第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年浙江省寧波市慈溪市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線l過點(diǎn)A(1,3)和B(?2,0)，則l的傾斜角為A.120° B.90° C.60° D.30°2.已知函數(shù)f(x)=2x，則Δx→0limA.4ln2 B.4ln2 C.ln22 3.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=?1，A.51 B.?13 C.?205 D.?2564.已知A(?12,1,32)，B(1,12,0)，C(0,1,0)，A.(19,?118,19)5.已知圓C1：(x+1)2+(y+4)2=5，圓C2：x2A.?72 B.?12 C.3 D.56.已知在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，BM=12BC，AN=3ND，則直線AMA.23 B.2313 C.7.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F1，一條漸近線方程為y=?A.43 B.34 C.378.已知斐波那契數(shù)列{Fn}滿足F1=F2=1，F(xiàn)n=FA.25L2022+15L2024 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知曲線C：(3?m)x2+(m+1)yA.當(dāng)m=1時(shí)，C是半徑為2的圓

B.當(dāng)?1<m<1時(shí)，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

C.當(dāng)m>3時(shí)，C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

D.當(dāng)m=?1時(shí)，C10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，且對(duì)任意m，n∈A.a2=3 B.a2025=a2020+a11.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，P，Q分別是線段AB，A1D1上的動(dòng)點(diǎn)，M是線段PQ的中點(diǎn)，且滿足PQ=2A.當(dāng)A1Q=2QD1時(shí)，AM⊥平面B1CD1

B.當(dāng)P為線段AB中點(diǎn)時(shí)，直線B1C到平面α的距離為10三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知點(diǎn)P(2,?3)和直線l：x?3y+1=0，則點(diǎn)13.已知數(shù)列{an}滿足an?an+1?an+2=?14.橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)作該橢圓的切線，切線方程為x0xa2+y0yb2=1.”設(shè)橢圓C：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=lnxx?2ax2．

(1)若a=1，求f′(x)；

(2)若f(x)在(1,f(1))處的切線與直線ax?3y?2=016.(本小題15分)

如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，平面SAC⊥平面ABCD，∠ADC=60，∠SAC=90°，AD=AS=2CD=2．

(1)證明：CD⊥平面ACS；

(2)求平面SBC與平面SCD夾角的余弦值．17.(本小題15分)

已知直線l：x?y+1=0，圓C：(x?2)2+y2=r2(r>0)，點(diǎn)P在l上，點(diǎn)Q在C上．

(1)若一條光線沿著直線l從右上往左下射出，經(jīng)y軸反射后，與C相切，求r；

(2)若18.(本小題17分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(3,t)在C上，且|AF|=72．

(1)求C的方程；

(2)若M，N是C上的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)(M在x軸上方，N在x軸下方)，滿足OM?ON=8．

(i)求證：直線MN過定點(diǎn)P；

(ii)設(shè)直線MN的斜率為k，過點(diǎn)P，且斜率為?2k的直線交C19.(本小題17分)

若數(shù)列{an}滿足：an+1?an>an?an?1(n≥2，且n∈N?)n∈N?)，則稱數(shù)列{an}為“差增數(shù)列”；若對(duì)于差增數(shù)列{an}，存在整數(shù)k，同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①對(duì)任意n∈N?，都有an≥kn成立；②存在n∈N?，使得an=kn成立，則稱數(shù)列{kn}為差增數(shù)列{an}的“下限數(shù)列”．

(1)已知數(shù)列{an}是差增數(shù)列，若an∈{x|x為小于20的質(zhì)數(shù))，試寫出項(xiàng)數(shù)為5參考答案1.D

2.A

3.C

4.A

5.B

6.D

7.B

8.C

9.AC

10.ABD

11.BCD

12.3

13.1314.315.解：(1)若a=1，則f(x)=lnxx?2x2，

所以f′(x)=1?lnxx2?4x=1?lnx?4x3x2．

(2)因?yàn)閒′(x)=1?lnxx2?4ax16.解：(1)證明：因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面ABCD，平面SAC∩平面ABCD=AC，SA⊥AC，

所以SA⊥平面ABCD，又CD?平面ABCD，

所以SA⊥CD，

在△ACD中，AD=2，CD=1，∠ADC=60°，

所以AC2=4+1?2×2×1×12=3，

所以AD2=AC2+CD2，即AC⊥CD，

又因?yàn)镾A∩AC=A，SA，AC?平面SAC，

所以CD⊥平面SAC．

(2)由(1)知，SA⊥平面ABCD，AB⊥AC，

以A為原點(diǎn)，AB，AC，AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則S(0,0,2)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，D(?1,3,0)，

所以SC=(0,3,?2)，BC=(?1,3,0)，CD=(?1,0,0)，

設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量m=(x,y,z)，

則m?SC=0m?17.解：(1)由題意知，入射光線與y軸交于點(diǎn)(0,1)，反射光線的斜率為?1，

所以反射光線所在的直線方程為x+y?1=0，

因?yàn)閳A心(2,0)，所以圓心到反射光線所在直線的距離等于r，

即r=|2?1|2=22．

(2)設(shè)點(diǎn)R關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為R′(a,b)，

則b?2a?2=?1a+22?b+22+1=0，解得a=1b=3；

所以|PR|+|PQ|=|PR′|+|PQ|≥|R′Q|≥|R′C|?r，

因?yàn)閨R′C|=10，r=1，所以|PR|+|PQ|的最小值等于10?1，

此時(shí)，點(diǎn)18.(1)因?yàn)閨AF|=3+p2=72，

所以p=1，

則拋物線C的方程為y2=2x；

(2)(i)證明：設(shè)直線MN的方程為x=my+n，n>0，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立x=my+ny2=2x，消去x并整理得y2?2my?2n=0，

此時(shí)Δ=4m2+8n>0，

由韋達(dá)定理得y1+y2=2m，y1y2=?2n，

因?yàn)镺M?ON=x1x2+y1y2=(my1+n)(my2+n)+y1y2

=(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=n2?2n=8，

解得n=4或n=?2(舍去)，

則直線MN過定點(diǎn)P(4,0)；

(ii)設(shè)直線MN的方程為y=k(x?4)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，19.解：(1)根據(jù)“差增數(shù)列”的定義可得a1=2，a2=3，a3=5，a4=11，a5=19；

(2)(i)是，理由如下：

因?yàn)閎n>0，則首項(xiàng)b1>0，公差d>0，所以bn=b1+(n?1)d，Sn=nb1+n(n?1)2d，

因?yàn)?n+1)Sn+1+(n?1)Sn?1?2nSn

=(n+1)[(n+1)b1+n(n+1)2d]+(n?1)[(n?1)b1+(n?1)(n?2)2d?2n[nb1+n(n?1)2d]

=2b1+(3n?1)d>0，

即(n+1)Sn+1?nSn>nSn?(n?1)Sn?1對(duì)任意n≥2且n∈