9.6

雙曲線-2-知識梳理雙基自測2311.雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的

等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做

,兩焦點間的距離叫做

.

注:若點M滿足||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù),且a>0,c>0.(1)當

時,點M的軌跡是雙曲線;

(2)當

時,點M的軌跡是兩條射線;

(3)當

時,點M的軌跡不存在.

距離的差的絕對值

雙曲線的焦點

雙曲線的焦距

a<c

a=ca>c-3-知識梳理雙基自測2312.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)

-4-知識梳理雙基自測231(-a,0)(a,0)

(0,-a)(0,a)-5-知識梳理雙基自測231實軸

2a

虛軸

2b

ab-6-知識梳理雙基自測2313.常用結(jié)論(1)漸近線的斜率與離心率的關(guān)系(2)若P為雙曲線上一點,F為其對應(yīng)的焦點,則|PF|≥c-a.(3)區(qū)分雙曲線中a,b,c的關(guān)系與橢圓中a,b,c的關(guān)系,在橢圓中,a2=b2+c2,而在雙曲線中,c2=a2+b2.2-7-知識梳理雙基自測3415答案答案關(guān)閉(1)√

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√-8-知識梳理雙基自測234152.已知F為雙曲線C:x2-my2=3m(m>0)的一個焦點,則點F到C的一條漸近線的距離為(

)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-9-知識梳理雙基自測23415A.焦距相等

B.實半軸長相等C.虛半軸長相等 D.離心率相等答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-10-知識梳理雙基自測23415答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-11-知識梳理雙基自測23415答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-12-考點1考點2考點3例1(1)已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為

.

(2)已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點,點P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2=

.

思考如何靈活運用雙曲線的定義求方程或者解焦點三角形?-13-考點1考點2考點3解析:

(1)如圖所示,設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因為|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以點M到兩定點C1,C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|.根據(jù)雙曲線的定義,得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大,與C1的距離小),其中a=1,c=3,則b2=8.-14-考點1考點2考點3-15-考點1考點2考點3-16-考點1考點2考點3-17-考點1考點2考點3解題心得雙曲線定義的應(yīng)用主要有兩個方面:一是判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線,進而根據(jù)要求可求出曲線方程;二是在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,經(jīng)常結(jié)合||PF1|-|PF2||=2a,運用平方的方法,建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.-18-考點1考點2考點3對點訓(xùn)練1(1)已知F1,F2分別為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點,點P在雙曲線C上,且∠F1PF2=60°,則|PF1|·|PF2|等于(

)A.2 B.4 C.6 D.8(2)已知F為雙曲線C:的左焦點,P,Q為C上的點.若PQ的長等于虛軸長的2倍,點A(5,0)在線段PQ上,則△PQF的周長為

.

答案:(1)B

(2)44-19-考點1考點2考點3解析:

(1)由題意知a=1,b=1,c=2,故|F1F2|=22.在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos

60°=|F1F2|2=8,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,①由雙曲線定義得||PF1|-|PF2||=2a=2,兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,②①-②,得|PF1||PF2|=4.-20-考點1考點2考點3(2)如圖所示,設(shè)雙曲線右焦點為F1,則F1與A重合,坐標為(5,0),則|PF|=|PF1|+2a,|QF|=|QF1|+2a,所以|PF|+|QF|=|PQ|+4a=4b+4a=28,故△PQF周長為28+4b=44.-21-考點1考點2考點3考向一

已知離心率求漸近線方程

例2(2017福建福州一模)已知雙曲線(a>0,b>0)的離心率為2,則雙曲線C的漸近線方程為

(

)思考雙曲線的離心率與漸近線的方程有怎樣的關(guān)系?答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-22-考點1考點2考點3思考求雙曲線的離心率需要建立誰與誰的關(guān)系?答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-23-考點1考點2考點3考向三

由離心率或漸近線方程確定雙曲線方程

思考求雙曲線方程的一般思路是怎樣的?答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-24-考點1考點2考點3考向四

利用漸近線與已知直線位置關(guān)系求離心率范圍思考如何求雙曲線離心率的取值范圍?答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-25-考點1考點2考點32.求雙曲線方程的一般思路是利用方程的思想,把已知條件轉(zhuǎn)化成等式,通過解方程求出a,b的值,從而求出雙曲線的方程.3.涉及過原點的直線與雙曲線的交點,求離心率的范圍問題,要充分利用漸近線這個媒介,并且要對雙曲線與直線的交點情況進行分析,最后利用三角或不等式解決問題.-26-考點1考點2考點3-27-考點1考點2考點3-28-考點1考點2考點3-29-考點1考點2考點3-30-考點1考點2考點3思考直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷的常見方法有哪些?-31-考點1考點2考點3-32-考點1考點2考點3-33-考點1考點2考點3-34-考點1考點2考點3解題心得直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷和直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷方法類似,但是聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消元后,注意二次項系數(shù)是否為0.對于中點弦問題常用