培優(yōu)點(diǎn)08圓錐曲線(xiàn)中非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理的應(yīng)用（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）在圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中，我們聯(lián)立直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)方程，消去x或y，得到一個(gè)一元二次方程，往往能夠利用韋達(dá)定理來(lái)快速處理|x1－x2|，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)之類(lèi)的結(jié)構(gòu)，但在有些問(wèn)題中，我們會(huì)遇到涉及x1，x2的不同系數(shù)的代數(shù)式的運(yùn)算，比如求eq\f(x1,x2)，eq\f(3x1x2＋2x1－x2,2x1x2－x1＋x2)或λx1＋μx2之類(lèi)的結(jié)構(gòu)，我們把這種系數(shù)不對(duì)等的結(jié)構(gòu)，稱(chēng)為“非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)結(jié)構(gòu)”．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類(lèi)講解考點(diǎn)一分式型規(guī)律方法非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的常規(guī)處理方法有和積轉(zhuǎn)換、配湊、求根公式(暴力法)、曲線(xiàn)方程代換、第三定義等方法，將其轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)計(jì)算．【例1】(2023·新高考全國(guó)Ⅱ)已知雙曲線(xiàn)C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(－2eq\r(5)，0)，離心率為eq\r(5).(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)(－4,0)的直線(xiàn)與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線(xiàn)MA1與NA2交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在定直線(xiàn)上．【變式1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的漸近線(xiàn)上，且滿(mǎn)足.(1)求的方程；(2)點(diǎn)為的左頂點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，證明：線(xiàn)段的中點(diǎn)為定點(diǎn).【變式2】（23-24高三上·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)．(1)求C的右支與直線(xiàn)圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)．(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線(xiàn)與交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線(xiàn)上．【變式3】（23-24高三上·河北唐山·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求的方程；(2)記C的右頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)與C的左支交于兩點(diǎn)，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．考點(diǎn)二比值型規(guī)律方法比值型問(wèn)題適用于x1＝λx2型，可以采用倒數(shù)相加，但有時(shí)得到的可能不是這種形式，而是x1＝λx2＋k的形式，此時(shí)采用待定系數(shù)法，例如x1＝－3x2＋4，可以轉(zhuǎn)化x1－1＝－3(x2－1)，得到eq\f(x1－1,x2－1)＝－3，繼續(xù)采用倒數(shù)相加解決．【例2】(2023·深圳模擬)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線(xiàn)為y＝eq\f(\r(3),3)x，且點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\r(2)))在C上．(1)求C的方程；(2)設(shè)C的上焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝7eq\o(BF,\s\up6(→))，求l的斜率．【變式1】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為雙曲線(xiàn)的左?右頂點(diǎn)，，動(dòng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)．當(dāng)軸，且時(shí)，四邊形的面積為．(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)均在雙曲線(xiàn)的右支上，直線(xiàn)與分別交軸于兩點(diǎn)，若，判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)．若過(guò)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式2】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：的左右頂點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P為橢圓C上不同于A，B的一點(diǎn)，且直線(xiàn)PA，PB的斜率之積為．(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M，N，且，求直線(xiàn)l的斜率．【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)在C上，點(diǎn)P與C的上、下焦點(diǎn)連線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率之積為．(1)求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，過(guò)點(diǎn)F作平行于x軸的直線(xiàn)，直線(xiàn)PE與交于點(diǎn)D，且求直線(xiàn)AB的斜率．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·江西·一模）已知橢圓：的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，且焦距等于4，的延長(zhǎng)線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，斜率為k的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)P．若直線(xiàn)l交C于M，N兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．3．（2023·河南·三模）過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F作斜率為k的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（23-24高二下·吉林·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知拋物線(xiàn)，圓，過(guò)圓心的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)和圓依次交于，則的最小值為（

