隨機(jī)向量

二維隨機(jī)變量及其分布

在實(shí)際問題中，有很多隨機(jī)現(xiàn)象，往往需要引進(jìn)兩個(gè).

三個(gè)或更多個(gè)變量來描述，為此，有必要研究多維隨機(jī)變

?.本節(jié)主要對二維隨機(jī)變量展開討論，至于二維以上情形

可以類推.

一二維隨機(jī)變量及其分布

L定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為x和丫是定義在0上的兩

個(gè)隨機(jī)變員,我們稱向量（X,丫）為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.

2?定義設(shè)（/丫）是一個(gè)二維隨機(jī)變量，二元函數(shù)

2）=y&y｝（-8<>v+8,-oo<y<+oo）

稱為（x,y）的分布函數(shù)，或稱x與丫的聯(lián)合分布函數(shù).

如果將（X,丫）看成是平面上的隨機(jī)點(diǎn)，則分布函數(shù)尸川表

示點(diǎn)（x,y）落在無限的矩形區(qū)城：“一8vx4x,-8〈丫4尸內(nèi)的概率,

容易看出隨機(jī)點(diǎn)（x,丫）落在隹形域：“&VX&,,的概率為

=F。2）一產(chǎn)（。A與）-F（。2,bD+尸（。1,b；）

二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)FQ,”有下列諸條性質(zhì)：

1。0<F(X,3)<1,

2°FO,”對工和y分別是單倜不減的，即對任意的％若/V

巧，則

F(rH?<F(x2,?)；

對任意的馬若力V。則

■小九)《尸(/—一

3°產(chǎn)a,刃對每個(gè)變元是右連續(xù)的;

4°lim產(chǎn)a,y)=(hlimF(t,y)=0；

—8Vf-8

JimF(x,y)=0ilimJF(X,y)=l,

X——8z-*+?

y一—8”+心

以上結(jié)果常記成：

F(—8,y)=0,F(x,—8)=o,

F(—8,-8)=0,F(+oo,4-oo)=1.

二二維離散型隨機(jī)變量

若二維隨機(jī)變量(X,K)的所有可能取的值是有限個(gè)或

可列無限多個(gè)數(shù)組，則稱(X,V)為二維匐散型隨機(jī)變量.

設(shè)(X,是二維離散型隨機(jī)變量，它的所有可能取值

為(工“打)，(h，=1,2,…)，其取值規(guī)律記為

P{X-xh/=/}=少仃，;=i,2,…)

則稱y=y力=力”《3；—1,2,…)為(x,y)

的分布律?分布律常用表格形式表達(dá)，其形式為

小yz

X.Pl1Pl2

x2力21222

PiIPiZ

滿足oWjpjjWi,EP*J=I

例i設(shè)隨機(jī)變量(X,y)只能取(一，o),(o,o,

<o,1)三組教，且取這些數(shù)對的概率分別是J,N4,試

23b

用表格形式列出(X,V)的分布律.

解由題意(X,P)的分布律為

0——

36

例2袋中有5個(gè)同樣大小的球，2個(gè)涂有白色，3個(gè)

涂有紅色，現(xiàn)進(jìn)行有放回地與無放回地抽球兩次，每次抽一

只，定義隨機(jī)變量

一rV。，若有第弟一次隊(duì)抽加到紅江球坪

(1,若第一次抽到白球

叫X=1,

尸（X=l,y=1y=2」=2

“542。

其表格形式為

o1

66

2020

62

?'

2020

【例】從1.2,3,4四個(gè)整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)，記所取的數(shù)為

X,再從1到X中隨機(jī)地取一個(gè)，記所取的數(shù)為匕求（羽丫）的分

布律.

解顯然X,丫均為離散型隨機(jī)變量，它們的可能取值均為

［，2,3,4.

當(dāng)IV］時(shí)，P*=P{X=i,丫=J}=0.

當(dāng)i），時(shí)，

P“=P{x=i,Y=j}=P{x=i}.p{y=j|x=i}

_11_1

4i4i,

（XY）的分布律:.

