壓軸題22以四邊形新定義為背景的閱讀材料壓軸題例1．（2022春?玄武區(qū)期末）【概念認(rèn)識(shí)】在四邊形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四邊形ABCD內(nèi)部或邊AB上存在一點(diǎn)P，滿足∠DPC＝∠A，那么稱點(diǎn)P是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”．【初步思考】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，點(diǎn)P在邊AB上且是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”．若DA∥CP，DP∥CB，則∠DPC的度數(shù)為°；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)部且是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”，延長(zhǎng)CP交邊AB于點(diǎn)E．求證：∠ADP＝∠CEB．【綜合運(yùn)用】在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝α，點(diǎn)P是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”，DE、CF分別平分∠ADP、∠BCP，當(dāng)DE和CF所在直線相交于點(diǎn)Q時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CQD與α滿足的關(guān)系及對(duì)應(yīng)α的取值范圍．例2．（2022?長(zhǎng)沙模擬）有一組對(duì)角相等的凸四邊形稱為“對(duì)等四邊形”，連接這兩個(gè)相等對(duì)角的頂點(diǎn)的線段稱為“對(duì)等線”．（1）如圖1，已知四邊形ABCD是“對(duì)等四邊形”，AC是“對(duì)等線”，且AB＝BC．求證：AD＝CD；（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ADC＝120°，∠ABC＝150°．且AD⊥BD，BC=22，BD①求證：四邊形ABCD是“對(duì)等四邊形”；②試求AC2．（3）如圖3，對(duì)等四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A＝90°，AD上存在點(diǎn)E，滿足AE=CD，連結(jié)BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BE與AD交于點(diǎn)G，連結(jié)CE，CE＝BG．若AD＝2，tan∠ADB①cos∠F的值；②△DEF的周長(zhǎng)，（請(qǐng)選擇一個(gè)進(jìn)行解答）．例3．（2023?秦都區(qū)校級(jí)三模）【了解概念】定義提出：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．【理解運(yùn)用】（1）如圖1，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AB、BC的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在圖1的方格紙中畫(huà)出一個(gè)等鄰邊四邊形ABCD，要求：點(diǎn)D在格點(diǎn)上；（2）如圖2，在等鄰邊四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠ABC＝90°，BC=33，求CD【拓展提升】（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸正半軸上，已知OC＝4，OA＝6，D是OA的中點(diǎn)．在矩形OABC內(nèi)或邊上，是否存在點(diǎn)E，使四邊形OCED為面積最大的“等鄰邊四邊形”，若存在，請(qǐng)求出四邊形OCED的最大面積及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2022秋?開(kāi)江縣校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，P（a，b）是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，給出如下定義：k1=ab和k2=ba（1）求點(diǎn)P（6，2）的“傾斜系數(shù)”k的值；（2）①若點(diǎn)P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，請(qǐng)寫(xiě)出a和b的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若點(diǎn)P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，且a+b＝3，求OP的長(zhǎng)；（3）如圖，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，2），C（4，4），D（2，4），P（a，b）是四邊形ABCD上任意一點(diǎn)．試說(shuō)明是否存在使點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”k為32的點(diǎn)．若存在，請(qǐng)自己寫(xiě)出這樣的點(diǎn)P2．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等），我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對(duì)角線”．（1）如圖1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)上，若四邊形ABCD是以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形，請(qǐng)只用無(wú)刻度的直尺，就可以在網(wǎng)格中畫(huà)出點(diǎn)D，請(qǐng)你在圖1中找出滿足條件的點(diǎn)D，保留畫(huà)圖痕跡（找出2個(gè)即可）（2）①如圖2，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，對(duì)角線AC平分∠DAB．請(qǐng)問(wèn)AC是四邊形ABCD的“相似對(duì)角線”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；②若AC=10，求AD?AB（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠D＝∠ACB＝90°時(shí)，將△ADC以A為位似中心，位似比為5：2縮小得到△AEF，連接CE、BF，在△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)CE所在的直線垂直于AF時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出BF的長(zhǎng)．3．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長(zhǎng)，易知AE=2c，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如ax2+2cx+b＝0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）判斷下列方程是否是“勾系一元二次方程”：①2x2+5x+1＝0（填“是”或“不是”②3x2+52x+4＝0（填“是”或“不是”）（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b＝0的一個(gè)根，且四邊形ACDE的周長(zhǎng)是12，求△ABC4．（2022秋?龍崗區(qū)校級(jí)期末）定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”，回答下列問(wèn)題．