）A．14 B．23 C．18 D．155．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，C的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)A的直線(xiàn)與C在第一象限的交點(diǎn)為M，N，且，則直線(xiàn)MN的斜率為（）A． B． C． D．6．（23-24高二上·北京·期中）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（在線(xiàn)段之間），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)，直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．8．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)：（）上，斜率為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)．若直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、多選題1．（23-24高三上·山東青島·期末）已知橢圓，直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，，若橢圓恒過(guò)定點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．|AB|的長(zhǎng)可能為3 D．|AB|的長(zhǎng)可能為42．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）雙曲線(xiàn)：，左、右頂點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，已知?jiǎng)又本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)左、右兩支分別交于，兩點(diǎn),與其兩條漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn),則下列命題正確的是（

）A．存在直線(xiàn)，使得B．在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有C．若直線(xiàn)的方程為，存在，使得取到最大值D．若直線(xiàn)的方程為，，則雙曲線(xiàn)的離心率為3．（23-24高三上·遼寧大連·期末）已知橢圓左焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則的斜率B．的最小值為C．以為直徑的圓與圓相切D．若直線(xiàn)的斜率為，則三、填空題1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率是.2．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與C交于兩點(diǎn)P，Q，若曲線(xiàn)C上存在某定點(diǎn)A使得為定值，則定點(diǎn)A的坐標(biāo)為．3．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)在y軸上，對(duì)稱(chēng)中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦距為，且過(guò)點(diǎn)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若斜率為2的直線(xiàn)l與C交于P，Q兩點(diǎn)．且，則．四、解答題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)：的右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)：與的漸近線(xiàn)相交于點(diǎn)，，且的面積為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)與C的右支相交于M，N兩點(diǎn)，若x軸上的點(diǎn)G使得等式恒成立，求證：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.2．（2024·河北·一模）已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且其離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的斜率不為零的直線(xiàn)與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)AC，BD交于一點(diǎn)P，M為線(xiàn)段PB上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，問(wèn)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)斜率存在且不為0的直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓左右頂點(diǎn)為，設(shè)中點(diǎn)為，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)是否為定值？若是請(qǐng)求出定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（23-24高三上·福建福州·期末）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別是A，B，點(diǎn)E（異于A，B兩點(diǎn)）在橢圓C上，直線(xiàn)EA與EB的斜率之積為，橢圓C的短軸長(zhǎng)為2．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)Q是橢圓C長(zhǎng)軸上的不同于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作斜率不為0的直線(xiàn)l，l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為P，N，若為定值，則稱(chēng)點(diǎn)Q為“穩(wěn)定點(diǎn)”，問(wèn)：是否存在這樣的穩(wěn)定點(diǎn)？若有，求出所有的“穩(wěn)定點(diǎn)”；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）設(shè)橢圓，，分別是C的左、右焦點(diǎn)，C上的點(diǎn)到的最小距離為1，P是C上一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為6．(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)l與C交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與l平行的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，求證：為定值．培優(yōu)點(diǎn)08圓錐曲線(xiàn)中非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理的應(yīng)用（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）在圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中，我們聯(lián)立直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)方程，消去x或y，得到一個(gè)一元二次方程，往往能夠利用韋達(dá)定理來(lái)快速處理|x1－x2|，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)之類(lèi)的結(jié)構(gòu)，但在有些問(wèn)題中，我們會(huì)遇到涉及x1，x2的不同系數(shù)的代數(shù)式的運(yùn)算，比如求eq\f(x1,x2)，eq\f(3x1x2＋2x1－x2,2x1x2－x1＋x2)或λx1＋μx2之類(lèi)的結(jié)構(gòu)，我們把這種系數(shù)不對(duì)等的結(jié)構(gòu)，稱(chēng)為“非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)結(jié)構(gòu)”．