?■一工

X1234

**??

I?

1T000

i1

2TW00

ii1

30

12f212

A±±12

16161616

三二維連續(xù)型隨機(jī)變量

1.定義：設(shè)F以，爐為二維隨機(jī)變量（X,K）的分布

函數(shù)，如果對任意（孫G,存在非負(fù)可積函數(shù)/（孫必，便

X

產(chǎn)⑸y)=于(乂,y)d?dy

巴（孫J）WG}=，八孫U）dxdg

G

例3已知（X,P）的密度函數(shù)為

/（4,外=%6-*—）,2WyW4

10,其它

設(shè)（1）A為平面上由％<1,y<3所確定的區(qū)域（圖2—14）3

（2）。2為平面上由3+y<3所確定的區(qū)域（圖2—15〉.試求

」々（以刃￡?。?（3=1,2）.

解(1)。｛以，y)WDJ=F(l,3)

=U'dxdu

力13

=I/(x,y)dxdy

J-8J~8

(2)P{(x,y)C02}=jJfa，y)dxdy

..一5

Jb”J；W(6」一)d片最

例4設(shè)(X,Y)的密度函數(shù)為

無>0,?>0

0,其它

求Q)常數(shù)5(2)分布函數(shù)3(3)(X,V)落在三角形區(qū)

域y〉O,力W2-2%內(nèi)的概率(圖2—16).

解(D由密度函數(shù)性質(zhì)(2)

+00

有ce-3Wdxdy=i

也就是J」J。…“w

+8I+?

=。1—。-打[-。力I°=1

0

由此求得c=i

⑵E(K,y)=f[/(?,v)dudv

J-8J

"乂>o,

'o，其它

=[(l-eT)(l--D,x>0,y>0

Y。，其它

(3)P1(X9y)WG}=JJ/(x,y)dxdy

=j

=(1-07)2=0.3996

二維連續(xù)型隨機(jī)變量常見的分布

有均勻分布和正態(tài)分布.

L二維均勻分布「

設(shè)G是平面上面積為4（0Va<+8）的區(qū)域，稱二維隨機(jī)向

量（X,Y）服從G上的均勻分布，如果尸｛（X,Y）WG）=1,且（X,

丫）取值屬于G之任何部分ACA是G的子區(qū)域）的概率與A的面

積成正比，這時(shí)（X,Y）稱為二維均勻分布隨機(jī)向量.

均勻分布隨機(jī)向量（X,y）的聯(lián)合密度為

p（充

〔0，其它.

2?二維正態(tài)分布：

如果f=（x,y）的密度函數(shù)

pCr,夕）

二1

2HoM2Jl-d

（-8OV+8$—8VyV+8）

（其中一8<MV+8,一8<〃2<+8必>。，。2>0/0<1是5

個(gè)參數(shù)）則稱S=（X,Y）服從二維正態(tài)分布（或稱為二維正態(tài)分布

隨機(jī)向量），稱Rny）為二維正態(tài)密度.

四邊緣分布

通過上邊的討論，不難看出，二維隨機(jī)變量的每一個(gè)分?

量又都是j維隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)當(dāng)然是一維的，又

由于（X,作為一個(gè)整體又有聯(lián)合分布，那么分量的分布.

與聯(lián)合分布必然存在某種聯(lián)系，這一點(diǎn)表現(xiàn)出分量分布與前

邊所講的一維分布不完全相同，于是引入邊緣分布溉念.

1離散型隨機(jī)變量的邊緣分布

設(shè)（X,P）的聯(lián)合分布律為尸（心

，=/2,…），：可得

戶工3）=廣（N，+8）=￡Epa

fN1

可知X的分布律為

第

i-1

同樣，V的分布律為

｛Y=vA=E力j=i,2,…?

<=i

記

力.=￡辦）=產(chǎn)｛才=，才，？=2，…,

八1

力一=￡〃）=卜、｛9=?仆，，=1,2,…，

顯然，x與y的分布也是離散型的.

