專題07.三角形中的特殊模型-平分平行（射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點，，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。平分平行（射影）構(gòu)等腰模型、角平行線第二定理模型（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理模型）模型1、平分平行（射影）構(gòu)等腰1）角平分線加平行線必出等腰三角形．模型分析：由平行線得到內(nèi)錯角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進行解題．平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個條件都可以得出第三個。（簡稱：“知二求一”，在以后還會遇到很多類似總結(jié)）。平行四邊形中的翻折問題就常出現(xiàn)該類模型。

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點O作的平行線與，分別相交于點M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．→圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。例1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，與分別于點C、D，再分別以點C、D為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧相交于點E，過上一點M作，與OB相交于點N，，則．

例2．（2023·浙江·八年級期中）如圖，已知△ABC的兩邊AB=5，AC=8，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點O作DE∥BC，則△ADE的周長等于．例3．（2023·廣東·八年級期末）如圖，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E點，CF平分∠BCD交AD于F點，則EF的長為cm．例4.（2023.江蘇八年級期中）如圖，已知：在中，，于D，的角平分線交AD與F，交AB于E，交AB于G．，，則__________，__________．模型2、角平行線第二定理（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理）模型1）內(nèi)角平分線定理圖1圖2圖3條件：如圖1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分線。結(jié)論：2）外角平分線定理條件：如圖2，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點D。結(jié)論：．3）奔馳模型條件：如圖3，的三邊、、的長分別是a，b，c，其三條角平分線交于點O，將分為三個三角形。結(jié)論：=c：a：b。例1．（2023·江蘇揚州·七年級?？计谀┤鐖D，在中，是的中點，是上的一點，且，與相交于點，若的面積為1，則的面積為．例2．（2023春·浙江八年級專題練習(xí)）如圖，的角平分線、、交于點，若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．三條高的比為例3．（2023·河南駐馬店·校考三模）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》是2006年科學(xué)出版社出版的圖書，作者是（美）喬治·波利亞．本書通過對各種類型生動而有趣的典型問題（有些是非數(shù)學(xué)的））進行細致剖析，提出它們的本質(zhì)特征，從而總結(jié)出各種數(shù)學(xué)模型．共高三角形：有一條公共高的三角形稱為共高三角形．共高定理：如圖①，設(shè)點M在直線上，點P為直線外一點，則有下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖①，過點P作于點Q，．．．．．．按要求完成下列任務(wù)：(1)請你按照以上證明思路，結(jié)合圖①完成剩余的證明；(2)如圖②，，①畫出的平分線（不寫畫法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）；②若的平分線交于D，求證：；(3)如圖③，E是平行四邊形邊上一點，連接并延長，交的延長線于點F，連接，若的面積為2，則的面積為；例4、△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點D，求證：．例5.（2022秋·北京·八年級北京八十中校考期中）在中，D是邊上的點（不與點B、C重合），連接．(1)如圖1，當點D是邊的中點時，_____；(2)如圖2，當平分時，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如圖3，平分，延長到E．使得，連接，若，求的值．課后專項訓(xùn)練1．（2023湖北省武漢市八年級月考）如圖，已知AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，F(xiàn)G平分∠EFD交AB于點G，若∠BEF＝70°，則∠AGF的度數(shù)為（

）A．35° B．45° C．55° D．65°2．（2023·貴州·中考模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長為（）A．6 B．7 C．8 D．93．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．若AC＝9，AB＝15，則CE的長為（）A．4 B． C． D．54．（山西省大同市廣靈縣2020-2021學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖在中，的角平分線交于，若，，則平行四邊形的周長為（）A． B． C． D．5．（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期末）如圖，的三邊的長分別是9、12、15．其三條角平分線交于點O，將分為三個三角形，則等于（）A． B． C． D．6．（2023春·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，、、分別平分、、，，的周長為18，，則的面積為（

）A．18 B．30 C．36 D．727．（2023·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，平分于，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，

其中正確的個數(shù)為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個8．（2022秋·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，點E是上一點，平分，平分，延長交的延長線于點F．①；②E為的中點；③若，，則；④若四邊形的面積為27，且，則的長為18，其中正確的結(jié)論有．

9．（2022春·四川成都·七年級校考期中）如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的平分線相交于點E，BE交AC于點F，過點E作EG∥BD交AB于點G，交AC于點H，連接AE，有以下結(jié)論：①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正確的結(jié)論有（將所有正確答案的序號填寫在橫線上）．10．（2022秋·陜西西安·八年級校考期中）如圖，在中，，，垂足為D，平分，交于點E，交于點F．若，，則的長為．

11．（2023江蘇八年級月考）如圖，在中，，過頂點的直線，、的平分線分別交于點、，若，，則的長為．12．（2023遼寧省葫蘆島八年級期末）如圖，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分線的交點，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周長為10cm，那么BC的長為．13．（2022秋·河北秦皇島·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的角平分線，，垂足為E，，．與的面積之比為；若的面積為52，則．14．（2023春·貴州畢節(jié)·八年級期末）如圖，的三邊長分別是20、30、40，其三條角平分線將分成三個三角形，則等于．

15．（2022春·廣東深圳·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB外角，過點D作DE∥BC交AB于E，交AC于F，試問：EF與BE、CF關(guān)系如何？16．（2023·福建泉州·八年級階段練習(xí)）（1）如圖1所示，在△ABC中，EF∥BC，點D在EF上，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，若已知BE=3,CF=5,求EF的長度；（2）如圖2所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于點E，交AC于點F，線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.17．（2023春·浙江寧波·七年級?？计谀┙瞧椒志€性質(zhì)定理描述了角平分線上的點到角兩邊距離的關(guān)系，小儲發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，有一些新的發(fā)現(xiàn)，請完成下列探索過程：

【知識回顧】（1）如圖1，是的平分線上的一點，于點，作于點，試證：【深入探究】（2）如圖2，在中，為的角平分線交于于點，其中，求．【應(yīng)用遷移】（3）如圖3，中，的角平分線與的中線交于點為中點，連接，若，則的長度為__________．18．（2023春·七年級單元測試）（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分交的延長線于點，求證：．（3）類比應(yīng)用：如圖3，平分，，，求證：．19．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）解答下列問題：（1）如圖①所示，在△ABC中