第七章

Ch7.6一、二元函數(shù)的極值(無(wú)條件)二、最值應(yīng)用問(wèn)題三、條件極值多元函數(shù)的極值及最值一、二元函數(shù)的極值

定義:

若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無(wú)極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有二元函數(shù)極值也是局部性的概念即定理1反之不真!在(0,0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均為0,(2).偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能取得極值.說(shuō)明:(1).使一階偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn).

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如,在(0,0)取得極大值.

定理1(極值存在的必要條件)且在該點(diǎn)取得極值,則有函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),存在極值點(diǎn)必在駐點(diǎn)和一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)中取得.定理1：一階偏導(dǎo)數(shù)存在的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)。但(0,0)無(wú)極值.如何判斷一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？二元函數(shù)求極值的步驟:例1.求函數(shù)的極值.解:例2.求函數(shù)得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).在點(diǎn)(1,0)處為極小值;1.解的極值.2.求二階偏導(dǎo)數(shù),即A,B,C解:在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;二、最大值,最小值函數(shù)f在有界閉域上連續(xù)函數(shù)f在有界閉域上可達(dá)到最值

最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)及偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)依據(jù)--有界閉域上的最值問(wèn)題得駐點(diǎn):(2,0),(0,0)(舍去）在點(diǎn)(2,0)處f(2,0)=4解:特別,在求解實(shí)際問(wèn)題的最值時(shí),如果從實(shí)際意義知道所求函數(shù)最值存在,且只有一個(gè)駐點(diǎn)P時(shí),

則該駐點(diǎn)就是函數(shù)所求的最值點(diǎn)。為極小值為最小值(大)(大)例4.求最大利潤(rùn).某企業(yè)生產(chǎn)兩種商品的產(chǎn)量分別為x單位和y單位,利潤(rùn)函數(shù)為最大利潤(rùn)為1650單位.解:三、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制方法1無(wú)條件化.基本思想是把條件極值問(wèn)題化為無(wú)條件極值問(wèn)題方法2拉格朗日乘數(shù)法.模型:推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組例如,

求函數(shù)下的極值.在條件可得到的可能的極值點(diǎn).

解:解:一、二元函數(shù)求極值的步驟:二、最大值,最小值—實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用三、條