第4章根軌跡分析法自動(dòng)控制原理機(jī)電工程學(xué)院俞敏自動(dòng)控制原理24.1

概述4.2根軌跡的概念4.3根軌跡的繪制4.4廣義根軌跡的繪制4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析

第4章根軌跡分析法課前復(fù)習(xí)繪制根軌跡的10個(gè)規(guī)則自動(dòng)控制原理3自動(dòng)控制原理44.3.2繪制根軌跡舉例

例1已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，繪制根軌跡。解

1）起點(diǎn)在p1=-1，p2=-2處，終點(diǎn)在z1=-3及無窮遠(yuǎn)處。

2）根軌跡有兩條分支，且對(duì)稱于實(shí)軸。

3）實(shí)軸上的根軌跡分布在-1～-2之間和-3～-∞之間。

4）因n=2，m=1，漸近線為整個(gè)負(fù)實(shí)軸，沿實(shí)軸趨于-∞。

5）由，可解出

s1=-1.586(分離點(diǎn)),K*=0.172;s2=-4.414(會(huì)合點(diǎn)),K*=5.818

繪出根軌跡如圖自動(dòng)控制原理5證明：根軌跡圖是一個(gè)圓證如果用s=a+jb代入特征方程1+G(s)H(s)=0中，并經(jīng)整理可得到以下方程式：顯然，這是個(gè)圓的方程式，其圓心的坐標(biāo)為(-3，0)，半徑為。推廣到一般形式：

z1大于p1和p2（即開環(huán)零點(diǎn)位于兩開環(huán)極點(diǎn)之左），則系統(tǒng)根軌跡在復(fù)平面上為一個(gè)圓，其圓心在-z1，半徑為：

例1（續(xù)）

自動(dòng)控制原理6

開環(huán)傳遞函數(shù)為，求該系統(tǒng)

的閉環(huán)根軌跡。例2解根據(jù)根軌跡繪制規(guī)則，計(jì)算步驟為

1）有四條根軌跡，分別起始于0，-3，-1±j；一條根軌跡終止于-2，另三條趨于無窮遠(yuǎn)處。

2）實(shí)軸上的根軌跡分布在0～-2之間及-3～-∞之間。

3）漸近線有3條數(shù)，漸近線的傾角為±60°，-180°，漸近線的交點(diǎn)為。

4）由于實(shí)軸上為零點(diǎn)與極點(diǎn)間的根軌跡，故沒有分離點(diǎn)及會(huì)合點(diǎn)。自動(dòng)控制原理75）求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。令s=代入特征方程，解后得，此時(shí)K*=7。

6）求復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角。極點(diǎn)-p2的出射角為-22.6°

極點(diǎn)-p3的出射角為+22.6°

完整根軌跡如圖：例2（續(xù)）自動(dòng)控制原理8

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖：

例3(p116)自動(dòng)控制原理94.4廣義根軌跡的繪制

以非開環(huán)根跡增益為可變參數(shù)的根軌跡，或非負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。4.4.1參變量根軌跡的繪制

以非開環(huán)根跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡，稱作參變量根軌跡，也稱為參數(shù)根軌跡。參變量根軌跡可以用來分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)。規(guī)則：與常規(guī)根軌跡繪制方法完全相同。關(guān)鍵點(diǎn)：將控制系統(tǒng)的特征方程進(jìn)行等效變換，求出等效開環(huán)傳遞函數(shù)。自動(dòng)控制原理10

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為，用不含待分析參數(shù)的各項(xiàng)除方程兩端，得式中的、都是復(fù)變量s的多項(xiàng)式，為待分析的參數(shù)，與特征方程比較，得等效開環(huán)傳遞函數(shù)

4.4.1參變量根軌跡的繪制自動(dòng)控制原理11繪制以Kt為參變量的根軌跡(教材P119)

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

特征方程為以特征方程中不含Kt的項(xiàng)除方程式各項(xiàng)，得

所以，等效開環(huán)傳遞函數(shù)為自動(dòng)控制原理121）n=2，m=1，根軌跡有兩條分支，分別起始于極點(diǎn)