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類(lèi)講解考點(diǎn)一分式型規(guī)律方法非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的常規(guī)處理方法有和積轉(zhuǎn)換、配湊、求根公式(暴力法)、曲線(xiàn)方程代換、第三定義等方法，將其轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)計(jì)算．【例1】(2023·新高考全國(guó)Ⅱ)已知雙曲線(xiàn)C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(－2eq\r(5)，0)，離心率為eq\r(5).(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)(－4,0)的直線(xiàn)與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線(xiàn)MA1與NA2交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在定直線(xiàn)上．【解析】(1)解設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c＝2eq\r(5)，則由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，可得a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝4，所以雙曲線(xiàn)C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.(2)證明由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，顯然直線(xiàn)MN的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x＝my－4，且－eq\f(1,2)<m<eq\f(1,2)，與eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1聯(lián)立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)>0，則y1＋y2＝eq\f(32m,4m2－1)，y1y2＝eq\f(48,4m2－1)，直線(xiàn)MA1的方程為y＝eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)，直線(xiàn)NA2的方程為y＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，聯(lián)立直線(xiàn)MA1與直線(xiàn)NA2的方程可得eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(y2x1＋2,y1x2－2)＝eq\f(y2my1－2,y1my2－6)＝eq\f(my1y2－2y2,my1y2－6y1)，方法一(和積轉(zhuǎn)化)因?yàn)閙y1y2＝eq\f(3,2)(y1＋y2)，所以eq\f(my1y2－2y2,my1y2－6y1)＝eq\f(\f(3,2)y1＋y2－2y2,\f(3,2)y1＋y2－6y1)＝eq\f(\f(3,2)y1－\f(1,2)y2,－\f(9,2)y1＋\f(3,2)y2)＝－eq\f(1,3).方法二(配湊)因?yàn)閙y1y2＝eq\f(3,2)(y1＋y2)，所以eq\f(my1y2－2y2,my1y2－6y1)＝eq\f(my1y2－2y1－2y2＋2y1,my1y2－6y1)＝eq\f(my1y2－2y1＋y2＋2y1,my1y2－6y1)＝eq\f(\f(3,2)y1－\f(1,2)y2,－\f(9,2)y1＋\f(3,2)y2)＝－eq\f(1,3).由eq\f(x＋2,x－2)＝－eq\f(1,3)可得x＝－1，即xP＝－1，據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線(xiàn)x＝－1上運(yùn)動(dòng)．【變式1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的漸近線(xiàn)上，且滿(mǎn)足.(1)求的方程；(2)點(diǎn)為的左頂點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，證明：線(xiàn)段的中點(diǎn)為定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助向量垂直的坐標(biāo)表示及雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程求出即可得解.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示求出的中點(diǎn)縱坐標(biāo)即可得解.【詳解】（1）設(shè)，，由，得，解得，即，而曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，由點(diǎn)在的漸近線(xiàn)上，得，即，因此，所以的方程為.（2）由（1）知，設(shè)直線(xiàn)為，由消去y得：，則，，由三點(diǎn)共線(xiàn)，得，同理，因此，所以的中點(diǎn)為定點(diǎn).【變式2】（23-24高三上·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)．(1)求C的右支與直線(xiàn)圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)．(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線(xiàn)與交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線(xiàn)上．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意開(kāi)始求整點(diǎn)通項(xiàng),再應(yīng)用等差數(shù)列求和個(gè)數(shù)計(jì)算即可得；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫(xiě)出直線(xiàn)與的方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線(xiàn)上.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)方程為，令時(shí),整點(diǎn)時(shí)為,整點(diǎn)個(gè)數(shù)為,區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)為個(gè).（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線(xiàn)的斜率不為0，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn)的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線(xiàn)方程的定直線(xiàn)問(wèn)題，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.【變式3】（23-24高三上·河北唐山·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求的方程；(2)記C的右頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)與C的左支交于兩點(diǎn)，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知求出雙曲線(xiàn)參數(shù)，即可得方程；（2）法1：討論直線(xiàn)MN的斜率存在性，設(shè)直線(xiàn)方程聯(lián)立雙曲線(xiàn)，應(yīng)用韋達(dá)定理及垂直關(guān)系列方程求所設(shè)直線(xiàn)中的參數(shù)關(guān)系，代入直線(xiàn)方程確定定點(diǎn)即可；法2：設(shè)直線(xiàn)MN方程為，聯(lián)立雙曲線(xiàn)得到，結(jié)合直線(xiàn)垂直關(guān)系、韋達(dá)定理求參數(shù)m，進(jìn)而確定定點(diǎn).