6.6余角和補(bǔ)角第6章基本的幾何圖形知識點(diǎn)互為余角與互為補(bǔ)角的概念11.互為余角若兩個(gè)角的和為90°，就說這兩個(gè)角互為余角，簡稱互余，其中一個(gè)角叫作另一個(gè)角的余角.數(shù)學(xué)語言：若∠1＋∠2＝90°，就說∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1與∠2互為余角，如圖6.6－1.鈍角沒有余角.2.互為補(bǔ)角若兩個(gè)角的和為180°，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角叫作另一個(gè)角的補(bǔ)角。數(shù)學(xué)語言：若∠3＋∠4＝180°，就說∠3是∠4的補(bǔ)角，或∠4是∠3的補(bǔ)角，或∠3與∠4互為補(bǔ)角，如圖6.6－2.延伸拓展：若兩個(gè)角有一條公共邊，另一條邊互為反向延長線，就說這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。3.一個(gè)角的余角(或補(bǔ)角)可以有多個(gè)，但它們的度數(shù)是相等的，互余、互補(bǔ)是指具有一定數(shù)量關(guān)系的兩個(gè)角.特別提醒1.互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，它們是成對出現(xiàn)的.2.互余、互補(bǔ)只與數(shù)量有關(guān)，與位置無關(guān).互余和互補(bǔ)揭示的是兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系：一個(gè)銳角α的余角為90°－α，補(bǔ)角為180°－α.3.若兩個(gè)角互余，則這兩個(gè)角都是銳角，若兩個(gè)角互補(bǔ)，則這兩個(gè)角可能都是直角，也可能一個(gè)是銳角，另一個(gè)是鈍角.例1已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的3倍大10°，求這個(gè)角的度數(shù).解題秘方：緊扣余角和補(bǔ)角的定義，結(jié)合它們之間的數(shù)量關(guān)系列方程解答.解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是x，則這個(gè)角的補(bǔ)角為(180°－x)，余角為(90°－x).根據(jù)題意得(180°－x)－

3(90°－x)＝10°，解這個(gè)方程得x＝50°.所以這個(gè)角的度數(shù)為50°.1-1.若∠A＝40°，則∠

A的余角的大小是()A.50° B.60°C.140° D.160°1-2.若∠

α

與∠

β

互為補(bǔ)角，∠

β

是∠

α

的2倍，則∠

α

的度數(shù)為()A.20° B.30°

C.40° D.60°AD如圖6.6－3，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，

∠AOC＝∠DOE＝90°.例2解題秘方：由已知條件，結(jié)合余角、補(bǔ)角的定義解答.解：因?yàn)辄c(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，所以∠BOC＋∠AOC＝180°，∠DOE＋∠1＋∠4＝180°.因?yàn)椤螦OC＝∠DOE＝90°，所以∠1＋∠2＝90°，

∠2＋∠3＝90°，

∠BOC＝∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠4＝90°.

所以圖中互余的角有4對，分別是∠1和

∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4.(1)圖中互余的角有幾對？各是哪些？(2)圖中互補(bǔ)的角有幾對？各是哪些？解：由已知得∠1＋∠BOD＝180°，∠4＋∠AOE＝180°.

因?yàn)椤?＋∠2＝90°，

∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3.所以∠3＋∠BOD＝180°.因?yàn)椤?＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠2＝∠4.

所以∠2＋∠AOE＝180°.又因?yàn)椤螦OC＋∠BOC＝180°，

∠AOC＋∠DOE＝180°，∠DOE＋∠BOC＝180°

，所以圖中互補(bǔ)的角有7對，分別是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠DOE，∠DOE和∠BOC.

D知識點(diǎn)余角、補(bǔ)角的性質(zhì)21.余角的性質(zhì)同角或等角的余角相等.(1)如果∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，那么∠2＝∠3；(2)如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝

∠3，那么∠2＝∠4.∠2是∠1的余角∠3是∠1的余角∠2是∠1的余角∠4是∠3的余角2.補(bǔ)角的性質(zhì)同角或等角的補(bǔ)角相等.(1)如果∠1＋

∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，那么∠2＝∠3；(2)如果∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，

且∠1＝

∠3，那么∠2＝∠4.∠2是∠1的補(bǔ)角∠3是∠1的補(bǔ)角∠2是∠1的補(bǔ)角∠4是∠3的補(bǔ)角特別提醒1.如果互補(bǔ)的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角都是直角.2.“同角”指同一個(gè)角，“等角”指度數(shù)相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角.3.余角、補(bǔ)角的性質(zhì)是說明兩個(gè)角相等的重要依據(jù).如圖6.6－4，

直線AB

與∠

COD的兩邊OC，

OD

分別相交于點(diǎn)E，

F，∠

1＋

∠2＝180°.找出圖中與∠2相等的角，

并說明理由.解題秘方：先找出與∠1和∠2互補(bǔ)的角，然后利用互補(bǔ)的關(guān)系找出與∠2相等的角.例3解：

因?yàn)椤?＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠3＝∠2.因?yàn)椤?＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠4＝∠2.因?yàn)椤?＋∠5＝180°，∠6＋∠5＝180°，所以∠2＝∠6.所以圖中與∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.同角的補(bǔ)角相等同角的補(bǔ)角相等同角的補(bǔ)角相等3-1.如圖，直線AB與CD

相交于O，OD是∠BOE的平分線.(1)∠

AOC

與∠

DOE相等嗎？請說明理由.解：∠AOC與∠DOE相等．理由如下：因?yàn)椤螪OB＋∠AOD＝∠AOC＋∠AOD＝180°，所以∠BOD＝∠AOC.因?yàn)镺D是∠BOE的平分線，所以∠DOE＝∠BOD.

所以∠AOC＝∠DOE.(2)直接寫出∠

DOE的補(bǔ)角.解：∠COE，∠AOD，∠BOC是∠DOE的補(bǔ)角．如圖6.6-5，

已知O是直線AB上一點(diǎn)，

OC是一條射線，

OD平分∠AOC，

∠DOE＝90°，

OE平分∠BOC

嗎？為什么？例4解題秘方：緊扣角平分線的定義，利用余角的性質(zhì)說明兩個(gè)角相等.解：OE平分∠BOC.理由如下：因?yàn)椤螪OE＝90°，∠AOB＝180°，所以∠DOC＋∠COE＝90°，∠AOD＋∠BOE＝90°.因?yàn)镺D平分∠AOC，所以∠AOD＝∠DOC.所以∠COE