2.2不等式2.2.4均值不等式及其應用第2章

等式與不等式問題引入

新知探索

新知探索嘗試與發(fā)現(xiàn)：(2)如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測一般情況下兩個數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對大小，并根據(jù)(1)說出結(jié)論的幾何意義.

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幾何意義：與矩形周長相等的正方形的邊長大于或等于與矩形面積相等的正方形的邊長.

從具體實例中可以看出，兩個正數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值.一般地，我們有如下結(jié)論.

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周長相等的三角形中，正三角形的面積最大.平面上，周長相等的所有封閉圖形中，圓的面積最大，當周長一定時，正多邊形的面積隨著邊數(shù)的增加而增加，當邊數(shù)趨近于正無窮時，邊長趨近于一個點，正多邊形的形狀趨近圓，故圓的面積最大.

想一想：你能推廣這個結(jié)論嗎？比如所有周長相等的三角形中，什么樣的三角形面積最大？平面上，周長相等的所有封閉圖形中，什么樣的圖形面積最大？新知探索

例題

例題

例題

分析：在(1)中，矩形的長與寬的積是一個常數(shù)，要求長與寬之和的兩倍的最小值.

例題

分析：在(2)中，矩形的長與寬之和的兩倍是一個常數(shù)，要求長與寬之積的最大值.

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積定和最小，和定積最大.例題

例題

例題

新知探索探索與研究：用或其他計算機軟件，完成下列數(shù)學實驗：(1)任取多組三個正數(shù)，，，計算和，比較它們得大小，總結(jié)出一般規(guī)律；(2)對四個正數(shù)、五個正數(shù)做類似的實驗，總結(jié)出普遍規(guī)律.練習題型一：利用基本不等式比較大小

練習方法技巧：在利用基本不等式比較大小時，應創(chuàng)設應用基本不等式的條件，合理拆項或配湊，在拆項與配湊的過程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的功能.練習

練習題型二：利用基本不等式求最值

練習

練習

練習方法技巧：通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的簡化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形.(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標.(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.(4)注意“1”的妙用.練習

練習

練習題型三：利用基本不等式證明不等式

練習方法技巧：1.可利用基本不等式證明題目的類型

所證不等式一端出現(xiàn)“和式”，而另一端出現(xiàn)“積式”，這便是應用基本不等式的“題眼”，可嘗試用基本不等式證明.2.用基本不等式證明不等式的注意點(1)多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立.(2)累加法是不等式證明中的一種