【詳解】（1）由題意，所以雙曲線(xiàn)方程；（2）法1：由（1）知，當(dāng)直線(xiàn)MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN方程為，聯(lián)立方程組，，即，設(shè)，由韋達(dá)定理可得因?yàn)?，所以，，，，或，將代入直線(xiàn)，此時(shí)直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)，不合題意；將代入直線(xiàn)，此時(shí)直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線(xiàn)方程為，因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為，所以（舍）或，此時(shí)MN過(guò)定點(diǎn)，綜上可知，直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn).因?yàn)椋藭r(shí)存在以AP為斜邊的直角三角形，所以存在定點(diǎn)Q為AP中點(diǎn)滿(mǎn)足，此時(shí)．法2：由（1）知，設(shè)直線(xiàn)MN方程為，聯(lián)立方程組，，，兩邊同時(shí)除以，得，設(shè)，因?yàn)椋?，，，即，由韋達(dá)定理得，代入直線(xiàn)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．因?yàn)?，此時(shí)存在以AP為斜邊的直角三角形，所以存在定點(diǎn)Q為AP中點(diǎn)滿(mǎn)足，此時(shí)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)含參的直線(xiàn)MN方程，聯(lián)立雙曲線(xiàn)，應(yīng)用韋達(dá)定理及已知垂直關(guān)系求得直線(xiàn)方程中參數(shù)關(guān)系或參數(shù)值為關(guān)鍵.考點(diǎn)二比值型規(guī)律方法比值型問(wèn)題適用于x1＝λx2型，可以采用倒數(shù)相加，但有時(shí)得到的可能不是這種形式，而是x1＝λx2＋k的形式，此時(shí)采用待定系數(shù)法，例如x1＝－3x2＋4，可以轉(zhuǎn)化x1－1＝－3(x2－1)，得到eq\f(x1－1,x2－1)＝－3，繼續(xù)采用倒數(shù)相加解決．【例2】(2023·深圳模擬)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線(xiàn)為y＝eq\f(\r(3),3)x，且點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\r(2)))在C上．(1)求C的方程；(2)設(shè)C的上焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝7eq\o(BF,\s\up6(→))，求l的斜率．【解析】解(1)由雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程可知，其漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\f(a,b)x，所以eq\f(\r(3),3)＝eq\f(a,b)，可得b2＝3a2，將點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\r(2)))代入雙曲線(xiàn)C的方程可得eq\f(2,a2)－eq\f(3,b2)＝1，解得a2＝1，b2＝3，所以雙曲線(xiàn)C的方程為y2－eq\f(x2,3)＝1.(2)由(1)可知，上焦點(diǎn)F(0,2)，設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋2，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2－\f(x2,3)＝1，,y＝kx＋2，))整理得(3k2－1)x2＋12kx＋9＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(12k,3k2－1)，x1x2＝eq\f(9,3k2－1)，又eq\o(AF,\s\up6(→))＝7eq\o(BF,\s\up6(→))，即(－x1,2－y1)＝7(－x2,2－y2)，可得x1＝7x2，方法一因?yàn)閑q\f(x1,x2)＝7，所以eq\f(x1,x2)＋eq\f(x2,x1)＝eq\f(x1＋x22,x1x2)－2＝eq\f(50,7)，即eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12k,3k2－1)))2,\f(9,3k2－1))－2＝eq\f(50,7)，解得k＝±eq\f(2\r(5),5)，所以直線(xiàn)l的斜率為±eq\f(2\r(5),5).方法二eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝8x2＝－\f(12k,3k2－1)，,x1x2＝7x\o\al(2,2)＝\f(9,3k2－1)，))即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3k,23k2－1)))2＝eq\f(9,73k2－1)，解得k＝±eq\f(2\r(5),5)，所以直線(xiàn)l的斜率為±eq\f(2\r(5),5).方法三利用焦點(diǎn)弦定理(此方法只能在小題中使用)：|ecosα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,λ＋1))).由題意得eq\o(AF,\s\up6(→))＝－7eq\o(FB,\s\up6(→))，則λ＝－7，e＝2，α為直線(xiàn)l的傾斜角，則有|2cosα|＝eq\f(4,3)，解得|cosα|＝eq\f(2,3)，則k＝tanα＝±eq\f(2\r(5),5).【變式1】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為雙曲線(xiàn)的左?右頂點(diǎn)，，動(dòng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)．當(dāng)軸，且時(shí)，四邊形的面積為．(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)均在雙曲線(xiàn)的右支上，直線(xiàn)與分別交軸于兩點(diǎn)，若，判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)．若過(guò)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)表示梯形的面積，即可求解雙曲線(xiàn)方程；（2）首先根據(jù)條件設(shè)，并利用方程聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線(xiàn)的方程，化簡(jiǎn)后即可求定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由知，．當(dāng)軸時(shí)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則由，可得．代入雙曲線(xiàn)的方程，得．因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，所以．解得．所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)?，所以可設(shè)．直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為．又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，顯然直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩支各交于一點(diǎn)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)，則有解得．由消去，得．設(shè)點(diǎn)，則．解得．所以．由消去，得．設(shè)點(diǎn)，則．解得．所以．當(dāng)直線(xiàn)不垂直于軸時(shí)，．