備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點分類專練（全國通用）

專題33四邊形壓軸綜合問題

一、解答題

1.（2022?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐，【問題情境】：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,

在正方形中，E是2C的中點，AE1EP,E尸與正方形的外角ADCG的平分線交于尸點.試猜想/￡

與￡尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

圖1圖2

圖3

（1）【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取的中點尸，連接M可以解決這個問題.請在圖1中補全圖形，解答老

師提出的問題.

（2）【實踐探究】希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,在正方形/BCD

中，E為BC邊上一動點（點￡,3不重合），△力EP是等腰直角三角形，^AEP=90°,連接CP,可以求出

ADCP的大小，請你思考并解答這個問題.

（3）【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3,在正方形

48C3中，E為BC邊上一動點（點E,8不重合），△AEP是等腰直角三角形，2力“=90。，連接。P知

道正方形的邊長時，可以求出AADP周長的最小值.當AB=4時，請你求出AADP周長的最小值.

2.（2022?廣東廣州?中考真題）如圖，在菱形/BCD中，ZBAD=120°,AB=6,連接8。.

（1）求3。的長；

⑵點E為線段8。上一動點（不與點8,。重合），點E在邊4D上，且BE=?F,

①當CEL/2時，求四邊形/AE1廠的面積；

②當四邊形48環(huán)的面積取得最小值時，CE+WCF的值是否也最??？如果是，求“+遮。廠的最小值；如

果不是，請說明理由.

3.（2022?上海?中考真題）平行四邊形4BCD,若P為BC中點，”交BD于點E,連接CE.

AA-------------------------77。

⑴若4E=CE,

①證明A8CD為菱形；

②若4B=5,AE=3,求BD的長.

（2）以力為圓心，AE為半徑，B為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點記為點F,且CE=加力已若尸在直線CE

上，求案的值.

4.（2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實踐

數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué).數(shù)學(xué)實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中

去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會數(shù)學(xué)實踐活動帶給我們的

樂趣.

如圖①，在矩形48CD中，點￡、F、G分別為邊3C、AB.4D的中點，連接斯、DF,X為。尸的中點,

連接G77.將ABEF繞點、B旋轉(zhuǎn),線段DRG8和CE的位置和長度也隨之變化.當45環(huán)繞點2順時針

旋轉(zhuǎn)90。時，請解決下列問題：

⑴圖②中，AB=BC,此時點￡落在的延長線上，點尸落在線段8C上，連接NF,猜想G"與CE之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）圖③中，AB=2,BC=3,貝?。蒹?;

⑶當48=機，時.器=.

（4）在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線NC,并沿對角線NC剪開，得△N8C（如圖④）.點〃、N

分別在/C、3c上，連接血W,將沿翻折，使點C的對應(yīng)點P落在48的延長線上，若平

分/APN,則CM長為.

5.（2022?吉林長春?中考真題）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學(xué)選用了常見的/4紙，如圖①，矩

形力BCD為它的示意圖.他查找了/4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中力D=他先將/4紙沿

過點/的直線折疊，使點8落在AD上，點8的對應(yīng)點為點￡,折痕為力F；再沿過點尸的直線折疊，使點C

落在EF上，點C的對應(yīng)點為點〃，折痕為FG；然后連結(jié)力G,沿4G所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點。與點尸

重合，進而猜想△力DG三△4FG.

ED

圖①圖②

【問題解決】

(1)小亮對上面△ADG三△AFG的猜想進行了證明，下面是部分證明過程：

證明：四邊形力BCD是矩形，

."BAD==NC=4。=90°.

由折疊可知，NB4F==45°,ABFA=AEFA.

：.^EFA=4BFA=45°.

：.AF=正AB=AD.

請你補全余下的證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】

(2)〃AG的度數(shù)為度，黑的值為；

Ar

(3)在圖①的條件下，點P在線段A尸上，且42=m力3,點。在線段4G上，連結(jié)FQ、PQ,如圖②，設(shè)力B=a,

則FQ+PQ的最小值為.(用含a的代數(shù)式表示)

6.(2022?吉林長春?中考真題)如圖，在口力BCD中，AB=4,AD=BD=V13，點M為邊力B的中點，動

點尸從點/出發(fā)，沿折線4D-DB以每秒舊個單位長度的速度向終點8運動，連結(jié)PM.作點/關(guān)于直線

PM的對稱點4,連結(jié)4P、A,M.設(shè)點P的運動時間為/秒.

⑴點。到邊力B的距離為.

⑵用含t的代數(shù)式表示線段。P的長;

(3)連結(jié)4D,當線段4D最短時，求△DP4的面積;

（4）當M、4、C三點共線時，直接寫出/的值.

7.（2022?山東臨沂?中考真題）已知AABC是等邊三角形，點8,。關(guān)于直線NC對稱，連接/￡>,CD.

