高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第九章9.29.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)含答案9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).2.理解用樣本的數(shù)字特征、頻率分布直方圖估計(jì)總體的集中趨勢(shì).【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義1.眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).2.中位數(shù):把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列,處在中間位置的數(shù)(或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).3.平均數(shù):如果有n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn,那么x=1n(x1+x2+…+xn)叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)【版本交融】(人BP66嘗試與發(fā)現(xiàn))中位數(shù)是否能比較全面地體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)?如果不能,有什么補(bǔ)救的辦法?提示:當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)較多時(shí)中位數(shù)是不足以體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布特征,此時(shí)可以借助多個(gè)百分位數(shù)了解數(shù)據(jù)的分布特征.【教材挖掘】(P205)中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)嗎?提示:不一定.一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,如果有奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù),處于中間位置的數(shù)是中位數(shù);如果有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù),則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù).【教材深化】眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱(chēng)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)平均數(shù)與中位數(shù)相比,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息,對(duì)樣本中的極端值更加敏感任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越“離群”,對(duì)平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對(duì)極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分,對(duì)極端值不敏感二、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系1.平均數(shù):在頻率分布直方圖中,樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.2.中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.3.眾數(shù):眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).【思考】頻率分布直方圖中計(jì)算出的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)是精確值嗎?提示:不是.三、總體集中趨勢(shì)的估計(jì)1.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).2.單峰頻率分布直方圖的平均數(shù)與中位數(shù)形狀關(guān)系對(duì)稱(chēng)平均數(shù)與中位數(shù)差不多右邊“拖尾”平均數(shù)大于中位數(shù)左邊“拖尾”平均數(shù)小于中位數(shù)平均數(shù)總是在“長(zhǎng)尾巴”那邊3.對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢(shì)的描述,可以用平均數(shù)、中位數(shù);對(duì)分類(lèi)型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等)集中趨勢(shì)的描述,可以用眾數(shù).【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),受極端值的影響.(√)提示:根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式可知正確.(2)若直方圖單峰且形狀對(duì)稱(chēng),則平均數(shù)與中位數(shù)基本一致.(√)提示:根據(jù)直方圖的對(duì)稱(chēng)性可知,平均數(shù)與中位數(shù)可能一致.(3)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)只有一個(gè).(×)提示:一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個(gè),也可能有多個(gè),中位數(shù)只有一個(gè).類(lèi)型一根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)(2024·洛陽(yáng)高一檢測(cè))一組數(shù)據(jù)a,5,6,7,7,8,11,12的平均數(shù)為8,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()A.6.5 B.7 C.7.5 D.8【解析】選C.由題意得a+5+6+7+7+8+11+128=8,解得a=8.將題中數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為5,6,7,7,8,8,11,12,則中位數(shù)為7+82=7(2)(2024·淄博高一檢測(cè))已知一組數(shù)據(jù)為5,2,x,5,8,9,且5<x<8.若該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的56,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(A.6 B.6.5 C.7 D.7.5【解析】選A.因?yàn)?<x<8,所以這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2,5,5,x,8,9,則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5.又該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的56,所以中位數(shù)是6,即5+x2=6,解得x=7,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為【備選例題】1.(多選)PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo).如圖是某地9月1日到10日的PM2.5日均值(單位:μg/m3)的折線(xiàn)圖,則下列說(shuō)法正確的是()A.這10天中PM2.5日均值的眾數(shù)為33B.這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)是32C.