所以直線(xiàn)的方程為．所以，也即．顯然直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，由，得．此時(shí)．直線(xiàn)的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)．綜上可知，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一般求直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，需求出直線(xiàn)方程，轉(zhuǎn)化為含參直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.【變式2】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：的左右頂點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P為橢圓C上不同于A，B的一點(diǎn)，且直線(xiàn)PA，PB的斜率之積為．(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M，N，且，求直線(xiàn)l的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)結(jié)合點(diǎn)在橢圓上求出的關(guān)系，再根據(jù)橢圓的離心率公式即可得解；（2）先求出橢圓方程，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，根據(jù)求出的關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，進(jìn)而可求得，即可得解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，整理得，即，故；?）因?yàn)闉闄E圓的左焦點(diǎn)，則，故橢圓方程為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，消得，設(shè)，則，因?yàn)?，即，所以，所以，則，所以，所以，解得，所以直線(xiàn)l的斜率為．

【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)在C上，點(diǎn)P與C的上、下焦點(diǎn)連線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率之積為．(1)求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，過(guò)點(diǎn)F作平行于x軸的直線(xiàn)，直線(xiàn)PE與交于點(diǎn)D，且求直線(xiàn)AB的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意知雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，將代入雙曲線(xiàn)方程，然后根據(jù)直線(xiàn)斜率公式即可得到關(guān)于的兩個(gè)方程，即可求解.（2）由題意設(shè)直線(xiàn)方程為，，，與雙曲線(xiàn)聯(lián)立后根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以表示出與，分直線(xiàn)的斜率是否存在兩種情況進(jìn)行討論，通過(guò)直線(xiàn)的方程表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知條件可知點(diǎn)為中點(diǎn)，進(jìn)而可將點(diǎn)坐標(biāo)及直線(xiàn)斜率用表示，通過(guò)之前求得的與即可進(jìn)行求解.【詳解】（1）第一步：根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上得a，b的關(guān)系式由題意設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為()，由點(diǎn)在C上，得．①第二步：根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式得a，b的關(guān)系式設(shè)C的上、下焦點(diǎn)分別為，，則，解得，所以．②第三步：聯(lián)立方程解得，的值由①②得，，第四步：得雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程故雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）第一步：設(shè)直線(xiàn)方程，聯(lián)立方程得根與系數(shù)的關(guān)系由題意可知，直線(xiàn)EF的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)EF的方程為，，，聯(lián)立，得方程組整理得所以，，解得，所以，，則．第二步：用，表示點(diǎn)D的坐標(biāo)當(dāng)直線(xiàn)PE的斜率不存在時(shí)，易得，，，，此時(shí)直線(xiàn)AB的斜率為．當(dāng)直線(xiàn)PE的斜率存在時(shí)，直線(xiàn)PE的方程為，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由，可得，第三步：用，表示點(diǎn)B的坐標(biāo)由，得點(diǎn)B為DF的中點(diǎn)，所以，則，第四步：根據(jù)斜率的計(jì)算公式求直線(xiàn)AB的斜率．所以．故直線(xiàn)AB的斜率為．【點(diǎn)睛】解決直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線(xiàn)、雙曲線(xiàn)的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·江西·一模）已知橢圓：的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，且焦距等于4，的延長(zhǎng)線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合即可求出的值，進(jìn)而求出橢圓的離心率.【詳解】由題意可知：，，則直線(xiàn)的方程為：，設(shè)，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，整理化簡(jiǎn)可得：，則，又因?yàn)?，所以，則有，解得：，所以，又，所以橢圓的離心率為，故選：.2．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，斜率為k的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)P．若直線(xiàn)l交C于M，N兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)求出雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)可得，利用韋達(dá)定理代入即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以解得，所以雙曲線(xiàn).設(shè)，，聯(lián)立整理得，所以，所以，，因?yàn)?，所以，即，所以，整理得解得或，?dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意，所以，故選:A.3．（2023·河南·三模）過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F作斜率為k的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程消元后利用韋達(dá)定理得到坐標(biāo)之間的關(guān)系式，結(jié)合條件，解出即可.【詳解】由題知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),則直線(xiàn)方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，則，，則，又因?yàn)?，所以，所以，解得，故選：B.4．（23-24高二下·吉林·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知拋物線(xiàn)，圓，過(guò)圓心的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)和圓依次交于，則的最小值為（

