第四章比例知識歸納與題型突破01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、圖形的放大與縮小1.圖形的放大和縮?。喊褕D形按n∶1放大，就是把圖形的每條邊都放大n倍；把圖形按1∶n(n＞1)縮小，就是把圖形的每條邊都縮小到原來的。2.在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小分為三步：一看，看原圖形每邊占幾格；二算，按指定的比計(jì)算出將圖形放大或縮小后得到的新圖形每條邊各占幾格；三畫，按計(jì)算出的邊長畫出原圖的放大圖或縮小圖。二、比例的意義和組比例1.比例的意義：表示兩個(gè)比相等的式子叫作比例。2.判斷兩個(gè)比能否組成比例：要看它們的比值是否相等。若比值相等，則能組成比例；若比值不相等，則不能組成比例。三、比例的各部分名稱及比例的基本性質(zhì)1.比例的項(xiàng)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫作比例的項(xiàng)。2.比例的內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)：兩端的兩項(xiàng)叫作比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫作比例的內(nèi)項(xiàng)。3.比例的基本性質(zhì)：(1)在一個(gè)比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，這叫作比例的基本性質(zhì)。(2)如果用字母表示比例的四個(gè)項(xiàng)，即a∶b＝c∶d，那么比例的基本性質(zhì)可以表示成：ad＝bc。四、解比例1.解比例的依據(jù)是比例的基本性質(zhì)，已知比例中的任意三項(xiàng)，就可以求出未知的一項(xiàng)。2.求比例中的未知項(xiàng)的過程是解比例，解比例的步驟如下：第一步，根據(jù)比例的基本性質(zhì)把比例轉(zhuǎn)化成外項(xiàng)的積與內(nèi)項(xiàng)的積相等的形式；第二步，利用等式的性質(zhì)解方程求出比例中的未知項(xiàng)。五、比例尺的意義1.一幅圖的圖上距離和實(shí)際距離的比，叫作這幅圖的比例尺。2.圖上距離∶實(shí)際距離＝比例尺或＝比例尺六、比例尺的應(yīng)用1.求實(shí)際距離：根據(jù)比例尺和圖上距離求實(shí)際距離，可以根據(jù)“實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺”求，也可以根據(jù)“＝比例尺”列比例式來求。2.求圖上距離：圖上距離＝實(shí)際距離×比例尺。七、平面圖形按比例放大后面積的變化規(guī)律如果把一個(gè)圖形按n∶1的比放大，放大后與放大前圖形的面積比是n2∶1。0303題型歸納題型一比例的意義、基本性質(zhì)和解比例例1．（2024春?商水縣期中）下面哪幾組中的兩個(gè)比可以組成比例？把組成的比例寫出來。2：9和5：22.50.8：0.2和10：512：9和27：20和0.2：0.05【分析】根據(jù)比例的意義，表示兩個(gè)比相等的式子叫比例，求出各組比的比值，比值相等的可以組成比例?！窘獯稹拷猓?：9＝2÷9＝5：22.5＝5÷22.5＝＝，所以2：9和5：22.5可以組成比例；0.8：0.2＝0.8÷0.2＝410：5＝10÷5＝24≠2，所以0.8：0.2和10：5不能組成比例；12：9＝12÷9＝27：20＝27÷20＝≠，所以12：9和27：20不能組成比例；：＝÷＝×14＝40.2：0.05＝0.2÷0.05＝44＝4，所以和0.2：0.05能組成比例?！军c(diǎn)評】此題考查比例的意義。鞏固訓(xùn)練1．（2024?南昌）可以用圖與圖的數(shù)據(jù)組成比例，寫成比例是：?！痉治觥扛鶕?jù)題意，把圖A按比例放大得到圖C，所以圖形對應(yīng)邊數(shù)值成正比例，再運(yùn)用比例的基本性質(zhì)作答，即兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積等于兩個(gè)外項(xiàng)的積寫出比例即可，注意寫出的比例答案不唯一。【解答】解：可以用圖A與圖C的數(shù)據(jù)組成比例，寫成比例是：2：1＝4：2。故答案為：A，C；2：1＝4：2。（答案不唯一）【點(diǎn)評】本題考查的是比例的意義和比例基本性質(zhì)的運(yùn)用，靈活地運(yùn)用比例的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵。2．（2024?高密市）求未知數(shù)的值＝：x＝：4x：0.5＝．【分析】（1）先根據(jù)比例基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，化簡方程，再依據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)除以8求解；（2）先根據(jù)比例基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，化簡方程，再依據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)除以解；（3）先根據(jù)比例基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，化簡方程，再依據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)除以4求解．