材料力學(xué)重點(diǎn)及其公式

材料力學(xué)的任務(wù)：〔1〕強(qiáng)度要求；〔2〕剛度要求;[3)穩(wěn)定性要求。

變形固體的根本假設(shè)：〔1〕連續(xù)性假設(shè)；〔2〕均勻性假設(shè)；〔3〕各向同性假設(shè)；(4)小變形假設(shè)。

外力分類：外表力、體積力；靜載荷、動載荷。

內(nèi)力：構(gòu)件在外力的作用下，內(nèi)部相互作用力的變化量，即構(gòu)件內(nèi)部各局部之間的因外力作用而引起的

附加相互作用力

桿件變形的根本形式〔1)拉伸或壓縮；〔2〕剪切；〔3〕扭轉(zhuǎn)；(4)彎曲；〔5〕組合變形。

靜載荷：載荷從零開始平緩地增加到最終值，然后不再變化的載荷。

動載荷：載荷和速度隨時間急劇變化的載荷為動載荷。

失效原因：脆性材料在其強(qiáng)度極限與破壞，塑性材料在其屈服極限6時失效。二者統(tǒng)稱為極限應(yīng)力理

想情形。塑性材料、脆性材料的許用應(yīng)力分別為：口]=曳，b]=區(qū)，強(qiáng)度條件：

nn

=(今)《H，等截面桿勺1-⑸

1,軸向拉伸和壓縮

-------------------------應(yīng)力和應(yīng)變的概念：應(yīng)力：桿件截面上內(nèi)力的分布集度

應(yīng)變：物體內(nèi)任一點(diǎn)因各種作用引起的相對變形

應(yīng)力：="正應(yīng)力、切應(yīng)力。變形與應(yīng)變：線應(yīng)變、切應(yīng)變。

叢—0AAdA

縱向變形和橫向變形：〔拉伸前試樣標(biāo)距/，拉伸后試樣標(biāo)距乙；拉伸前試樣直徑d，拉伸后試樣直徑4

)

△I=/I—/\d=d、-d

縱向線應(yīng)變和橫向線應(yīng)變：￡=當(dāng)￡=與泊松比：/=—￡=

軸向拉壓桿斜截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力計算公式：〔夾角a從x軸正方向逆時針轉(zhuǎn)至外法線的方位角為

正〕

o_pcosa-<ycos2a-底

o—rcoscc—cosct-cos2a,=Psina=—sin2a=—sin2a

aaA0a22A

胡克定律:=3單軸應(yīng)力下胡克定律：e=q

EAE

軸向拉壓桿的強(qiáng)度計算公式：=(卑)z?M

許用應(yīng)力：同="，〔脆性材料4=6,,塑性材料二。」

n

強(qiáng)度指標(biāo)：比例極限外,—應(yīng)力和應(yīng)變成正比時的最高應(yīng)力值

彈性極限"——只產(chǎn)生彈性變形的最高應(yīng)力值

屈服極限"一應(yīng)力變化不大,應(yīng)變顯著增加時的最低應(yīng)力值

弓雖度極限外——材料在斷裂前所能承受的最大應(yīng)力值

2.扭轉(zhuǎn)

\p\

外力偶矩計算公式：二9.55、1。3產(chǎn)_〔P功率，〃轉(zhuǎn)速〕

IJr/min

圓軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面上的應(yīng)力、強(qiáng)度條件：

TTT

計算公式：T=pTmax=R=

IpIpwp

圓截面幾何參數(shù)：〔a〕實心圓1尸嗎D1%=微。3

公…、乃(。444、?加八、

mr-1)7rD44z44

〔b〕空心圓IP=-^—―-=—(l-?),VVP=—(1-a),

323216

圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件：%僦=/W口］

剪切胡克定律〔切變模量G，切應(yīng)變/):r=Gy

拉壓彈性模量E、泊松比v和切變模量G之間關(guān)系式：G=7T-

2(1+v)

正應(yīng)力=rshi2a

圓軸扭轉(zhuǎn)時任意斜截面上的應(yīng)力：

切應(yīng)力t=zuos2a

圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形：相對扭轉(zhuǎn)角（P=孕（"/）單位長度扭轉(zhuǎn)角。二孚=工（md/m）

GiPaxGlP

圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度條件：”=半=1,底皿=為<M']

dx/GIp

3.彎曲應(yīng)力

彎曲內(nèi)力與分布載荷q之間的微分關(guān)系也色=夕（X）；絆=Q（x）；

axdx

2））

dM（x_dQ[x=4（x）

d.x"2-a1x

受內(nèi)壓圓筒形薄壁容器橫截面和縱截面上的應(yīng)力計算公式：?！?

