方作等邊△CDE，延長ED交

AB于點M；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，證明CE＝BM.

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第3題圖

4.（2024廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°.

（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，連接

AD，CD，求證：四邊形ABCD是矩形.

第4題圖

5.如圖，△ABC為等腰三角形.

（1）實踐與操作：求作菱形AEDF，使得∠A為菱形的一個內(nèi)角，點D，E，F(xiàn)

分別在邊BC，AB，AC上；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，若AB＝AC＝10，BC＝8，求菱形AEDF

的面積.

第5題圖

6.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°.

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（1）實踐與操作：在邊AC上取點O，以O(shè)C為半徑作☉O，使得☉O與AB相

切；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，若AO＝BC，求的值.

??

??

第6題圖

7.（2024香洲區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°＋∠A，以AB為直徑

的☉O交AC于D.

（1）實踐與操作：過點B作EB⊥AB，交AC于點E；（保留作圖痕跡，不要求

寫作法）

（2）應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，當(dāng)BE＝OA，BC＝10時，求DE的長度.

第7題圖

8.（2024佛山一模）綜合與實踐

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數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們用尺規(guī)作圖法探究在菱形內(nèi)部作一點到該菱形三個頂點的

距離相等.

【動手操作】如圖，已知菱形ABCD，求作點E，使得點E到三個頂點A，D，C

的距離相等.小紅同學(xué)設(shè)計如下作圖步驟；

①連接BD；

②分別以點A，D為圓心，大于AD的長為半徑分別在AD的上方與下方作??；

1

AD上方兩弧交于點M，下方兩弧2交于點N，作直線MN交BD于點E；

③連接AE，EC，則EA＝ED＝EC.

（1）根據(jù)小紅同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖步驟，在圖中完成作圖過程.（保留作圖痕跡，

不要求寫作法）.

【證明結(jié)論】

（2）證明：EA＝ED＝EC.

【拓展延伸】

（3）當(dāng)∠ABC＝72°時，求△EBC與△EAD的面積比.

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1.解：(1)如解圖，點D即為所求；

第1題解圖

(2)如解圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，

∴BC＝8，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABD，

∵∠C＝90°＝∠BED，BD＝BD，

∴△BCD≌△BED(AAS)，

∴CD＝DE，BC＝BE，

∴EA＝BA－BE＝BA－CB＝2，

∴△ADE的周長＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝6＋2＝8.

2.解：(1)如解圖①或解圖②，點F即為所求；(作法不唯一)

第2題解圖

(2)∵BF∥AE，

∴∠BFC＝∠EAC，

∵∠BFC＝∠ABE，

∴∠EAC＝∠ABE，

∵∠AEC＝∠AEB，

∴△ABE∽△CAE，

∴＝，∴＝，

????33

解得??CE??＝33，??

3第5頁共11頁

∴BC＝CE－BE＝2.

3.(1)解：如解圖①，3△CDE即為所求作的三角形；(答案不唯一)

一題多解法

如解圖②，△CDE即為所求作的三角形.

第3題解圖

(2)證明：∵△ABC為等邊三角形，AD為BC邊上的高，

∴∠B＝∠ACB＝60°，BD＝CD，

∵△CDE為等邊三角形，

∴∠ECD＝60°，∴∠B＝∠ECD，

∵∠MDB＝∠EDC，

∴△BMD≌△CED(ASA)，

∴CE＝BM.

4.(1)解：如解圖①，線段BO即為所求；

第4題解圖①

(2)證明：如解圖②，由題可得AO＝CO，由旋轉(zhuǎn)可得BO＝DO，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD為矩形.

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第4題解圖②

5.解：(1)如解圖，菱形AEDF即為所求(作法不唯一，合理即可)；

第5題解圖

(2)如解圖，設(shè)AD與EF交于點O，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4.

1

2

在Rt△ABD中，AD＝－＝－＝2，

2222

∵EF⊥AD，????10421

∴EF∥BC.

∵AO＝OD，

∴E，F(xiàn)分別為AB和AC的中點，

∴EF＝BC＝4，

1

2

∴S菱形AEDF＝AD·EF＝4.

1

6.解：(1)如2解圖①②，☉21O即為所求；

第6題解圖

(2)如解圖③，連接OD，

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∵☉O與AB相切，

∴OD＝OC，OD⊥AB，

∵∠ABC＝90°，

∴OD∥BC，

∴△ADO∽△ABC，

∴＝＝.

＋

??????

∵A??O＝?B?C，??OD??＝OC，

∴＝＝，

＋

??????

即?A?O2＝??OC?2?＋?O?C·AO，

∴＝＋·，

22

????????

222

即?1?＝(??)2＋??，

????

設(shè)＝a?，?則?1?＝a2＋a，

??

整理??得a2＋a－1＝0，

－

解得a＝(負值已舍去)，

51

∴＝－2.

??51

??2

第6題解圖③

7.解：(1)如解圖，BE即為所求；

第7題解圖

第8頁共11頁

(2)如解圖，連接DB.

∵AB⊥BE，

∴∠ABE＝90°，

∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝90°＋∠A，

∴∠A＝∠EBC，

∵∠C＝∠C，

∴△CBE∽△CAB，

∴＝＝＝＝，

????????1

∵B??C＝?1?0，??2??2

∴CE＝5，CA＝20，

∴AE＝AC－CE＝20－5＝15，

∵AB是☉O的直徑，

∴∠ADB＝∠BDE＝90°，

∵∠A＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠DBE＝90°，

∴∠A＝∠DBE，

∴△ADB∽△BDE，

∴＝＝＝2，

??????

∴B??D＝?2?DE?，?AD＝2BD＝4DE，

∴DE＝AE＝3.

1

8.(1)解5：根據(jù)小紅同學(xué)設(shè)計，完成作圖過程如解圖所示；

第8題解圖

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(2)證明：在菱形ABCD中，∠ADE＝∠CDE，AD＝DC，

∵DE＝DE，

∴△ADE≌△CDE(SAS)，

∴AE＝EC，

∵MN垂直平分AD，

∴AE＝DE，

∴AE＝DE＝EC；

(3)解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，

∴∠ABD＝∠DBC＝36°，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC＝36°，∠DAB＝180°－∠ABC＝108°.

∵AE＝DE，

∴∠EAD＝∠ADB＝36°，

∴∠EAD＝∠ABD＝36°，

∵∠ADE＝∠BDA，

∴△ADE∽△BDA，

∴＝，即AD2＝BD·DE.

????

∵∠??BA?E?＝∠BAD－∠EAD＝72°，∠BEA＝∠EAD＋∠ADE＝72°，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴BE＝AB.

設(shè)AB＝x＝BE，DE＝a(其中x，a＞0)，

則x2＝(x＋a)·a，

－

∴x2－ax－a2＝0，解得x＝a或x＝a(舍去)，

1+515

∴＝，22

??1+5

設(shè)點??A到2BD距離為h，則點C到BD的距離為h，

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∴S△AED＝DE·h，