邊緣分布律與聯(lián)合分布律可用同一表格表達(dá)出來，其形

式如下：

例5已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為

'y

V.723

32

3030

6g

3030

42

3030

求關(guān)于X和關(guān)于V的邊緣分布律.

解先列表計(jì)算

由此得到關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣分布律分別為

X一123

5187

303030

Y-123

色1111

30-3030

顯然關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)9-“)是連續(xù)型的，其密度

函數(shù)為

y5(x)=［，笈，y)dy.

J-8

同理

fY(U)=ff(x,U)d乂

J-8

是關(guān)乎P的邊緣密度函數(shù).

當(dāng)已知二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度pir.y

1

))

時(shí),求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布密度時(shí)，須計(jì)算積分

廣.3

辦(N)=pCr,y)dy,

J-oo

「+8

隊(duì)3)=p(*，y)d].

J_oo

當(dāng)pCr，y)的表達(dá)式分區(qū)域給出，并且在某些區(qū)域上P(n?)=0,

為了計(jì)算積分

px8=J—8

首先要根據(jù)力(不”的表達(dá)式，確定彳的取值的某些范圍.在這些

范圍內(nèi)，對任意,有力(1，？＞=。，于是，當(dāng)N在這些范圍內(nèi)取值時(shí)

加Cr)=O,工在這些范圍之外取值時(shí)，把N視為常數(shù)，確定y的取

值范圍，使〃石7)#0,從而積分

8

p(x,y)dy

J—8

化為在上述的取值范圍內(nèi)的積分.一般,對n積分的上、下限可能

是H的函數(shù)，計(jì)算

f+g

Py(y)=p(1,y)<lr

J-R

的方法與Px(幻類似.

例6設(shè)(X,V)在平面區(qū)域G(圖2T9所示)上服從

均勻分布，求(D關(guān)于(X,y)的聯(lián)合分布密度函數(shù)，(2)關(guān)

于x和關(guān)于y的邊緣密度函數(shù).

解(1)G的面積為S(G)=1,因此得(X,匕)的聯(lián)合

密度函數(shù)為

rf1,(%,y)WG

y)=1

10,其石

(2)先求關(guān)于X的邊緣密度函數(shù).

當(dāng)nWO或方＞2時(shí)，顯然，八⑺…

圖2-19

當(dāng)0<x<2時(shí)，

/x（%）=JfUyy）dy=jJdy+Jjzldy

4-J*0如=1-.★

2

從而/xG）=1一2'°<”<2

（0,其它

同理求得關(guān)于y的邊緣分布密度函數(shù)

「2（1—，0<!/<1

/r（y）=人甘…

'0,其它

【例8】P.109——例1.7

例7設(shè)（X,V〉服從二維正態(tài)分布，它的密度函數(shù)為

2（1一戶）

?「I，（??”1?一,—?出??V一??'2D?。一"?（",■??-7"i）《y一》2〉?十四^!]}

L

或關(guān)于X與關(guān)于P的邊緣密度函數(shù).

解令巴二mj更二區(qū)二。

:卬⑶口的=前?孑

fxW7r

。+8一.----―「（H一火1）2一2。（"一"2）.（1/i]2>2

。］

10241-以）L202J

J?ee

可見關(guān)于X的邊緣分布為N(出，a/).

由對稱性知關(guān)于P的邊緣分布為N(出，a/),

-(”-2)2

即"3)=7方不2。22

例7告訴我們?二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維

正態(tài)分布，而且均與參數(shù)。無關(guān).該例還進(jìn)一步表明］邊緣

分布由聯(lián)合分布唯一確定，而反過來，一般情況下邊緣分布

不能確定聯(lián)合分布.

即一般情況下(0工0)

/(")?/(%)fY(y)

五隨機(jī)變■的獨(dú)立性

例7的結(jié)論指出，一般情況下邊緣分布不能確定聯(lián)合分

布，這里隱含著在特殊情況下，邊緣分布還可以確定聯(lián)合分

布，這種特殊情況是由*與Y間的相互關(guān)索所決定的，我們

把這種關(guān)系稱為x&y的相互獨(dú)立性，下邊給出具體定義.