-1+j3和-1-j3，終止于零點(diǎn)及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

2）實(shí)軸上的根軌跡分布在0～-∞之間。

3）求出會(huì)合點(diǎn)s1=-3.12（s2=+3.12舍去），對(duì)應(yīng)幅值為

所以Kt=0.43。

4）復(fù)數(shù)極點(diǎn)-1+j3的出射角繪制以Kt為參變量的根軌跡（續(xù)）

自動(dòng)控制原理134.4.2正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制

對(duì)于具有開環(huán)傳遞函數(shù)為的正反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程為，正反饋系統(tǒng)的根軌跡方程為幅值條件幅角條件思考：與負(fù)反饋根軌跡繪制有何不同？在正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制規(guī)則中，凡是與幅角條件有關(guān)的規(guī)則都要作相應(yīng)的修改。1）實(shí)軸上根軌跡的確定：右邊開環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。2）根軌跡的漸近線：在實(shí)軸上交點(diǎn)坐標(biāo)和夾角為3）根軌跡的出射角和入射角自動(dòng)控制原理14

設(shè)負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(正反饋的判別：P121)將其變換為，相應(yīng)的特征方程變?yōu)榕c正反饋系統(tǒng)根軌跡方程的形式相同。1）實(shí)軸上根軌跡：[0,-2]、[1,2）漸近線與正實(shí)軸重合3）分離點(diǎn)s=2.84）出射角5）與虛軸的交點(diǎn)為

K*=1.3。正反饋系統(tǒng)根軌跡繪制舉例自動(dòng)控制原理154.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析

系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)的分布

根軌跡圖分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，閉環(huán)極點(diǎn)分布位置系統(tǒng)性能隨之發(fā)生變化的規(guī)律

自動(dòng)控制原理164.5.1性能指標(biāo)在s平面上的表示

當(dāng)0<

<1時(shí)，閉環(huán)特征根為（1）相對(duì)百分比超調(diào)量是阻尼比

的函數(shù)，且當(dāng)

越小，百分比超調(diào)量σ%越大。(P68)

（2）調(diào)節(jié)時(shí)間只取決于特征根的實(shí)部。當(dāng)

wn增加時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間相應(yīng)變短；反之，調(diào)節(jié)時(shí)間相應(yīng)就長。如果對(duì)調(diào)節(jié)時(shí)間有限制的話，就要使特征根與虛軸保持一定的距離。(P69)（3）振蕩頻率自動(dòng)控制原理17

s平面上的三種規(guī)律等

線等時(shí)線等頻率線

在通過原點(diǎn)射線上的特征根，這些特征根都對(duì)應(yīng)于百分比超調(diào)量相同的過程；在垂直于實(shí)軸直線上的特征根，它們對(duì)應(yīng)有基本相同的調(diào)節(jié)時(shí)間；在平行于實(shí)軸直線上的特征根，它們對(duì)應(yīng)振蕩頻率相等的過程。4.5.1性能指標(biāo)在s平面上的表示(續(xù))自動(dòng)控制原理18

增加開環(huán)零極點(diǎn)的個(gè)數(shù)或改變開環(huán)零、極點(diǎn)在s平面上的位置，可改變根軌跡的形狀，也可影響控制系統(tǒng)的性能。(1)增加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響考慮漸近線在增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)-z0前后的變化設(shè)-z0

=-3、-2和0，原開環(huán)傳遞函數(shù)為

無零點(diǎn)增加-z0=-3增加-z0=-2增加-z0=0

使根軌跡向s左半平面彎曲或移動(dòng)，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高(P124)4.5.2開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響自動(dòng)控制原理19（2）增加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響考慮漸近線在增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)-p0前后的變化：漸近線的重心將沿實(shí)軸向右移動(dòng)。且-p0數(shù)值愈大，向右移動(dòng)的距離也愈大。(P126)因此，漸近線將帶動(dòng)根軌跡向右半s平面彎曲或移動(dòng)，從而可能引起系統(tǒng)性能惡化。4.5.2開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響(續(xù))自動(dòng)控制原理20

考慮如下三階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分別取零點(diǎn)-p0

=-4、-1和0，

不增極點(diǎn)增極點(diǎn)-p0＝-4增極點(diǎn)-p0=-1增極點(diǎn)-p0＝0

增加開環(huán)極點(diǎn)，使得根軌跡向右彎曲或移動(dòng)，相對(duì)穩(wěn)定性變差。當(dāng)極點(diǎn)值愈接近原點(diǎn)，系統(tǒng)的性能變得愈差。4.5.2開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響(續(xù))自動(dòng)控制原理214.5.3閉環(huán)零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)性能關(guān)系

1.系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)表達(dá)式典型控制系統(tǒng)閉環(huán)傳函單位階躍輸入時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)為