2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練

解直角三角形的應(yīng)用

1.某數(shù)學(xué)實(shí)踐小組測量某古塔A8,如圖，8是一個(gè)斜坡，坡面8的坡度為：j=l:2,

在斜坡點(diǎn)C處測得塔頂A處的仰角為45。，古塔48與水平地面8。垂直，測得Cr>=20米,

BD=5米,求古塔AB的高.（結(jié)果精確到0.1米.已知點(diǎn)A、B、C、。都在一個(gè)平面中，參

考數(shù)據(jù)：y/5?2.24）

2.近幾年中學(xué)生近視的現(xiàn)象越來越嚴(yán)重，為響應(yīng)國家的號召，某公司推出了如圖1所示的

護(hù)眼燈，其側(cè)面示意圖（臺燈底座高度忽略不計(jì)）如圖2所示，其中燈柱3C=18cm,燈臂

CD=31cm,燈罩DE=24cm,BC±AB,CD、DE分別可以繞點(diǎn)C、。上下調(diào)節(jié)一定的角

度.

⑴若將8繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動使得ZBCD=135。，CO與DE之間的夾角/CDE=105。，求點(diǎn)C與點(diǎn)

E之間的水平距離；

（2）經(jīng)使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)E點(diǎn)到水平桌面的距離為41cm—43cm時(shí)，臺燈光線最佳.當(dāng)/DCS=140。,

且//AB時(shí),試通過計(jì)算說明此時(shí)光線是否最佳.（精確到0.1cm,參考數(shù)值：sin50°?0.77,

cos50°?0.64,tan50°?1.19)

3.“忠義”是構(gòu)成中華民族精神特質(zhì)和文化品格的重要組成部分，東漢名將關(guān)羽是中華傳統(tǒng)

忠義文化的代表和典范.如圖1所示是坐落于山西運(yùn)城常平村關(guān)公故里的“關(guān)帝圣像”.關(guān)帝

一手提青龍偃月刀，一手捋美髯飄須，偉岸挺拔，分外壯觀，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量“關(guān)

帝圣像”雕塑高度的實(shí)踐活動.具體過程如下：如圖2,“關(guān)帝圣像”雕塑A3位于垂直地面的

基座上，基座高19m,身高1.7m的小明DE在雕塑前方的。處測得“關(guān)帝圣像”頭頂A

的仰角為68。，測得“關(guān)帝圣像”腳底B的仰角為29。，求“關(guān)帝圣像”雕塑A8的高度.（A氏C

三點(diǎn)在同一直線上，ACLCD,結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：

sin29°x0.48,cos290?0.87,tan29°?0.55,sin68°?0.93,cos68°=0.37,tan68°?2.48）

ffll

4.科技社團(tuán)選擇學(xué)校游泳池進(jìn)行一次光的折射實(shí)驗(yàn)，如圖，光線自點(diǎn)8處發(fā)出，經(jīng)水面點(diǎn)E

折射到池底點(diǎn)A處.已知距與水平線的夾角a=36.9。，點(diǎn)3到水面的距離BC=1.20m,點(diǎn)

A處水深為1.20m,到池壁的水平距離AD=2.50m,點(diǎn)3,C,。在同一條豎直線上，所有

點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi).記入射角為夕，折射角為7,求人的值（精確到0」，參考數(shù)據(jù)：

sin/

sin36.9°?0.60,cos36.9°?0.80,tan36.9°?0.75）.

5.乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內(nèi)，共九級，為碎框架式結(jié)構(gòu)，造型獨(dú)特

別致，遠(yuǎn)可眺太子山露骨風(fēng)月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹.某校數(shù)學(xué)興

趣小組在學(xué)習(xí)了“解直角三角形”之后，開展了測量乾元塔高度48的實(shí)踐活動.A為乾元塔

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的頂端，AB13C,點(diǎn)C,O在點(diǎn)8的正東方向，在C點(diǎn)用高度為1.6米的測角儀（即CE=1.6

米）測得A點(diǎn)仰角為37。，向西平移14.5米至點(diǎn)。，測得A點(diǎn)仰角為45。，請根據(jù)測量數(shù)據(jù)，

求乾元塔的高度AB.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

圖1圖2

6.圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿人3C,活動桿AD可繞

點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，8為液壓可伸繾支撐桿，已知AB=10cm,3c=20cm,AD=50cm.

（1）如圖②，當(dāng)活動桿AD處于水平狀態(tài)時(shí)，求可伸縮支撐桿8的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）如圖③，當(dāng)活動桿AD繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度。，且tana（a為

銳角），求此時(shí)可伸縮支撐桿8的長度（結(jié)果保留根號）.

7.如圖，有一條河流自北向南穿過某公園，河流的上游有一座橋梁8,A地和2地都有休

閑步道與橋梁8相連.為方便市民游覽，在河流的下游新建了橋梁EF和休閑步道反，BF

（點(diǎn)A,E,F,B在同一水平直線上），橋梁所與橋梁8平行，且EF=1.5CD.經(jīng)過測量，

橋梁8的一端C在A地的北偏東65。方向，另一端3在8地的北偏西45。方向，8地在A

地的正東方向.A,B兩地相距870米，A,C兩地相距650米.