設(shè)Fg.U),Fx⑺,F-y)分別是(X,V)的聯(lián)合分

布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)，若對?一切的二和y都有

F(%y)=F7(^)Fr(y>

則稱隨機(jī)變量X與P相互獨(dú)立.

利用事件的相互獨(dú)立性定義及分布函數(shù)與密度函數(shù)間的

關(guān)系，可以推出隨機(jī)變量相互獨(dú)立性有如下等價(jià)關(guān)系,

(1)若(X,是離散型隨機(jī)變量，X與V相互獨(dú)立的

充分必要條件是，對(X,的所有可能取值(9,外)都有

儲尸》i?p.sG\j=L2,…）

（2）若（X,V）是連續(xù)型隨機(jī)變量，則X與V相互獨(dú)立

的充分必耍條件是，對一切的王，y都有

f（x,y）=fi〈x）3（y）

下面給出（2）的證明：

如果X、Y相互獨(dú)立，則由

[I/（%，y）dxdys

J—BJ-Ct

=（j/工a）**〉；/]/"?〃'）

這說明X、V相互獨(dú)立.

【注意】（1）在判斷X和y是否相互獨(dú)立時(shí),首先由（X,y）的概率

分布（分布密度）求出關(guān)于x的邊緣分布（邊緣分布密度）和關(guān)于

y的邊緣分布（邊緣分布密度），再確定其獨(dú)立性.

"）聯(lián)合密度決定邊緣密度,一般講，邊緣密度

不能決定聯(lián)合密度，但當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí),兩個(gè)邊緣密度PXCT）

和力（外的乘積就是聯(lián)合密度，也就是說,當(dāng)x,y獨(dú)立時(shí)，邊緣密

度也能確定聯(lián)合密度.

（3）由例7知，二維正態(tài)分布，

f（x,y）^fx（x）fY（y）9（夕工0）

若（X,Y）服從二維正態(tài)分布，則它們相互獨(dú)立的充要條件是p=0。

例8設(shè)（X,卜）?的聯(lián)合分布律為

、\\K

X'、02

1212

2202020

1212

202020

24

2一?，▲—

202020

問X與V是否相互獨(dú)立?

Pij=Pi.p.ja,/=i,2,3)

???x,y是相互獨(dú)立的.

例9證明例6中兩隨機(jī)變量不相互獨(dú)立.

證由例6知

r19(必j)€G

“必

y)i,0,其它

0<%<2

于x(x)=

0,其它

,、2(l-y)0<y<l

“')氣r。，5其它.

在/（乂，A<x）,的連續(xù)點(diǎn)處〉

/x（孩:,f?）=i顯然

，仔，1產(chǎn)危樓外傳）

故X與丁不相互獨(dú)立

例1。證明到7中的兩個(gè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立的

充分必要條件是。=久

證設(shè)x與丫相互獨(dú)立.出例7知x與y的密度函數(shù)分

別是，fx^2",9

1_2"

/Y(&》-e於

」Y“M27r力

例”設(shè)（X,P）的分布函數(shù)是

1-e-十6-。,。卜…、>0,

尸(與")={xy>Q

°，其它

問（1〉X與丫是否相互獨(dú)立（2）求P{X>120,V2120}

?<1>x與P的邊緣分布函數(shù)是

1一十。，。\

XK)KC

F(=F(,+0)=I0,“V。

1一「。皿、y^Q

Fy(y)-F(+co,y)={

10.U<Q

對一切的#,U都有.??

F(*y)=FxQ)尸Y(U)

故X與丫相互獨(dú)立.

<2)由于x與丫相互獨(dú)立，

F{X>120,F>120}=F{X>120}P{r>120}

=11一P4X〈12O}[11—戶{YV120}：!

=：l-Fx(120)Kl-Fy