（1）如圖1，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝1，CD=2，∠BCD＝∠DBC，判斷四邊形ABCD是不是“等鄰邊四邊形”（2）如圖2，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，現(xiàn)將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連接AA′，BC′，若平移后的四邊形ABC′A′是“等鄰邊四邊形”，求BB'的長(zhǎng)．5．（2023春?義烏市校級(jí)期中）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形．【概念理解】如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請(qǐng)寫(xiě)出你添加的一個(gè)條件．（只寫(xiě)一個(gè)即可）【問(wèn)題探究】如圖2，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，將△ABC沿∠ABC的平分線BB′的方向平移，得到△A′B′C′，連接AA′、BC′，若平移后的四邊形ABC′A′是等鄰邊四邊形，求平移的距離（直接寫(xiě)出答案）．【拓展應(yīng)用】如圖3，等鄰邊四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝90°，AC，BD為對(duì)角線，△BCD為等邊三角形，試給出AC和AB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．6．（2023春?江油市月考）定義：我們把一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形．【性質(zhì)初探】如圖1，已知，?ABCD，∠B＝80°，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連結(jié)CE，四邊形ABCE恰為等腰梯形．求∠BCE的度數(shù)；【性質(zhì)再探】如圖2，已知四邊形ABCD是矩形，以BC為一邊作等腰梯形BCEF，BF＝CE，連結(jié)BE、CF．求證：BE＝CF；【拓展應(yīng)用】如圖3，?ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AB＝2，∠ABC＝45°，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)DG．若∠CDG＝90°，求BC的長(zhǎng)．7．（2023春?西城區(qū)校級(jí)期中）平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（?12，12），B（?12，?12），C（12，?12），D（12，12），P、Q是這個(gè)正方形外兩點(diǎn)，且PQ＝1．給出如下定義：記線段PQ的中點(diǎn)為T(mén)，平移線段PQ得到線段P'Q'（其中P'，Q'分別是點(diǎn)P，Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），記線段P'Q'的中點(diǎn)為T(mén)．若點(diǎn)P'和Q'分別落在正方形ABCD的一組鄰邊上，或線段P'Q'與正方形ABCD的一邊重合，則稱線段TT'長(zhǎng)度的最小值為線段PQ到正方形ABCD的“回歸距離（1）如圖1，平移線段PQ，得到正方形ABCD內(nèi)兩條長(zhǎng)度為1的線段P1Q1和P2Q2，這兩條線段的位置關(guān)系為；若T1，T2分別為P1Q1和P2Q2的中點(diǎn)，則點(diǎn)（填T1或T2）為線段PQ到正方形ABCD的“回歸點(diǎn)”；（2）若線段PQ的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為（1，1），記線段PQ到正方形ABCD的“回歸距離”為d1，請(qǐng)直接寫(xiě)出d1的最小值：，并在圖2中畫(huà)出此時(shí)線段PQ到正方形ABCD的“回歸點(diǎn)”T'（畫(huà)出一種情況即可）；（3）請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出所有符合題意的線段PQ到正方形ABCD的“回歸點(diǎn)”組成的圖形．8．（2022秋?興化市校級(jí)期末）我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．（1）寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱；（2）如圖1，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請(qǐng)你畫(huà)出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA，OB為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB；（3）如圖2，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接AD，DC，∠DCB＝30°．求證：DC2+BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．9．（2021秋?永豐縣期末）定義：我們把兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”．特例感知：（1）如圖1，四邊形ABCD是“垂美四邊形，如果OA=OD=13OB，OB＝2，∠OBC＝60°，則AD2+BC2＝，AB2+CD2猜想論證（2）如圖1，如果四邊形ABCD是“垂美四邊形”，猜想它的兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．拓展應(yīng)用：（3）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝4，∠BAC＝60°，求GE長(zhǎng)．（4）如圖3，∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO＝30°，∠BOC＝120°，OA＝OD，OC=3，連接AC，BC，BD，請(qǐng)直接寫(xiě)出BC10．（2022秋?東城區(qū)校級(jí)月考）點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐標(biāo)系中不同的兩個(gè)點(diǎn)，且x1≠x2，若存在一個(gè)正數(shù)k，使點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)滿足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，則稱P，Q為一對(duì)“限斜點(diǎn)”，k叫做點(diǎn)P，Q的“限斜系數(shù)”，記作k（P，Q）．由定義可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．例：若P（1，0），Q（3，12），有|0?12|=14|1﹣3|，所以點(diǎn)P，Q為一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且“已知點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，12（1）在點(diǎn)A，B，C，D中，找出一對(duì)“限斜點(diǎn)”：，它們的“限斜系數(shù)”為；（2）若存在點(diǎn)E，使得點(diǎn)E，A是一對(duì)“限斜點(diǎn)”，點(diǎn)E，B也是一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且它們的“限斜系數(shù)”均為1．求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）正方形對(duì)角線的交點(diǎn)叫做中心，已知正方形EFGH的各邊與坐標(biāo)軸平行，邊長(zhǎng)為2，中心為點(diǎn)M（0，m）．