4。2個

匕;M圖與外力間的關(guān)系

a）梁在某一段內(nèi)無載荷作用，剪力圖為一水平直線，彎矩圖為一斜直線。

b]梁在某一段內(nèi)作用均勻載荷，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線。

c）在梁的某一截面。"?="（耳=0,剪力等于零，彎矩有一最大值或最小值。

dx

d]由集中力作用截面的左側(cè)和右側(cè)，剪力￡有一突然變化,彎矩圖的斜率也發(fā)牛突然變化形成一個轉(zhuǎn)

折點(diǎn)。

純彎曲梁的正應(yīng)力計算公式：。二手

梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件0m穌=%工口],rmax<[r]

w

幾種常見截面的最大彎曲切應(yīng)力計算公式〔S；ax為中性軸一側(cè)的橫截面對中性軸Z的靜矩，方為橫截

pS*

面在中性軸處的寬度〕：rnnx=，產(chǎn)

bL

矩形截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處r,nax=|^-=14

2bh2A

工字形截面梁腹板上的彎曲切應(yīng)力近似公式r=與

bh

軋制工字鋼梁最大彎曲切應(yīng)力計算公式rinax=一工—

取/Szmax)

4F4F

圓形截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處rmax=93,八=2十

3(TTD~/4)3A

F

圓環(huán)形薄壁截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處r=2^—

max/成(Q

彎曲梁危險點(diǎn)上既有正應(yīng)力。又有切應(yīng)力r作用時的強(qiáng)度條件：

cr=Vo-2+4r2<［cr］或a=+3r2<\a］〔其中口］=生〕

r3r4n

提高彎曲強(qiáng)度的措施：梁的合理受力(降低最大彎矩,合理放置支座，合理布置載荷，合理設(shè)計截

面形狀

塑性材料：”［二口』，上、下對稱，抗彎更好,抗扭差。脆性材料：［5］<口］，采用T字型或上

下不對稱的工字型截面。

等強(qiáng)度梁：截面沿桿長變化，怡使每個截面上的正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力，這樣的變截面梁稱為等強(qiáng)度梁

用疊加法求彎曲變形：當(dāng)梁上有幾個載荷共同作用時，可以分別計算梁在每個載荷單獨(dú)作用時的變形，

然后進(jìn)行疊加，即可求得梁在幾個載荷共同作用時的總變形。

4.梁彎曲時的位移

----------------------梁的撓曲線近似微分方程：二=一絲3即EIw=-M(x)

dx~EI

梁的轉(zhuǎn)角方程：^=—=-fdx+C

dx'EI(

梁的撓曲線方程：卬=-JJ岑件處+C,x+C2

簡單超靜定梁求解步驟：〔1〕判斷靜不定度；〔2〕建立根本系統(tǒng)〔解除靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)部和外部多余約

束后所得到的靜定結(jié)構(gòu)〕；〔3〕建立相當(dāng)系統(tǒng)〔作用有原靜不定梁載荷與多余約束反力的根本系統(tǒng)〕；〔4

)求解靜不定問題。

5.應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

應(yīng)力狀態(tài)的分類:

單向應(yīng)力狀態(tài)----單元體中三對應(yīng)力面上只有一對面上的應(yīng)力不為零

，平面應(yīng)力狀態(tài)——單元體中三對應(yīng)力面上有兩對面上的應(yīng)力秘零....

空間應(yīng)力狀態(tài)——單元體中三對應(yīng)力面上的應(yīng)力均不為零..........