⑴求橋梁所的長度；（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin65°?0.91,cosc65°?0.42,

tan65°?2.14）

⑵周末，小明和爺爺在公園里游玩，他們同時(shí)從A地向B地出發(fā)，小明的路徑為A-CTDTB,

平均速度為100米/分鐘；爺爺?shù)穆窂綖槠骄俣葹?0米/分鐘.請判斷，誰

先到達(dá)B地？并說明理由.（參考數(shù)據(jù)：0^1.41）

8.中國的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對太空的興趣.某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點(diǎn)尸恰好

看到一顆星星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離2Q=4m,仰角為a；淇淇向前走了3m后到達(dá)

點(diǎn)、D,透過點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為口，如圖是示意圖.已知，淇淇的眼睛與水平地面8。

的距離A3=CD=1.6m,點(diǎn)P到8。的距離P0=2.6m,AC的延長線交PQ于點(diǎn)E.（注：

圖中所有點(diǎn)均在同一平面）

（1）求用的大小及tanc的值；

（2）求CP的長及sinZAPC的值.

9.如圖1是一款不倒翁玩偶，如圖2是該玩偶的主視圖，其中半圓。與直線機(jī)相切于點(diǎn)C,

直徑即〃“，且BD=10cm,ZABD=ZEDB=10°,/BAG=NDEF=40。,線段AG,EF

的延長線過圓心。.

圖1圖2圖3圖4

⑴求點(diǎn)A到直線機(jī)的距離；

（2）如圖3是該玩偶的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，已知線段GB的中點(diǎn)H在。上，在點(diǎn)”處懸掛了一個(gè)

小鈴鐺，小鈴鐺左右兩側(cè)對稱的位置安裝金屬板跖V和尸Q,點(diǎn)、N,Q在半圓0上.當(dāng)不

倒翁正立時(shí)，小鈴鐺恰好位于圓心。處；當(dāng)不倒翁傾斜置小鈴鐺剛好碰到右側(cè)金屬板P。時(shí)

（如圖4）,點(diǎn)。與切點(diǎn)C重合，此時(shí)懸線.所在直線與直線，"垂直.已知兩塊金屬板之

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間的距離NQ與線段G/的長相等，懸線H0的長為5cm,小鈴鐺的擺動角度為21。，求此時(shí)

小鈴鐺O'與直線機(jī)的距離.(結(jié)果精確到Qlcm,參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.94,cos70°?0.34,

tan70°?2.75,sin21°?0.36,cos21°?0.93,tan21°?0.38)

10.如圖，小剛利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識測量大橋立柱在水面以上的高度MN.在橋面觀測點(diǎn)A

處測得某根立柱頂端〃的仰角為30。，測得這根立柱與水面交匯點(diǎn)N的俯角為15。，向立柱

方向走40米到達(dá)觀測點(diǎn)8處,測得同一根立柱頂端M的仰角為60。.已知點(diǎn)A,B,C,M,

N在同一平面內(nèi)，橋面與水面平行，且垂直于橋面.(參考數(shù)據(jù)：sinl5°?0.26,

cos15。=0.96,tan15°?0.27,73?1.73）

(1)求大橋立柱在橋面以上的高度MC(結(jié)果保留根號)；

(2)求大橋立柱在水面以上的高度MN(結(jié)果精確到1米).

11.如圖1是一款訂書機(jī)，其平面示意圖如圖2所示，其主體部分矩形A3CD由支撐桿GE垂

直固定于底座上，其中BC=2cm,GE=1.5cm,壓桿Cb=6cm,ZFCD=150°,使用

過程中矩形ABC?？梢岳@點(diǎn)E旋轉(zhuǎn).

圖1

(1)訂書機(jī)不使用時(shí)，如圖2,AB//MN,求壓桿端點(diǎn)下到底座的距離;

(2)使用過程中，當(dāng)點(diǎn)3落在底座上時(shí)，如圖3,測得NGBE=15。，求壓桿端點(diǎn)尸到底

座MN的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin15°?0.26,cos15°?0.97,結(jié)果精確到0.1cm）

12.一天早上，小剛和小明利用無人機(jī)測量物體的高度.如圖，某高樓又。上有一個(gè)信號發(fā)

射塔當(dāng)無人機(jī)飛行至地面正上方的A處時(shí)，測得塔頂端尸的仰角a為37。，此時(shí)無人

機(jī)離地面的距離兒?=18米；無人機(jī)繼續(xù)向前水平飛行至。處，測得塔頂端尸的仰角夕為64。,

此時(shí)無人機(jī)離地面的距離CD=18米.己知BC=25米，點(diǎn)&C、。在同一條直線上，求發(fā)

射塔頂端到地面的高度(即PQ的高度)為多少？(參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,

tan37°?0.75,sin640?0.90,cos64°?0.44,tan64°?2.00)

13.如圖，大壩橫截面的迎水坡AD的坡比為4:3,背水坡BC的坡比為1:2,大壩高上=40

米，壩頂寬CO=15米，

(1)求大壩橫截面的面積；

(2)求大壩橫截面的周長.(坡比指斜坡豎直距離與水平距離的比值)

14.如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B,。兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正

東方向的C港裝運(yùn)新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏

東60。方向航行一定距離到達(dá)C港.乙貨輪沿A港的北偏東60。方向航行一定距離到達(dá)。港,

再沿南偏東30。方向航行一定距離到達(dá)C港.(