2024-2025學(xué)年度上期九年級數(shù)學(xué)一、選擇題（每題3分，共30分）1．下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）A． B．C． D．2．菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（）A．四條邊相等，四個(gè)角相等 B．對角線相等C．對角線互相垂直 D．對角線互相平分3．已知一元二次方程的兩根分別為，，則這個(gè)方程為（）A． B．C． D．4．如圖，矩形ABCD的對角線，，則AB的長為（）A． B．2cm C． D．4cm5．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k取值范圍是（）A． B． C．且 D．且6．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，正方形與正方形ABCD的邊長相等，且正方形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，已知，則旋轉(zhuǎn)過程中兩個(gè)正方形重疊部分的面積為（）A．2 B． C．1 D．無法確定7．方程經(jīng)過配方后得（）A． B． C． D．8．某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，第一季度總產(chǎn)值為175億元，問2、3月份平均每月的增長率是多少？設(shè)平均每月的增長率為x，根據(jù)題意得方程為（）A． B．C． D．9．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)E，若，則∠EAO的度數(shù)是（）A．60° B．67.5° C．45° D．22.5°10．如圖，菱形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AB的中點(diǎn)，若，，則OE長為（）A．3 B．5 C．2.5 D．4二、填空題（每題3分，共15分）11．寫出方程的解______．12．菱形ABCD的周長為40cm，它的一條對角線長為10cm，求這個(gè)菱形的另一條對角線的長為______．13．一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)之和為______．14．如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為540m2，求道路的寬．如果設(shè)小路寬為x，根據(jù)題意，所列方程為______．15．如圖，在中，，，，點(diǎn)D在AB邊上，，，垂足分別為點(diǎn)E、F，連接EF，則線段EF的最小值等于______．三、簡答題（本大題共8小題，共75分）16．（10分）解一元二次方程（1） （2）17．（9分）已知關(guān)于x的方程．（1）若該方程的一個(gè)根為2，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有實(shí)數(shù)根．18．（9分）商場某種商品平均每天可銷售40件，每件盈利60元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查，每件商品每降價(jià)1元，商場平均每天可多銷售2件．（1）當(dāng)每件盈利50元時(shí)，每天可銷售______件．（2）每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場日盈利可達(dá)到3072元？19．（9分）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，是等邊三角形，連接AE、BE，延長BE交邊AD于F點(diǎn)．（1）求證：；（2）求∠AEF的度數(shù)．20．（8分）在中，，點(diǎn)P、Q同時(shí)由A、B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，點(diǎn)P的速度是2cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s．其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．（1）______秒后為等腰三角形？（2）幾秒后四邊形ABQP的面積為面積的三分之一？21．（9分）解方程時(shí)，我們可以將看成一個(gè)整體，設(shè)，則原方程可化為，解得，，當(dāng)時(shí)，即，解得，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以原方程的解為．，，請利用這種方法解方程：（1）；（2）．22．（10分）如圖，已知菱形ABCD，，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接AE、CF．（1）求證：四邊形AECF是矩形；（2）若，求菱形的面積．23．（11分）綜合與實(shí)踐問題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，請你解答各小組活動(dòng)中產(chǎn)生的問題．如圖所示，在矩形ABCD中，，，將矩形紙片進(jìn)行折疊：問題解決：（1）如圖1，奮斗小組將該矩形沿對角線AC折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則______cm，______cm2；實(shí)踐探究：（2）如圖2，希望小組將矩形ABCD沿著EF（點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，邊BC上）所在的直線折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BE，①試判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由；②求折痕EF的長．

參考答案一、選擇題1．A2．D3．B4．D5．C6．C7．B8．D9．C10．C二、填空題11．，12．13．－1914．15．解答：解：如圖，連接CD．∵，，，∴，∵，，，∴四邊形CFDE是矩形，∴，由垂線段最短可得時(shí)，線段EF的值最小，此時(shí)，，即，解得：，∴．故答案為．三、簡答題16．（1）解：，，開方得：，，．（2）解答：解：（1）∵，，，，，所以，．17．解：（1）將代入方程得，，解得，；方程為，解得，，即方程的另一根為1；（2）∵，∴不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有實(shí)數(shù)根．18．解：（1）（件）．故答案為：60．（2）設(shè)每件商品降價(jià)x元，則每件盈利元，平均每天可售出件，依題意得：，整理得：解得：，，又∵要盡快減少庫存，∴．答：每件商品應(yīng)降價(jià)28元．19．（1）證明：∵ABCD是正方形，∴，，又∵是等邊三角形，∴，，∴，∴（SAS）．（2）解：∵是等邊三角形，∴，∵四邊形ABCD是正方形，∴，∴，∴為等腰三角形，且頂角，∴，∵，∴，∴．20．（1）設(shè)x秒后，是等腰三角形，則，，∵為等腰三角形，∴，即：，解得：，∴2秒后為等腰三角形；（2）設(shè)y秒后四邊形ABQP的面積為面積的三分之一，根據(jù)題意得：，∴，解得：或（舍去）．答：秒后四邊形ABQP的面積為面積的三分之一．21．解：設(shè)，則原方程變形為：所以解得，，當(dāng)時(shí)，即，解得，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，．（2）設(shè)則原方程變形為：所以，解得，，當(dāng)時(shí)，即，不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，22．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∵E是BC的中點(diǎn)，∴（等腰三角形三線合一），∴，∵E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，∴，，∵四邊形ABCD是菱形，∴且，∴且，∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），又∵，∴四邊形AECF是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）；（2）解：在中，，所以．23．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴，，∴，∵將該矩形沿對角線AC折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∴，∴，設(shè)，則，