專題4.3.1等差數(shù)列的概念【題型一：根據(jù)“定義”求等比數(shù)列的通項公式..................................................】【題型二：等比數(shù)列通項公式的基本量計算..........................................................】【題型三：由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等比數(shù)列..........................................................】【題型四：等比中項及其應(yīng)用..................................................................................】【題型五：等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)..............................................................................】【題型六：等比數(shù)列的單調(diào)性與最值......................................................................】1．等比數(shù)列的概念文字語言一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符號語言在數(shù)列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，則稱數(shù)列{an}為等比數(shù)列，常數(shù)q稱為等比數(shù)列的公比遞推關(guān)系或2．等比中項如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.3．等比數(shù)列的通項公式若等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則這個等比數(shù)列的通項公式是.4．證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：(1)定義法：eq\f(an＋1,an)＝q（常數(shù)）{an}為等比數(shù)列；(2)中項法：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2{an}為等比數(shù)列；(3)通項公式法：an＝k·qn（k，q為常數(shù)）{an}為等比數(shù)列；5.等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)：若m,n,p,q∈6．等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列{an}的首項為，公比為q，則(1)當(dāng)或時，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；(2)當(dāng)或時，等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；(3)當(dāng)q=1時，等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項均不等于0)；(4)當(dāng)q<0時，等比數(shù)列{}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項同號，所有的偶數(shù)項也同號，但是奇數(shù)項與偶數(shù)項異號).【題型一：根據(jù)“定義”求等比數(shù)列的通項公式（這里只體現(xiàn)構(gòu)造法中常考的兩個）】【思路總結(jié)】類型一：a方法過程：設(shè)an+1+x=p(對比an+1=pan+q與所以數(shù)列an+所以an+qp?1類型二：an+1=p方法過程：等式兩邊同時除以q設(shè)bn=a類型三：S【例題】1.（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，若，則．【詳解】令，得，所以；令，則，兩式相減得，，即，所以，因為，所以，所以為常數(shù)，故數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以.故答案為：.2.（2025高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且，則通項公式．【詳解】遞推式的兩邊同時除以，得到．令，則．顯然有，，故是以為首項，為公比的等比數(shù)列．因此，可得．故答案為：.3.（2025高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，，則通項公式．【詳解】對遞推式的兩邊同時取倒數(shù)，得，即，因此，，故是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，于是，可得．故答案為：.【相似練習(xí)】1.（2425高三上·廣東廣州·期末）已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項公式為．【詳解】由，，，可得，所以是以3為首項、3為公比的等比數(shù)列，所以，則，；故答案為：.2.（2425高三上·重慶長壽·期末）已知數(shù)列滿足，則．【詳解】因為數(shù)列滿足，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：3.（2425高二·江蘇·假期作業(yè)）已知等比數(shù)列的前項和為，且.求的通項公式；【詳解】在等比數(shù)列中，，當(dāng)時，，則，即，因此等比數(shù)列的公比為，而，解得，所以的通項公式是.【題型二：等比數(shù)列通項公式的基本量計算】【例題】1．（浙江省金華十校20242025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在等比數(shù)列中，，則公比（

）A． B． C．3 D．13【詳解】，∴，故選：C.2．（2425高二上·黑龍江綏化·期末）在等比數(shù)列中，，，則等于（

）A．或 B． C． D．或【詳解】由，，得和為方程的兩個根，解得，或，，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，所以或.故選：A3．（2425高二上·福建福州·期末）在等比數(shù)列中，若，，則（

）A．6 B．8 C． D．16【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為因為在等比數(shù)列中，，，所以所以，所以，故選：D【相似練習(xí)】4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，若，，成等差數(shù)列，則．【詳解】因為數(shù)列的公比為，且，所以，因為，，成等差數(shù)列，所以，又，所以，所以（舍去）或，所以.故答案為：.5．（2425高二上·吉林·期末）在等比數(shù)列中，若，，則.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，得，所以.故答案為：26．（2425高二上·福建福州·期末）已知等比數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式．【詳解】由題意得，結(jié)合，解得，則.故答案為：.【名師點睛】：等比數(shù)列的通項公式an=a1?qn?1【題型三：由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等比數(shù)列】【例題】1．（2223高二上·江蘇徐州·期中）數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項公式.【詳解】（1）當(dāng)時，．當(dāng)時，．檢驗，當(dāng)時符合．所以．（2）當(dāng)時，，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為3，公比為3．（3）由（2）得：，所以.2．（2425高二上·山西呂梁·期末）已知數(shù)列中，，且滿足（）．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項公式；【詳解】（1）由題意知，所以，由于，故，故，故數(shù)列是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列；3．（2425高二上·河北保定·期末）已知數(shù)列滿足，且.數(shù)列的前和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；【詳解】（1）由已知得，因此為常數(shù)，可得數(shù)列為等比數(shù)列.即數(shù)列為首項為2，公比為2的等比數(shù)列；可得，即4．（2425高二上·江蘇蘇州·期末）已知數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；【詳解】（1），且，故為等比數(shù)列【相似練習(xí)】5．（2025·寧夏內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項【詳解】（1）由得，則，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.6．（2425高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，設(shè).(1)寫出，，并證明是一個等比數(shù)列：(2)求數(shù)列的通項公式；【詳解】（1）由題.因為，所以，因為，所以，則為以為首項，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，當(dāng)為奇數(shù)時，，故當(dāng)為偶數(shù)時，，綜上，，；【名師點睛】：核心定義的深度理解與應(yīng)用，等比數(shù)列的核心定義是從第二項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)q（q≠0）,即an+1a【題型四：等比中項及其應(yīng)用】【例題】1．（2425高二上·重慶·期末）已知等比數(shù)列中，，，則等于（