這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)大于平均數(shù)D.這10天中PM2.5日均值前4天的平均數(shù)大于后4天的平均數(shù)【解析】選AB.由題中折線(xiàn)圖得,這10天中PM2.5日均值的眾數(shù)為33,中位數(shù)為31+332=32,平均數(shù)為110×(36+26+17+23+33+128+42+31+30+33)=39.9,中位數(shù)小于平均數(shù),故A,B正確,C錯(cuò)誤;前4天的平均數(shù)為36+26+17+234=25.5,后4天的平均數(shù)為2.(多選)小華所在的年級(jí)一班共有50名學(xué)生,一次體檢測(cè)量了全班學(xué)生的身高,由此求得該班學(xué)生的平均身高是1.65米,而小華的身高是1.66米,則下列說(shuō)法正確的是()A.1.65米是該班學(xué)生身高的平均水平B.班上比小華高的學(xué)生人數(shù)不會(huì)超過(guò)25C.這組身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定是1.65米D.這組身高數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是1.65米【解析】選ACD.由平均數(shù)所反映的意義知A選項(xiàng)正確;由中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定C選項(xiàng)正確;由眾數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定D選項(xiàng)正確;由于平均數(shù)受一組數(shù)據(jù)中的極端值的影響,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.【總結(jié)升華】平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法(1)平均數(shù)一般是根據(jù)公式來(lái)計(jì)算的;(2)計(jì)算中位數(shù)時(shí),可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列,再根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)而定;(3)眾數(shù)是看出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).類(lèi)型二用頻率分布表或直方圖求數(shù)字特征(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(1)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo),數(shù)據(jù)如下:質(zhì)量指標(biāo)分組[10,30)[30,50)[50,70)頻率0.10.60.3則可估計(jì)這批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)、中位數(shù)分別為()A.60,1303 B.C.40,1303 D.【解析】選C.根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知,頻率最大對(duì)應(yīng)的分組為[30,50),所以眾數(shù)約為40.設(shè)中位數(shù)為x,可知x在[30,50)內(nèi),則0.1+x-3050-30×0.6=0.5,解得x(2)(多選)(2024·南通高一檢測(cè))《教育部辦公廳關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工作的通知》中指出:“各地要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生體質(zhì)健康重要性的宣傳,中小學(xué)校要通過(guò)體育與健康課程、大課間、課外體育鍛煉、體育競(jìng)賽、班團(tuán)隊(duì)活動(dòng)、家校協(xié)同等多種形式加強(qiáng)教育引導(dǎo).”某學(xué)校共有2000名男生,為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況,學(xué)校抽查了100名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()A.估計(jì)這100名男生體重的眾數(shù)為67.5B.估計(jì)這100名男生體重的80%分位數(shù)為72.5C.估計(jì)這100名男生體重的平均數(shù)為66D.該校男生中體重低于60kg的學(xué)生大約有300人【解析】選ABD.由頻率分布直方圖可得,估計(jì)這100名男生體重的眾數(shù)為65+702=67.5,A正確由于(0.03+0.05+0.06)×5=0.7<0.8,0.7+0.04×5=0.9>0.8,故80%分位數(shù)在[70,75)內(nèi),設(shè)為x,則0.7+(x-70)×0.04=0.8,解得x=72.5,B正確.估計(jì)這100名男生體重的平均數(shù)為(57.5×0.03+62.5×0.05+67.5×0.06+72.5×0.04+77.5×0.02)×5=66.75,C錯(cuò)誤.該校男生中體重低于60kg的學(xué)生大約有2000×0.03×5=300人,D正確.【總結(jié)升華】利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征的方法(1)眾數(shù)即為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),所以它的頻率最大,在最高的小矩形中.中位數(shù)即為從小到大中間的數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù)).平均數(shù)約為每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形面積的乘積之和.(2)用頻率分布直方圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)不一定是樣本中的具體數(shù).類(lèi)型三總體集中趨勢(shì)的估計(jì)(數(shù)據(jù)分析)【典例3】(教材P206例5改編)據(jù)了解,某公司的33名職工月工資(單位:元)如下:職務(wù)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資110001000090008000650055004000(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);(2)假設(shè)副董事長(zhǎng)的工資從10000元提升到20000元,董事長(zhǎng)的工資從11000元提升到30000元,那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少?(精確到1元)(3)你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司員工的工資水平?結(jié)合此問(wèn)題談一談你的看法.【解析】(1)平均數(shù)是x=4000+133×(7000+6000+5000×2+4000+2500×5+1500×3+0×20)≈4000+1333=5333(元)中位數(shù)是4000元,眾數(shù)是4000元.(2)新的平均數(shù)是x'=4000+133×(26000+16000+5000×2+4000+2500×5+1500×3+0×20)≈4000+2212=6212(元),中位數(shù)是4000元,眾數(shù)是4000元(3)在這個(gè)問(wèn)題中,中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平,因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大,這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大,所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司員工的工資水平.