【解答】解：（1）＝8x＝2.4×58x＝128x÷8＝12÷8x＝1.5（2）：x＝：4x＝×4x＝3x＝3x＝24（3）x：0.5＝x：0.5＝3：44x＝0.5×34x＝1.54x＝4x÷4＝÷4x＝【點(diǎn)評】本題考查知識點(diǎn)：依據(jù)等式的性質(zhì)，以及比例基本性質(zhì)解方程，解方程時(shí)注意對齊等號．3．（2024?大冶市）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果3x＝4y（x，y均不為0），那么＝，＝：?！痉治觥勘壤幕拘再|(zhì)：在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。如果3x＝4y，則3和x要么都是外項(xiàng)，要么都是內(nèi)項(xiàng)；同理，4和y要么都是外項(xiàng)，要么都是內(nèi)項(xiàng)。據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓和ㄟ^分析可得：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果3x＝4y（x，y均不為0），那么＝，＝3：4。故答案為：；3；4。【點(diǎn)評】此題主要考查了學(xué)生根據(jù)比例的基本性質(zhì)構(gòu)成比例的能力。題型二比例尺及應(yīng)用例2．（2024?清徐縣）張老師買了一套新房，客廳是長6m，寬4.8m的長方形，請用1：200的比例尺畫出張老師家客廳的平面圖，并寫出求圖上距離的過程?！痉治觥扛鶕?jù)比例尺的意義：比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，分別計(jì)算平面圖上客廳的長和寬，完成作圖即可?！窘獯稹拷猓?米＝600厘米4.8米＝480厘米600×＝3（厘米）480×＝2.4（厘米）張老師家的客廳如圖：【點(diǎn)評】本題主要考查應(yīng)用比例尺作圖，關(guān)鍵是根據(jù)比例尺計(jì)算客廳圖上的長和寬。鞏固訓(xùn)練1．（2024?東莞市）如圖是小明坐出租車從家出發(fā)經(jīng)文化館去展覽館的路線圖。已知出租車在3千米以內(nèi)（含3千米）按起步價(jià)8元計(jì)算，超出后每增加1千米車費(fèi)就增加2元。請你按圖中提供的信息算一算，小明從家出發(fā)經(jīng)文化館去展覽館需要付多少元車費(fèi)？【分析】根據(jù)實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺得出展覽館到少年宮和少年宮到小明家的實(shí)際距離，然后計(jì)算需要付多少車費(fèi)?！窘獯稹拷猓赫褂[館到文化館的距離：8÷＝1600000（厘米）1600000厘米＝16千米文化館到小明家的距離：4÷＝800000（厘米）800000＝8千米8+（16+8﹣3）×2＝8+21×2＝8+42＝50（元）答：小明從家出發(fā)經(jīng)文化館去展覽館需要付50元車費(fèi)?！军c(diǎn)評】本題考查的是比例尺的實(shí)際應(yīng)用。2．（2024?永城市）在比例尺是1：4000000的地圖上，量得兩地間的距離是5厘米。甲、乙兩輛汽車同時(shí)從兩地相向開出，小時(shí)后相遇，甲汽車與乙汽車速度比是2：3，甲、乙兩輛汽車每小時(shí)各行多少千米？【分析】先依據(jù)“實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺”求出兩地的實(shí)際距離，進(jìn)而依據(jù)“路程÷相遇時(shí)間＝速度和”求出二者的速度和，又因甲車的速度與乙車速度的比是2：3，分別求出兩車的速度分別占速度和的幾分之幾，再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，即可得解。【解答】解：5÷＝5×4000000＝20000000（厘米）＝200（千米）200÷＝200×＝150（千米/時(shí)）150×＝150×＝60（千米/時(shí)）150×＝150×＝90（千米/時(shí)）答：甲汽車每小時(shí)行60千米，乙汽車每小時(shí)行90千米?！军c(diǎn)評】此題考查了圖上距離、實(shí)際距離和比例尺的關(guān)系，以及行程問題、按比例分配的方法。3．（2024?博白縣）在一幅比例尺是1：5000000的地圖上量得甲、乙兩地之間的公路長4厘米。一輛汽車以平均每小時(shí)80千米的速度從甲地開往乙地，需要多少小時(shí)才能到達(dá)？【分析】已知比例尺和圖上距離求實(shí)際距離，求出實(shí)際距離，再根據(jù)路程÷速度＝時(shí)間，列式解答?！窘獯稹拷猓?÷＝20000000（厘米）20000000厘米＝200千米200÷80＝2.5（小時(shí)）答：需要2.5小時(shí)才能到達(dá)?！军c(diǎn)評】此題主要考查比例尺的意義及已知比例尺和圖上距離求實(shí)際距離，注意單位的換算。題型三圖形的放大與縮小例3．（2024?汶上縣）根據(jù)要求填一填、畫一畫。（1）以圖中的虛線為對稱軸作△ABC的軸對稱圖形，與點(diǎn)B對應(yīng)的點(diǎn)稱為B'，B'所在的位置是。（2）將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。（3）若將△ABC按3：1放大，則放大后的三角形面積是平方厘米?！