）A． B． C．6 D．不確定【詳解】由，可得：，又等比數(shù)列所有奇數(shù)項同號，，所以，故選：B2．（2425高三下·山東·開學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，若，，成等比數(shù)列，則（

）A．3 B．2 C． D．【詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，因為等差數(shù)列的公差為，，而，所以，解得，故D正確.故選：D3．（2425高三上·四川成都·期中）已知等比數(shù)列中，，則的值為（

）A．6 B． C． D．【詳解】由等比數(shù)列中，，所以，則.故選：D【相似練習(xí)】4．（2425高二上·湖北武漢·期末）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則．【詳解】等比數(shù)列中，，由，得，由，得，所以．故答案為：3．5．（2425高三上·山東泰安·期末）已知遞增等差數(shù)列的前項和為是和的等比中項．(1)求數(shù)列的通項公式；【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為則①是和的等比中項②由①②得6．（2425高二下·河北張家口·開學(xué)考試）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，得，而，則，又，解得，所以的通項公式是.【名師點睛】：等比中項的定義為：若三個數(shù)A，B，C滿足B2=A?C,則稱B是A與C的等比中項，等比數(shù)列中任意三項都符合an?1?an+1=【題型五：等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)】【例題】1．（2025屆山東省齊魯名校大聯(lián)考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題）已知正項等比數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【詳解】因為正項等比數(shù)列滿足，所以，解得，又，所以，故選：B2．（2425高二下·河北張家口·開學(xué)考試）在正項等比數(shù)列中，若，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．【詳解】正項等比數(shù)列中，可得，解得（負(fù)值舍去）.故選：C.3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則的值為（

）A． B． C． D．或【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，是方程的根，所以，，又，同號，所以，，則，所以．故選：B.【相似練習(xí)】4．（2425高二上·湖北咸寧·期末）設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（

）A． B． C．14 D．15【詳解】正項等比數(shù)列中，，解得，因此，所以.故選：D5．（2425高二上·福建漳州·期末）已知數(shù)列滿足且，則的值為（

）A．32 B．16 C． D．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，，則，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，又由，則，則.故選：D.（2425高二上·河南漯河·期末）在正項等比數(shù)列中，若，，則．【詳解】因為數(shù)列為正項等比數(shù)列，，所以，又.故答案為：.【題型六：等比數(shù)列的單調(diào)性與最值】【例題】1．（2425高二上·浙江溫州·期末）若正項數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2425高二上·上?！て谀┰凇驹斀狻恳驗檎棓?shù)列是等比數(shù)列，所以，當(dāng)時，，解得，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，滿足充分性；當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時，，滿足必要性，所以“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充要條件.故選：C等比數(shù)列中，公比為q，其前n項積為，并且滿足，，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然數(shù)n等于4046【詳解】∵，∴，∴．∵，∴，即一個大于1，一個小于1，∵，∴數(shù)列為遞減數(shù)列，故，即，選項A正確.，選項B正確.，選項C錯誤.，，選項D正確.故選：C．3．（2425高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.設(shè)甲：；乙：數(shù)列單調(diào)遞增，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【詳解】當(dāng)首項時，若，此時數(shù)列單調(diào)遞減，如，因此充分性不成立；若數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)首項，時，滿足題意，如，可知必要性不成立；綜上可知，甲是乙的既不充分也不必要條件.故選：D【相似練習(xí)】4．【多選】（2425高二上·浙江杭州·期末）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項積為，若，公比，則下列說法正確的是（