【總結(jié)升華】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來(lái)表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”,其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算、不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息,平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息,但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響,越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大.(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí),其眾數(shù)往往更能反映問(wèn)題,當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)較大時(shí),可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì).【即學(xué)即練】某小區(qū)廣場(chǎng)上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練,兩群市民的年齡(單位:歲)如下:甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征?(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征?【解析】(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為13+13+14+15+15+15+15+16+17+1710中位數(shù)為15歲,眾數(shù)為15歲,平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等,因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為54+3+4+4+5+5+6+6+6+5710中位數(shù)為5.5歲,眾數(shù)為6歲.由于乙群市民大多數(shù)是兒童,所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征,而平均數(shù)的可靠性較差.【補(bǔ)償訓(xùn)練】學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生一周平均每天的睡眠時(shí)間,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖,則在這組數(shù)據(jù)中,這些被調(diào)查學(xué)生睡眠時(shí)間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A.8,9 B.8,8.5C.16,8.5 D.16,14【解析】選A.眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),在這一組數(shù)據(jù)中8出現(xiàn)的次數(shù)最多,故眾數(shù)是8;而將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后,處于中間位置的數(shù)是第20,21個(gè)數(shù),故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是9+92=99.2.4總體離散程度的估計(jì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差).2.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析一、總體離散程度的估計(jì)1.方差:給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),則s2=1n∑i=1n(xi-x)2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)22.標(biāo)準(zhǔn)差:方差的算術(shù)平方根,即1n∑3.總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為Y,則總體方差為S2=1N∑i=1N(Yi-Y)2如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻率為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=1N∑i=1【版本交融】(湘教P243)方差越大表示什么含義?提示:方差刻畫(huà)的是總體中個(gè)體的穩(wěn)定或波動(dòng)的程度,方差越大,說(shuō)明波動(dòng)越大.【教材挖掘】(P212)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)是x,方差為s2,數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,x的方差為s12,那么s2與提示:因?yàn)閿?shù)據(jù)x1,x2,…,xn,x比數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn更加相對(duì)集中,所以方差變小了,即s12<s二、分層隨機(jī)抽樣的方差假設(shè)第一層有m個(gè)數(shù),分別為x1,x2,…,xm,平均數(shù)為x,方差為s2;第二層有n個(gè)數(shù),分別為y1,y2,…,yn,平均數(shù)為y,方差為t2,則x=1m∑i=1mxi,s2=1m∑i=1m(xi-x)2,y=1n∑i=1n若記樣本平均數(shù)值為a,樣本方差為b2,則可以算出a=1m+n(∑i=1mxi+∑i=1nyi)=mx+nym+n,b2=m[s2【教材深化】1.方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式:s2=1n[(x12+x22+…+xn2)-nx2]或?qū)懗蓅2=1n(x2.平均數(shù)、方差公式的推廣(1)若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)是mx+a.(2)若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為s2,那么①數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也是s2;②數(shù)據(jù)ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)郊?標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)椒稚?(×)提示:標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)椒稚?標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)郊?(2)在兩組數(shù)據(jù)中,平均值較大的一組方差較大.(×)提示:方差是描述數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小的量,與兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)的大小無(wú)關(guān).(3)若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0,則數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性.(√)提示:若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0,則樣本各數(shù)據(jù)相等,說(shuō)明沒(méi)有離散性.