二向應(yīng)力狀態(tài)分析一解析法

(T,.4-<TV(T,-

(1)任意斜截面上的應(yīng)力'cos2a-rsin2a

22rv

(2)主平面、主應(yīng)力

主平面方向：(an2ao=~生/，主應(yīng)力叫=*：*±卜二>十《

一

(3)最大切應(yīng)力及其作用面

O'—C切應(yīng)力小卜士j(z^)2+q

作用面方向：tan2a)=———

2%「minJVZ

(4)空間應(yīng)力狀態(tài)

1max、°max=6

最大切應(yīng)力，最大正應(yīng)力

(5)空間主應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律

。八=6

(6)四種強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力/2=6-^(1+%)

=vi13_/)2+W_6)2+(6-6)

6.組合變形

斜彎曲：兩相互垂直平面內(nèi)平面彎曲的組合

(i)應(yīng)力計算。,=7M上v2±亍M三丁

(2)中性軸一般地不垂直于外力作用線〔或中性軸不平行于合成的彎矩矢量〕：

tan^=—tan9

軸向荷載與橫向均布荷載聯(lián)合作用時桿件截面底部邊緣和頂部邊緣處的正應(yīng)力計算公式

bmax]=FN+Mmax

一minJ廣工一卬一z

xyFM

偏心拉伸〔壓縮〕：max〔=±￡^士一

/inJA叱

彎扭組合變形時圓截面桿按第三和第四強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條件表達(dá)式：

%$加+/<口],/2+0.75X<⑸

圓截面桿橫截面上有兩個彎矩M、和M;同時作用時，合成彎矩為：M

圓截面桿橫截面上有兩個彎矩M、和M;同時作用時強(qiáng)度計算公式：

—VM2+r2=<[<T]

WL」

jr-Rl

等截面細(xì)長壓桿在四種桿端約束情況下的臨界力計算公式：Fcr=土=

乃2f

細(xì)長壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式：b”—-

A

7.壓桿穩(wěn)定

壓桿穩(wěn)定的概念：指壓桿保持或恢復(fù)原有平衡狀態(tài)的能力。

壓桿的約束條件：[a)兩端錢支〃=1

(b)一端固定、一端自由〃二2

(c)一端固定、一端錢支〃=0.7

(d)兩端固定〃=0.5

壓桿的長細(xì)比或柔度計算公式：X二必，i=

歐拉公式適用范圍：〔1〕大柔度壓桿〔歐拉公式〕：即當(dāng)2之%>,其中/I.=時'S'=~

(2)中等柔度壓桿〔經(jīng)驗公式〕：即當(dāng)《W4W4尸，其中幾=巴目時，

b

(Jer=a-bAFcr=crcrA

(3)小柔度壓桿〔強(qiáng)度計算公式〕：即當(dāng)2<A時，?！岸ぃァ?/p>

壓桿的穩(wěn)定校核⑴壓桿的許用壓力：[川二區(qū)，〔冏為許可壓力，，〃為工作平安系數(shù)J

〔2〕壓桿的穩(wěn)定條件：0=(<夕口],[°為穩(wěn)定因數(shù)J

提高壓桿穩(wěn)定性的措施：選擇合理的截面形狀，改變壓桿的約束條件，合理選擇材料

8.能量法

I線彈性桿件的強(qiáng)能：

F；/

①軸向拉伸〔壓縮〕Ve=2EA

②圓軸扭轉(zhuǎn)K=3二

2GIP

M2/

③梁彎曲〔不計剪力影響〕K=—

2EA

組合變形的應(yīng)變能：Vf.=]￡*必+但公+]”衛(wèi)比

*12EA312Glp12EA

卡氏第二定理：4=妥dV

西

卡氏第二定理計算位移公式：4=z]絲上跑dx+Zl二+z13"公

1

j1EIdFi人力EAdFi乙J，GIpdF.

★慣性矩和慣性半徑

慣性矩：平面圖形對某坐標(biāo)軸的二次矩，如圖I-4所示。

22

Iy=jzdA.L=\AydA(1-5)

量綱為長度的四次方，恒為正。相應(yīng)定義

圖慣姓矩的概念

(1-6)1-4

為圖形對)，軸和對2軸的慣性半徑。

組合圖形的慣性矩。設(shè)/記/d為分圖形的慣性矩那么總圖形對同一軸慣性矩為/=X/n-=x葭

Jj=1>1=1

〔I-7〕假設(shè)以p表示微面積dA到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離，那么定義圖形對坐標(biāo)原點(diǎn)。的極慣性矩

2222

lp=\APdA(1-8)因為p=y+z

2

所以極慣性矩與〔軸〕慣性矩有關(guān)系/P=￡(/+Z}//1=ZV+A[1-9)

式[I-9)說明，圖形對任意兩個互相垂直軸而〔軸