）A．14 B．23 C．18 D．15【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，分析可知，直線(xiàn)不與軸重合，設(shè)直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用拋物線(xiàn)的焦半徑公式以及基本不等式可求得的最小值.【詳解】易知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，圓的半徑為1，由拋物線(xiàn)的定義可得，若直線(xiàn)與軸重合，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得，則，由韋達(dá)定理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，因此的最小值為14，故A正確.故選：A.5．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，C的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)A的直線(xiàn)與C在第一象限的交點(diǎn)為M，N，且，則直線(xiàn)MN的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線(xiàn)的焦半徑公式，建立方程，即可求解，【詳解】根據(jù)題意可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，則有，設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立，可得，則，得，故，設(shè)，，到準(zhǔn)線(xiàn)距離為，到準(zhǔn)線(xiàn)距離為，又，有，即，得，，又，解得，，又，解得.故選：A6．（23-24高二上·北京·期中）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（在線(xiàn)段之間），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意畫(huà)出圖形，分直線(xiàn)的斜率不存在和存在兩種情況求解，當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，求得，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，和橢圓方程聯(lián)立，由判別式大于0求得的范圍，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出數(shù)量積，由得范圍求得的范圍．【詳解】當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為，，，此時(shí)；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，設(shè),則直線(xiàn)方程為，聯(lián)立，得，，得．，．．，，，則，綜上，的取值范圍是．故選：D．7．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)，直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)和長(zhǎng)軸是短軸長(zhǎng)的2倍可設(shè)橢圓方程，再聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程通過(guò)韋達(dá)定理可求解出斜率，從而求得.【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，所以，而，則.設(shè)，直線(xiàn)的方程為代入橢圓方程可得，整理得，即.，.，，所以，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，因?yàn)椋?故選：A.8．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)：（）上，斜率為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)．若直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上求出雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)可得，利用韋達(dá)定理代入即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)：（）上，所以由解得，所以雙曲線(xiàn)，設(shè)，，，聯(lián)立整理得，因?yàn)橹本€(xiàn)交于，兩點(diǎn)，所以，，所以，，，，因?yàn)榫€(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，所以，所以，即，所以，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足且；所以，故選：A二、多選題1．（23-24高三上·山東青島·期末）已知橢圓，直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，，若橢圓恒過(guò)定點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．|AB|的長(zhǎng)可能為3 D．|AB|的長(zhǎng)可能為4【答案】AC【分析】聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求出定點(diǎn)，再逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】由消去得：，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，必有，設(shè)，則，而，，由，得，即，整理得，因此，整理得，于是橢圓恒過(guò)定點(diǎn)，且，顯然，，A正確，B錯(cuò)誤；，而，則，，因此，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線(xiàn)l：y=kx+b上兩點(diǎn)間的距離；直線(xiàn)l：x=my+t上兩點(diǎn)間的距離.2．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）雙曲線(xiàn)：，左、右頂點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，已知?jiǎng)又本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)左、右兩支分別交于，兩點(diǎn),與其兩條漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn),則下列命題正確的是（

