與向量長度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，記作-.②任意向量與其相反向量的和是零向量，即向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a-b）；）；如圖,設(shè)a,b是兩個非零向量,AB=a,CD=b,作如下變換:過AB的起點(diǎn)做向量在向量上的投影向量.2,y1+y2)；a-b=(x1-x2,y1-y2)坐標(biāo)表示:=(x,y),則λ=(λx,λy).,y1),,y1)=λ(x2,y2),即：=λy2消去λ得到：x1y2-xy2-x2y1=0y2-x2y1=02a2ax+y2,y2)，θ是與的夾角，則cosθ=x2 ④平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：|AB|=·(x1-x2)2+(y1-y2)2（其中A(x1,y1)，B(x2,倍.a22b222-2accosB c222-2abcosC②asinB=bsinA；bsinC=csinB；asinC=csinA；③sinA:sinB:sinC=a:b:c⑤④a=2RsinA，b=2RsinB，c=2Rs⑥⑤sinA=，sinB=，sinC=可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）×底×高；）；例題124-25高一上·遼寧·期末）關(guān)于平面向量，下列說法正確的是()其中不正確的命題的個數(shù)為()124-25高一下·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是()22024高三·全國·專題練習(xí)）下列命題錯誤的是()3多選23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）下列選項(xiàng)中錯誤的有()xy例題3（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且2ccosCsinB+bsinC=0,DACB的角平分線與AB邊交于點(diǎn)D，且CD=2，則4a+b的最小值為.λ+2，-=+μ，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λμ=()A．-2B．-1.C．1D．222024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知A,B,C是圓O上不同的三點(diǎn)，CO與AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)O與點(diǎn)D），λ,μ∈R)，則λ+μ的取值范圍是.例題1（2025高三·全國·專題練習(xí)）在△ABC中，若I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交BC于D，則有33例題2（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）如圖，在VABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，P是AM上一點(diǎn)，且2345AM=2xAB+yAC，則xy的最大值三角形的外心，P為三角形垂心（O點(diǎn)與P點(diǎn)不重合），且OP∥AM=2xAB+yAC，則xy的最大值223-24高一下·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知x,y是實(shí)數(shù)，向量，不共線，若(x+y-2+(x-y)=，則x=；y=.共線，則tana=()A．-2B．-C．共線，則sinθ的值為()A．-1B．1C．3或-1D．1或-1A．-12B．-6C．6D．12例題3（24-25高三上·天津南開·期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點(diǎn)M，N，若Q是BC的中點(diǎn)，則QM.QN的取值范圍是；若P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足2OP=λOB+(1-λ)OC(λ∈R)，則PM. ABCD的邊長為4，中心為O，四個半圓的圓心均在正方形ABC2PB124-25高三上·河北邢臺·期末）已知單位向量和的夾角為θ,且cosθ=-則2-=() 2PB C．-D．-與+夾角的余弦值為()A．B．-A．B．-323-24高一下·河北邢臺·期中）已知A(2,5),B(4,-1),C(-2,1),D為BC的中點(diǎn)，則cos上ADB為()A．-2B．-4C．2D．4 a2––是()).坐標(biāo).例題1（23-24高一下·湖北·期中）根據(jù)下列條件，判斷三°B．a(chǎn)°°D．a(chǎn)°例題2（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=，例題3（23-24高一下·貴州銅仁·期末）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a=6，12024·湖北·模擬預(yù)測）在△ABC中，已知AB=x，BC=2，C=，若存在兩個這樣的三角形ABC，則x的取值范圍是()B．0,2D．,2)acosB+(2c-b)cosA=c，則△ABC的形狀為()cosA+b.cosAcosC=b.cosB，則△ABC的形狀是.32024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若sin2A=sin2B，則△ABC題型十三：求三角形周長（邊長） 的長為() 例題2（23-24高二下·重慶·期中）已 例題3（23-24高一下·福建莆田·期中）在銳角三角形ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對邊，A．3-,3B．△ABC2△ABC2為() 223-24高一下·山東菏澤·期中）已知△ABC是直徑為55的圓內(nèi)接三角形，三角形的一個內(nèi)角a滿足 A．20B．202C．203D．20+4532024·全國·模擬預(yù)測）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且 例題1（24-25高三上·山東濟(jì)寧·期末）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知例題2（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，且asinB+bsinA=2(c-acosB).(1)求A；若sinB=sinC，△ABC的面積為，求