最值系列之瓜豆原理

在輔助圓問題中，我們了解了求關于動點最值問題的方式之一一求出動點軌跡，即可求出關于動點的

最值.

本文繼續(xù)討論另一類動點引發(fā)的最值問題，在此類題目中，題目或許先描述的是動點P,但最終問題問

的可以是另一點Q,當然P、Q之間存在某種聯(lián)系，從P點出發(fā)探討Q點運動軌跡并求出最值，為常規(guī)思路.

一、軌跡之圓篇

引例1：如圖.P是圓O上一個動點,A為定點連接AP,Q為AP中點

考慮：當點P在圓。上運動時，Q點軌跡是？

【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓0有什么關系?

考慮到Q點始終為AP中點，連接A0,取A0中點M,則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是0P

一半,任意時刻，均有AAMQs/XAOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.

【小結】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得:A、M、。三點共線，由Q為AP

中點可得:AM=1/2AO.

Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放.

根據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；

根據動點之間的數(shù)量關系分析軌跡圓半徑數(shù)量關系.

引例2：如圖，P是圓。上一個動點，A為定點，連接AP,作2Q1HP且AQ=AP.

考慮：當點P在圓。上運動時，Q點軌跡是？

【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉90。得AQ,故Q點軌跡與P點軌跡都是

圓接下來確定圓心與半徑.

考慮AP14Q,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM1AO;

考慮AP=4Q,可得Q點軌跡圓圓心M滿足，AM=AO,,且可得半徑MQ=PO.

即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO=AAQM.

引例3:如圖,UPQ是直角三角形，NP4Q=90。且4P=2AQ,,當P在圓O運動時，Q點軌跡是?

【分析】考慮AP1AQ,,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM140;考慮AP-AQ=2:1,可得Q點軌跡圓圓心

M滿足.AO-.AM=2:1.即可確定圓M位置，任意時刻均有△APOA2QM,且相似比為2.

為了便于區(qū)分動點P、Q,可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”.

此類問題的必要條件：兩個定量

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（/PAQ是定值）；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP：AQ是定值）.

Q

【結論】⑴主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：ZPAQ=ZOAM;

(2)主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：

AP:AQ=AO:AM,也等于兩圓半徑之比.

按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關系相當于旋轉+伸縮.

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.

【思考1］：如圖，P是圓0上一個動點，A為定點，連接AP,以AP為一邊作等邊△APQ.

考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？

【分析】Q點滿足(l)NPAQ=60。;⑵AP=AQ,故Q點軌跡是個圓：

考慮4PAQ=60。,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AMAO=60°;

考慮AP=AQ,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO,且可得半徑MQ=PO.

即可確定圓M位置,任意時刻均有AAPO注△AQM.

【小結】可以理解AQ由AP旋轉得來，故圓M亦由圓O旋轉得來，旋轉角度與縮放比例均等于AP

與AQ的位置和數(shù)量關系.

【思考2】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP,以AP為斜邊作等腰直角.△APQ.

考慮：當點P在圓O上運動時，如何作出Q點軌跡？

Q

【分析】Q點滿足⑴NPAQ=45。;⑵AP+AQ=V2:l,故Q點軌跡是個圓.

連接A0,構造/OAM=45。且,AO-.AM=V2:1,M即為Q點軌跡圓圓心，此時任意時刻均有AAOPs4

AMQ.即可確定點Q的軌跡圓.

【練習】如圖，點P(3,4),圓P半徑為2,A(2.8,0),B(5.6,0),M是圓P上的動點,C是MB的中點，則AC

的最小值是—.

【分析】M點為主動點，C點為從動點，B點為定點.考慮C是BM中點，可知C點軌跡：取BP中點

。，以O為圓心，OC為半徑作圓，即為點C軌跡.

當A、C、O三點共線且點C在線段OA上時，AC取到最小值，根據B、P坐標求O,利用兩點間距離

公式求得OA,再減去OC即可.

如圖，在等腰1Rt△力BC中,AC=BC^2vx點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當

半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為

【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點，可確定M點軌跡：

取AB中點O,連接CO取CO中點D,以D為圓心,DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點，則弧

EF即為M點軌跡.

當然，若能理解M點與P點軌跡關系，可直接得到M點的軌跡長為P點軌跡長一半，即可解決問題.

如圖.正方形ABCD中,AB=2V5,O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2,連接DE,將線段

DE繞點D逆時針旋轉90。得DF,連接AE、CF.求線段OF長的最小值.

【分析】E是主動點，F(xiàn)是從動點，D是定點，E點滿足EO=2,故E點軌跡是以O為圓心，2為半徑

考慮DEXDF且DE=DF,故作DMXDO且DM=DO,F點軌跡是以點M為圓心,2為半徑的圓.

直接連接OM,與圓M交點即為F點，此時OF最小.可構造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求

得OM,減去MF即可得到OF的最小值.

【練習】△4BC中MB=4,4C=2,以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于點O,則線段

AO的最大值為.

【分析】考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB,將AC看成動線段，由此引發(fā)

正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值根據AC=2,可得C點軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓.

接下來題目求A0的最大值，所以確定0點軌跡即可，觀察ABOC是等腰直角三角形，銳角頂點C的

軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以0點軌跡也是圓，以AB為斜邊構造等腰直角三角形，直角頂點

M即為點0軌跡圓圓心.

連接AM并延長與圓M交點即為所求的點O,此時AO最大，根據AB先求AM,再根據BC與BO的

比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO,相加即得AO.

此題方法也不止這一種，比如可以如下構造旋轉，當A、C、A，共線時，可得A0最大值.

或者直接利用托勒密定理可得最大值.

二、軌跡之線段篇

弓I例:如圖,P是直線BC上一動點，連接AP,取AP中點Q,當點P在BC上運動時,Q點軌跡是?

【分析】當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線.

可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為4P=24Q,所以

QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線.

【弓I例】如圖,AAPQ是等腰直角三角形,NPAQ=90。且AP=AQ,當點P在直線BC上運動時,求Q點軌跡?

【分析】當AP與AQ夾角固定且AP：AQ為定值的話,P、Q軌跡是同一種圖形.

當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點

位置，連接即得Q點軌跡線段.

Qi

Q\

如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為22舊的一個定點，AC1x軸于點M,交直線y=-x于點N,

若點P是線段ON上的一個動點，.NAPB=30°,BA1PA?則點P在線段ON上運動時,A