（1）求證：四邊形N5CD是菱形；

（2）在線段NC上任取一點尸（端點除外），連接PD.將線段尸。繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點。落在A4延長線

上的點。處.請?zhí)骄浚寒旤c尸在線段/C上的位置發(fā)生變化時，ADPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由.

（3）在滿足（2）的條件下，探究線段N。與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

8.（2022?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）已知點E在正方形2BCD的對角線4C上，正方形AFEG與正方形ZBCD有公

（1）如圖1,當點G在力。上，F(xiàn)在上，求就的值為多少；

⑵將正方形力FEG繞月點逆時針方向旋轉(zhuǎn)a（（T<a<90。），如圖2,求：器的值為多少；

Du

（3MB=8V2,AG^^-AD，將正方形力FEG繞月逆時針方向旋轉(zhuǎn)a（0。<a<360。），當C,G,E三點共線時,

請直接寫出DG的長度.

9.（2022?廣西?中考真題）已知NMON=a,點4,3分別在射線OM,ON上運動，AB=6.

人60。I

oBB'NOBBN

圖①圖②圖③

(1)如圖①，若a=90。，取中點，點/,3運動時，點。也隨之運動，點的對應(yīng)點分別為

連接。D,。。.判斷OD與。。有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：

(2)如圖②，若a=60。，以為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形/BC,求點。與點C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當點N,3運動到什么位置時，△力。B的面積最大?請說明理由，并求出AAOB面積

的最大值.

10.(2022?遼寧?中考真題)如圖，在△ABC中，AB=AC=2V5,BC=4,D,E,尸分別為AC,4的中

點，連接

AA

pM

(1)如圖1,求證:DF=/DE;

(2)如圖2,將NED尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到NPDQ,當射線DP交42于點G,射線DQ交BC于點N

時，連接FE并延長交射線DP于點判斷FN與EM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當DP_L4B時，求DN的長.

11.(2022?貴州貴陽?中考真題)小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進行了拓展探究.

如圖，在MBCD中，AN為BC邊上的高，當=機，點M在力。邊上，且BA=BM,點E是線段AM上任意一點，

連接8E,將4A8E沿BE翻折得△FBE.

(1)問題解決：

如圖①，當NB4D=60。，將AABE沿BE翻折后，使點F與點M重合，則警=；

(2)問題探究：

如圖②，當N8AD=45。，將AABE沿BE翻折后，使EF||BM,求N4BE的度數(shù)，并求出此時小的最小值；

(3)拓展延伸:

當乙BAD=30。，將△ABE沿BE翻折后，若EF_LAD,且力E=MD,根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出

加的值.

12.(2022?遼寧營口?中考真題)如圖1,在正方形ABCD中，點M為CD邊上一點，過點M作MN1CD且DM=

MN,連接DN,BM,CN,點、P,。分別為BM,CN的中點，連接PQ.

(1)證明：CM=2PQ；

(2)將圖1中的△DMN繞正方形力BCD的頂點D順時針旋轉(zhuǎn)磯0。<a<360°).

①(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請結(jié)合圖2寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

②若力B=10,DM=2*，在AOMN繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，當B,M,N三點共線時，請直接寫出線段PQ

的長.

13.(2022?福建?中考真題)已知AABCmADEC,AB=AC,AB>BC.

(1)如圖1,CB平分/4CD,求證：四邊形/8AC是菱形；

(2)如圖2,將(1)中的△CDE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于BC,的延長線相交于點尸，

用等式表示NNCE與/即。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,將(1)中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于N48C),若乙BAD=LBCD,求乙4。8的

度數(shù).

14.(2022?湖南永州?中考真題)為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準備在耕地力、B、C、。四個位置安裝四

個自動噴酒裝置(如圖1所示)，A.3、C、。四點恰好在邊長為50米的正方形的四個頂點上，為了用水管

將四個自動噴灑裝置相互連通，爸媽設(shè)計了如下兩個水管鋪設(shè)方案(各圖中實線為鋪設(shè)的水管).

方案一：如圖2所示，沿正方形2BCD的三邊鋪設(shè)水管；

方案二：如圖3所示，沿正方形力BCD的兩條對角線鋪設(shè)水管.

(1)請通過計算說明上述兩方案中哪個方案鋪設(shè)水管的總長度更短；

(2)小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂集原理”重新設(shè)計了一個方案(如圖4所示)，

滿足NAEB=ZCFD=120°,AE=BE=CF=DF,EF\\AD.請將小明的方案與爸媽的方案比較，判斷誰的

方案中鋪設(shè)水管的總長度更短，并說明理由.(參考數(shù)據(jù)：&=1.4,V3?1.7)

15.（2022?江蘇常州?中考真題）在四邊形力BCD中，。是邊BC上的一點.若△OAB三△OCD,則點。叫做該

四邊形的“等形點”.