）A．若，則必有B．若，則必有C．若，則必有D．若，則必有【詳解】A選項，若，則，的各項均為正數(shù)，由等比數(shù)列性質(zhì)得，則有，故，A正確；B選項，若，則，而，所以數(shù)列單調(diào)遞減，若，則，所以，若，則，所以，B錯誤；C選項，若，由A知，，若，則，又，顯然矛盾，不合題意，若，則，滿足要求，則為中最大項，，C正確；D選項，若，則，而，所以數(shù)列單調(diào)遞減，則必有，所以，D正確.故選：ACD5．【多選】（2425高二上·浙江嘉興·期末）等比數(shù)列的公比為，且滿足，，，記，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．使成立的最小自然數(shù)等于【詳解】對于A選項，因為為等比數(shù)列，且，，若，則，不合乎題意，若，則，這與矛盾，若，則，這與矛盾，若，由，所以，，故A正確；對于B選項，由等比中項知，所以，故B錯誤；對于C選項，因為，故C錯誤；對于D選項，由等比中項知：，，故D正確；故選：AD.6．【多選】（2425高二上·湖南·期末）記等比數(shù)列的公比為q，前n項積為，已知，，，則（

）A． B．C．的最大值為 D．【詳解】因為，所以一個大于1，一個小于1，因為，若公比，則都大于等于1，矛盾，所以，A不正確；因為，所以，即，所以數(shù)列是正項遞減數(shù)列，可得，所以的最大值為，C不正確；，B正確；因為，所以，D正確.故選：BD.【名師點睛】等比數(shù)列單調(diào)性的判斷方法比值判斷法：對于等比數(shù)列，eq\f(an＋1,an)＝q，當(dāng)q>1且a1>0,或者0<q<1且a1<0時，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)q<1且a1>0，或者q>【課后作業(yè)】一、單選題1．（2425高二上·云南·期末）設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（

）A．211 B．210 C．11 D．92．（2425高二上·重慶北碚·期末）已知等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．3．（2425高二上·云南麗江·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，對任意，都有，則（

）A． B． C． D．4．（江蘇省南通市20242025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題）在等比數(shù)列中，“”是“是遞增數(shù)列”的（

）條件A．充分必要 B．充分不必要C．必要不充分 D．不充分不必要5．（2425高三上·云南昆明·期中）設(shè)等比數(shù)列公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件二、多選題6．（2425高二上·江蘇·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，，，記的前項積為，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．7．（安徽省鼎尖名校20242025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，前項和為．若，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列三、解答題8．（2425高二上·陜西西安·期末）設(shè)數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.9．（2425高三下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項公式；(3)證明：．10．（2425高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）若數(shù)列的首項，且滿足，(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.11．（2425高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知數(shù)列滿足，且．(1)設(shè)，證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．12．（安徽省鼎尖名校20242025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的首項為，公差，等比數(shù)列的首項為，公比為，且滿足，，．(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．參考答案題號1234567答案CBBADABCACD1．C【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用等式求得，根據(jù)等比中項，可得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，即，故.故選：C.2．B【分析】推導(dǎo)出，再利用等比中項的性質(zhì)可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由等比中項的性質(zhì)可得，故.故選：B.3．B【分析】令，得到，從而判斷出是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可求出．【詳解】由題：，又，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，故選：B．4．A【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知可得，分類討論可得數(shù)列也是遞增數(shù)列，反之顯然成立.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，若，則，即，此時數(shù)列是遞增數(shù)列，若，則，即，此時數(shù)列也是遞增數(shù)列，反之，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則有，所以“”是“是遞增數(shù)列”的充要條件.故選：A.5．D【分析】要判斷“”與“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”之間的條件關(guān)系.需要分別從充分性和必要性兩方面進(jìn)行分析，即看“”能否推出“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”，以及“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”能否推出“”.【詳解】假設(shè).對于等比數(shù)列，其通項公式為.當(dāng)，時，根據(jù)通項公式可得.此時，等比數(shù)列不是遞增數(shù)列.這說明僅僅不能保證等比數(shù)列一定是遞增數(shù)列，所以“”不是“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分條件.假設(shè)等比數(shù)列為遞增數(shù)列，那么.由通項公式可得，，所以.當(dāng)時，不等式兩邊同時除以（因為，，不等號方向改變），得到.例如當(dāng)時，，解得.這說明等比數(shù)列為遞增數(shù)列時，不一定有，所以“”不是“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要條件.則“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件.故選：D.6．ABC【分析】等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，可得，因此，，．進(jìn)而判斷出結(jié)論．【詳解】等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，，，若，則一定有，不符合，由題意得，，，故AB正確，，，，，故C正確，D錯誤，故選：ABC．7．ACD【分析】由等比數(shù)列的通項公式求得首項和公比，