）A．存在直線(xiàn)，使得B．在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有C．若直線(xiàn)的方程為，存在，使得取到最大值D．若直線(xiàn)的方程為，，則雙曲線(xiàn)的離心率為【答案】BD【分析】根據(jù)與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)不可能與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)可對(duì)A項(xiàng)判斷；設(shè)直線(xiàn)：分別與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，漸近線(xiàn)聯(lián)立，分別求出和坐標(biāo)，從而可對(duì)B、C項(xiàng)判斷；根據(jù)，求出，從而可對(duì)D項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)不可能與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：設(shè)直線(xiàn):，與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，得：，設(shè)，，由根與系數(shù)關(guān)系得：，，所以線(xiàn)段中點(diǎn)，將直線(xiàn)：，與漸近線(xiàn)聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)為，將直線(xiàn)：與漸近線(xiàn)聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)為所以線(xiàn)段中點(diǎn)，所以線(xiàn)段與線(xiàn)段的中點(diǎn)重合，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)：由B項(xiàng)可得，，因?yàn)闉槎ㄖ?，?dāng)越來(lái)越接近漸近線(xiàn)的斜率時(shí)，趨向于無(wú)窮，所以會(huì)趨向于無(wú)窮，不可能有最大值，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)：聯(lián)立直線(xiàn)與漸近線(xiàn)，解得，聯(lián)立直線(xiàn)與漸近線(xiàn)，解得由題可知，，所以即，解得，所以，故D項(xiàng)正確.故選：BD.3．（23-24高三上·遼寧大連·期末）已知橢圓左焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則的斜率B．的最小值為C．以為直徑的圓與圓相切D．若直線(xiàn)的斜率為，則【答案】BCD【分析】對(duì)于A，聯(lián)立直線(xiàn)的方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及即可驗(yàn)算；對(duì)于B，由弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理可得為定值，結(jié)合基本不等式之“乘1法”即可判斷；對(duì)于C，結(jié)合橢圓定義以及兩點(diǎn)間距離公式即可判斷C；對(duì)于D，由韋達(dá)定理以及斜率公式即可判斷D.【詳解】易知：，對(duì)于A，若，顯然直線(xiàn)的斜率存在且大于0，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立橢圓方程，化簡(jiǎn)整理得，顯然又，故，由，解得，又，故，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由點(diǎn)在軸的上方，顯然，又，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，B正確；對(duì)于C，設(shè)，的中點(diǎn)為，則，又，由橢圓定義知：，即，又的圓心為，半徑為2，故以（）為直徑的圓與圓相切，C正確；對(duì)于D，，，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷B選項(xiàng)的關(guān)鍵是首先得出為定值，判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵是結(jié)合橢圓定義以及圓相切的條件，從而即可順利得解.三、填空題1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率是.【答案】【分析】依題意，設(shè)，因?yàn)椋瑒t有，直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理得到，從而得到離心率.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所?聯(lián)立整理得，則，，從而，整理得，故，故答案為：.2．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與C交于兩點(diǎn)P，Q，若曲線(xiàn)C上存在某定點(diǎn)A使得為定值，則定點(diǎn)A的坐標(biāo)為．【答案】【分析】先列出直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)聯(lián)立，再得到的表達(dá)式，要使得為定值，則需滿(mǎn)足各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)成比例，求出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)，若直線(xiàn)斜率不存在，此時(shí)為軸，與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，所以可令，，，則，由，可得，易知，則，，所以，所以，即，將代入，得，則，從而，解得或，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)不在雙曲線(xiàn)上，舍去；當(dāng)，時(shí)，此時(shí)在雙曲線(xiàn)上，滿(mǎn)足題意；綜上，.故答案為：3．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)在y軸上，對(duì)稱(chēng)中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦距為，且過(guò)點(diǎn)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若斜率為2的直線(xiàn)l與C交于P，Q兩點(diǎn)．且，則．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義可求得雙曲線(xiàn)方程；設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求得參數(shù)m，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求得．【詳解】由已知，可設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知：即，解得：，又，解得故雙曲線(xiàn)的方程為：；設(shè)直線(xiàn)聯(lián)立方程組，可得：，，，解得，因此．四、解答題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)：的右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)：與的漸近線(xiàn)相交于點(diǎn)，，且的面積為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)與C的右支相交于M，N兩點(diǎn)，若x軸上的點(diǎn)G使得等式恒成立，求證：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)表示的面積，即可求解雙曲線(xiàn)方程；（2）首先由幾何關(guān)系確定，再利用坐標(biāo)表示，代入韋達(dá)定理，即可求解.【詳解】（1）雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，直線(xiàn)與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不妨設(shè)，，，則，即，所以，且，得，，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由可知，，根據(jù)正弦定理可知，，而，所以，所以，則，所以,設(shè)直線(xiàn)，，聯(lián)立，得，，，，，，所以，即，則，解得：，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．（2024·河北·一模）已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且其離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的斜率不為零的直線(xiàn)與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)AC，BD交于一點(diǎn)P，M為線(xiàn)段PB上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，問(wèn)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明