⑴正方形“等形點”（填“存在”或“不存在”）；

（2）如圖，在四邊形2BCD中，邊BC上的點。是四邊形48CD的“等形點”.已知CD=4&，。4=5,BC=12,

連接力C,求AC的長；

⑶在四邊形EFGH中，EH//FG.若邊FG上的點。是四邊形EFGH的“等形點”，求差的值.

16.（2022?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在矩形N5C〃中，AB=6,8C=4,點M、N分別在/8、AD1.,且

點E為CD的中點，連接3￡交〃。于點足

（1）當尸為8E的中點時，求證：AM=CE；

⑵若黑2,求霽的值;

⑶若MN〃BE,求熟的值.

17.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在四邊形4BCD中，對角線力C與BD相交于點。，記△C。。的面積為

△力。B的面積為S2.

（1）問題解決：如圖①，若ABHCD,求證：興=甯

02UA'UD

（2）探索推廣：如圖②，若4B與CD不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說

明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在。4上取一點E,使。E=OC,過點￡作EFIICD交。。于點R點，為AB的中點,

OH交EF于點G,且。G=2GH,若胃=|，求之值.

C

18.（2022?黑龍江哈爾濱?中考真題）已知矩形ABCD的對角線力C,BD相交于點。，點E是邊4）上一點，連

接BE,CE,OE,S.BE=CE.

（1）如圖1,求證：4BEOACEO；

（2）如圖2,設(shè)BE與4C相交于點RCE與BD相交于點〃，過點。作AC的平行線交BE的延長線于點G,在不

添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形（△4EF除外），使寫出的每個三角形的面積都

與AAEF的面積相等.

19.（2022?四川成都?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，4。=加4B（n>1）,點E是4。邊上一動點（點E不

與力，D重合），連接BE,以BE為邊在直線BE的右側(cè)作矩形EBFG,使得矩形EBFG，矩形4BCD,EG交直線

CD于點H.

備用圖

F

⑴【嘗試初探】在點E的運動過程中，AABE與ADEH始終保持相似關(guān)系，請說明理由.

(2)【深入探究】若律=2,隨著E點位置的變化，”點的位置隨之發(fā)生變化，當H是線段CD中點時，求tan/ABE

的值.

(3)【拓展延伸】連接FH,當ABFH是以FH為腰的等腰三角形時，求tan/ABE的值(用含n的代數(shù)式表

示).

20.(2022?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中

我們研究過的兩個圖形.受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：

圖②

(1)【問題一】如圖①，正方形力BCD的對角線相交于點。，點。又是正方形公當?shù)摹５囊粋€頂點，。&交

于點E,0cl交BC于點F,則4E與BF的數(shù)量關(guān)系為；

(2)【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線機、n經(jīng)過正方形ABCD的對稱中心0,直線a分別與

AD,BC交于點E、F,直線n分另I」與48、CD交于點G、H,S.mLn,若正方形4BCD邊長為8,求四邊形。￡;4G

的面積；

(3)【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點G在正方形ZBCD的邊CD上，頂點E

在BC的延長線上，且BC=6,CE=2.在直線BE上是否存在點P,使AAPF為直角三角形？若存在，求出BP

的長度；若不存在，說明理由.

21.(2022?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)如圖，在平行四邊形A8CD中，AC是一條對角線，且A8=AC=5,8C=6,

E,F是力。邊上兩點，點尸在點E的右側(cè)，AE=DF,連接CE,CE的延長線與B4的延長線相交于點G.

圖1圖2

(1)如圖1,M是BC邊上一點，連接力M,MF,MF與CE相交于點N.

①若力E=|,求4G的長；

②在滿足①的條件下，若EN=NC,求證：AM1BC；

(2)如圖2,連接GF,“是GF上一點，連接若乙EHG=LEFG+乙CEF,且HF=2GH,求EF的長.

22.(2022?海南?中考真題)如圖1,矩形4BCD中，力B=6,4。=8,點尸在邊BC上，且不與點2、C重合,

直線4P與DC的延長線交于點E.

(1)當點尸是BC的中點時，求證：4ABp三4ECP；

⑵將AAPB沿直線力P折疊得到△AP2',點B'落在矩形ABCD的內(nèi)部，延長P2‘交直線4D于點?

①證明凡4=FP,并求出在(1)條件下4F的值;

②連接B'C,求△PC8'周長的最小值;

③如圖2,8B'交力E于點〃，點G是4E的中點，當=2乙4EB'時，請判斷力B與HG的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

23.(2022?黑龍江綏化?中考真題)我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩

腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個關(guān)系解決相關(guān)問題.

圖二圖三