痉治觥浚?）根據(jù)軸對稱圖形的意義：對稱點(diǎn)到對稱軸的距離相等，對稱點(diǎn)的連線垂直于對稱軸，在對稱軸另一邊畫出圖形的關(guān)鍵對稱點(diǎn)，依次連接即可圖形；再根據(jù)數(shù)對中第1個(gè)數(shù)表示列，第2個(gè)數(shù)表示行解答；（2）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的特征，點(diǎn)A的位置不動，其余各部分均繞此點(diǎn)按相同方向旋轉(zhuǎn)相同的度數(shù)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形；（3）若將△ABC按3：1放大，則放大后的三角形的底和高分別是原來三角形底和高的3倍，即底是4×3＝12（厘米），高是2×3＝6（厘米），據(jù)此求出面積?！窘獯稹拷猓海?）（2）如圖所示：；（1）與點(diǎn)B對應(yīng)的點(diǎn)稱為B'，B'所在的位置是（3，6）（3）4×3＝12（厘米）2×3＝6（厘米）12×6×＝36（平方厘米）答：則放大后的三角形面積是36平方厘米。故答案為：（3，6）；36。【點(diǎn)評】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、放大圖形的畫法，軸對稱圖形的畫法，準(zhǔn)確畫圖是關(guān)鍵。鞏固訓(xùn)練1．（2024?播州區(qū)模擬）畫一畫．（1）將三角形A的各條邊按4：1放大，得到三角形B．（2）將三角形B的各條邊按1：2縮小，得到三角形C．【分析】三角形A的兩條直角邊是2格，放大后兩條直角邊8格．據(jù)此畫出圖形B．將B按1：2縮小后直角邊變?yōu)?格，據(jù)此畫出圖形C．【解答】解：所畫圖形如下：【點(diǎn)評】本題考查圖形的放大與縮?。?．（2024?高新區(qū)）如圖每個(gè)小正方形的邊長是1cm，按要求畫圖并填空。（1）在方格紙上畫一個(gè)三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)的位置分別是A（3，7）、B（1，4）、C（3，4），它是一個(gè)三角形。（2）畫出這個(gè)三角形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形。（3）按2：1畫出原三角形擴(kuò)大后的圖形?！痉治觥浚?）用數(shù)對表示位置時(shí)，先表示第幾列，再表示第幾行，據(jù)此在方格紙上畫一個(gè)三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)的位置分別是A（3，7）、B（1，4）、C（3，4），它是一個(gè)直角三角形。（2）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的方法，點(diǎn)C不動，畫出這個(gè)三角形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形即可。（3）根據(jù)圖形放大的方法，把原三角形的各條邊的長度擴(kuò)大到原來2倍，形狀不變，據(jù)此畫出按2：1放大后的圖形即可?！窘獯稹拷猓海?）在方格紙上畫一個(gè)三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)的位置分別是A（3，7）、B（1，4）、C（3，4），如圖：根據(jù)圖示可知，它是一個(gè)直角三角形。（2）畫出這個(gè)三角形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形。如圖：（3）按2：1畫出原三角形擴(kuò)大后的圖形。如圖：故答案為：直角。【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)對表示位置、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的放大知識，結(jié)合題意分析解答即可。3．（2024?鳳凰縣）按要求畫圖并回答問題。（1）畫出三角形ABC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形。（2）畫出三角形ABC按2：1放大后得到的圖形，放大后的圖形與原圖的面積之比是。（3）如果以AB邊所在直線為軸快速旋轉(zhuǎn)一周，三角形ABC轉(zhuǎn)出來的立體圖形是，它的體積是?！痉治觥浚?）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方法，點(diǎn)B不動，畫出三角形ABC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形即可。（2）根據(jù)圖形放大的方法，畫出三角形ABC按2：1放大到原來2倍后得到的圖形即可，然后根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，分別求出放大后的圖形與原圖的面積，結(jié)合比的意義解答即可。（3）如果以AB邊所在直線為軸快速旋轉(zhuǎn)一周，三角形ABC轉(zhuǎn)出來的立體圖形是一個(gè)底面半徑是5厘米，高是3厘米的圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式V＝πr2h，解答即可?！窘獯稹拷猓海?）畫出三角形ABC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°