點(diǎn)T為正方形上任意一點(diǎn)，若所有點(diǎn)T都與點(diǎn)C是一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且都滿足k（T，C）≥1，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)m的取值范圍．11．（2022?南京模擬）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M，N間的“鄰近距離”，記為d（圖形M，圖形N），已知點(diǎn)A（﹣2，﹣2），B（3，﹣2），C（3，3），D（﹣2，3）．（1）d（點(diǎn)O，線段AB）＝；（2）若點(diǎn)G在軸上，且d（點(diǎn)G，線段AB）＞2，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)a的取值范圍；（3）依次連接A，B，C，D四點(diǎn)，得到正方形ABCD（不含圖形內(nèi)部），記為圖形M，點(diǎn)E（t，0），點(diǎn)F（0，12?t）均不與點(diǎn)O重合，線段EO，OF組成的圖形記為圖形N，若1＜d（圖形M，圖形N）＜2，直接寫(xiě)出12．（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W1和圖形W2．給出如下定義：在圖形W1上存在兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)A，B可以重合），在圖形W2上存在兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M、N可以重合）使得AM＝2BN，則稱圖形W1和圖形W2滿足限距關(guān)系．（1）如圖1，點(diǎn)C（1，0），D（﹣1，0），E（0，3），點(diǎn)F在CE上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)F可以與C，E重合），連接OF，DF．①線段OF的最小值為，最大值為；線段DF的取值范圍是．②在點(diǎn)O，D中，點(diǎn)與線段CE滿足限距關(guān)系．（2）如圖2，正方形ABMN的邊長(zhǎng)為2，直線PQ分別與x軸，y軸交于點(diǎn)Q，P，且與x軸正方向的夾角始終是30°，若線段PQ與正方形ABMN滿足限距關(guān)系，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)a（a＞0）的取值范圍；（3）如圖3，正方形ABMN的頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，A（0，b）（b＞0），G，H是正方形邊上兩點(diǎn)，分別以G，H為中心作邊長(zhǎng)為1的正方形，與正方形ABMN的四邊分別平行．若對(duì)于任意的點(diǎn)G，H，以G，H為中心的正方形都滿足限距關(guān)系，直接寫(xiě)出b的取值范圍．13．（2022?匯川區(qū)模擬）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如：四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，則四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．【概念理解】（1）如圖1，四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，則∠D＝度．②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2時(shí)．則CD2﹣CB2＝．【類比應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．14．（2022春?曾都區(qū)期末）定義：我們把對(duì)角線相等的凸四邊形叫做“等角線四邊形”．（1）在已經(jīng)學(xué)過(guò)的“①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角線四邊形”的是（填序號(hào)）；（2）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且EC＝DF，連接EF，AF，求證：四邊形ABEF是等角線四邊形；（3）如圖2，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D為線段AB的垂直平分線上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是等角線四邊形，求這個(gè)等角線四邊形的面積．15．（2022春?長(zhǎng)汀縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)p（a，b）滿足a+1＞b且b+1＞a，則稱點(diǎn)p為“自大點(diǎn)”：如果一個(gè)圖形的邊界及其內(nèi)部的所有點(diǎn)都不是“自大點(diǎn)”，則稱這個(gè)圖形為“自大忘形”．（1）判斷下列點(diǎn)中，哪些點(diǎn)是“自大點(diǎn)”，直接寫(xiě)出點(diǎn)名稱；p1（1，0），p2(2（2）如果點(diǎn)N（2x+3，2）不是“自大點(diǎn)”，求出x的取值范圍．（3）如圖，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），現(xiàn)在正方形開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向下（y軸負(fù)方向）平移，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），當(dāng)正方形成為“自大忘形”時(shí)，求t的取值范圍．16．（2022春?北侖區(qū)期末）定義：對(duì)角線相等的四邊形稱為對(duì)美四邊形．（1）我們學(xué)過(guò)的對(duì)美四邊形有、．（寫(xiě)出兩個(gè)）（2）如圖1，D為等腰△ABC底邊AB上的一點(diǎn)，連結(jié)CD，過(guò)C作CF∥AB，以B為頂點(diǎn)作∠CBE＝∠ACD交CF于點(diǎn)E，求證：四邊形CDBE為對(duì)美四邊形．（3）如圖2，對(duì)美四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC＝BD，DC∥AB．①若∠AOB＝120°，AB+CD＝6，求四邊形ABCD的面積．②若AB?CD＝6，設(shè)AD＝x，BD＝y(tǒng)，試求出y與x的關(guān)系式．17．（2022春?江北區(qū)期末）定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是．A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫(xiě)出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論：；．問(wèn)題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長(zhǎng)，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連結(jié)BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．18．（2022春?銅山區(qū)期末）新定義：若四邊形的一組對(duì)角均為直角，則稱該四邊形為對(duì)直四邊形．（1）下列四邊形為對(duì)直四邊形的是（寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）；①平行四邊形；②矩形；③菱形，④正方形．（2）如圖，在對(duì)直四邊形ABCD中，已知∠ABC＝90°，O為AC的中點(diǎn)．①求證：BD的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O；②若