類(lèi)型一方差、標(biāo)準(zhǔn)差(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)(2024·榆林高一檢測(cè))已知一組數(shù)據(jù)6,6,8,8,10,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是()A.43 B.2 C.83 D【解析】選C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16所以該組數(shù)據(jù)的方差是16[2×(6-8)2+2×(8-8)2+2×(10-8)2]=8(2)甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100mm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量,從中各抽取6件測(cè)量,數(shù)據(jù)為甲:9910098100100103乙:9910010299100100①分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;②根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.【解析】①x甲=16×(99+100+98+100+100+103)=100,x乙=s甲2=16×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2s乙2=16×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)②兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均數(shù)相同,又因?yàn)閟甲2>s【總結(jié)升華】1.計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟(1)計(jì)算樣本的平均數(shù)x;(2)計(jì)算每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi-x(i=1,2,…,n);(3)計(jì)算(xi-x)2(i=1,2,…,n);(4)計(jì)算(xi-x)2(i=1,2,…,n)這n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),即為樣本方差s2;(5)計(jì)算方差的算術(shù)平方根,即為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s.2.在實(shí)際問(wèn)題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問(wèn)題,還要研究方差,方差描述了數(shù)據(jù)相對(duì)平均數(shù)的離散程度.在平均數(shù)相同的情況下,方差越大,離散程度越大,數(shù)據(jù)波動(dòng)性越大,穩(wěn)定性越差;方差越小,離散程度越小,數(shù)據(jù)越集中,越穩(wěn)定.【即學(xué)即練】1.(2024·寧波高一期中)甲乙丙丁四位同學(xué)各擲5次骰子并記錄點(diǎn)數(shù),方差最大的是()甲:45455乙:42343丙:23234丁:61261A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】選D.由題知x甲=235,所以s甲2=154-2352+5-2352+4-2352+5-2352+5-2352=625,x乙=165,所以s乙2=154-1652+2-1652+(3-165)2+4-1652+3-165x丙=145,所以s丙2=152-1452+3-1452+(2-145)2+3-1452+4-145x丁=165,所以s丁2=156-1652+1-1652+(2-165)2+6-1652+1-165所以方差最大的是丁.2.對(duì)甲、乙兩名自行車(chē)賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們的最大速度(單位:m/s)的數(shù)據(jù)如下:甲273830373531乙332938342836(1)分別求出甲、乙兩名自行車(chē)賽手最大速度的平均數(shù)和方差;(2)比較兩個(gè)人的成績(jī),你認(rèn)為選誰(shuí)參加比賽比較合適.【解析】(1)x甲=16x乙=16s甲2=16×[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2s乙2=16×[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2(2)由(1)知甲和乙的平均數(shù)相等,因?yàn)閟甲2>所以乙更穩(wěn)定,選乙參加比賽比較合適.類(lèi)型二方差、標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計(jì)圖的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】對(duì)甲廠(chǎng)、乙廠(chǎng)、丙廠(chǎng)所生產(chǎn)的袋裝食品各抽檢了20袋,稱(chēng)得質(zhì)量如條形圖所示.s1,s2,s3分別表示甲廠(chǎng)、乙廠(chǎng)、丙廠(chǎng)這次抽檢質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差,則有()A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1【解析】選C.根據(jù)題意,甲廠(chǎng)的平均數(shù)x1=120×(5×7+5×8+5×9+5×10)=8.5,方差s12=120×[5×(7-8.5)2+5×(8-8.5)2+5×(9-8.5)2+5×(10-8.5)2]=1.25,標(biāo)準(zhǔn)差乙廠(chǎng)的平均數(shù)x2=120×(4×7+6×8+6×9+4×10)=8.5,方差s22=120×[4×(7-8.5)2+6×(8-8.5)2+6×(9-8.5)2+4×(10-8.5)2]=1.05,標(biāo)準(zhǔn)差丙廠(chǎng)的平均數(shù)x3=120×(6×7+4×8+4×9+6×10)=8方差s32=120×[6×(7-8.5)2+4×(8-8.5)2+4×(9-8.5)2+6×(10-8.5)2]=1.45,標(biāo)準(zhǔn)差s3=1.45.所以s3>s【總結(jié)升華】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表確定方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的大小關(guān)系有兩種方法:(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中所提供的數(shù)據(jù)與方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的計(jì)算公式求出其數(shù)值,然后比較大小;(2)若統(tǒng)計(jì)圖表中沒(méi)有反映出具體的數(shù)據(jù)或計(jì)算較為煩瑣,可根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表所反映的數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大小來(lái)比較大小.【即學(xué)即練】如圖所示是小王與小張二人參加某射擊比賽的預(yù)賽的五次測(cè)試成績(jī)的折線(xiàn)圖,設(shè)小王與小張成績(jī)的樣本平均數(shù)分別為xA和xB,方差分別為sA2和A.xA<xB,sA2>sB2 B.xC.xA>xB,sA2>sB2 D.x【解析】選C.由題圖可知,實(shí)線(xiàn)中的數(shù)據(jù)都大于或等于虛線(xiàn)中的數(shù)據(jù),所以小王成績(jī)的平均數(shù)大于小張成績(jī)的平均數(shù),xA>x顯然實(shí)線(xiàn)中的數(shù)據(jù)波動(dòng)較大