2024-2025高二第一學(xué)期期末模擬試卷（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上。2.回答第I卷和第Ⅱ卷時(shí)，用黑色簽字筆把答案填寫到答題卡上。寫在本試卷上無效。一、單選題（每小題5分，共40分，請將答案填在答題卡相應(yīng)位置）1.某大學(xué)開設(shè)籃球、足球等5門球類選修課，要求每個(gè)學(xué)生都必須選擇其中的一門課程.現(xiàn)有小明、小強(qiáng)、小豆3位同學(xué)進(jìn)行選課，其中小明不選籃球和足球，則不同的選課方法共有（）A.36種 B.60種C.75種 D.85種【答案】C【解析】【詳解】小明有三種選課方法，小強(qiáng)和小豆各有五種選課方法，故共有種選課方法.故選：C.2.設(shè)，且，則等于（）A. B.9 C. D.【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)?，?根據(jù)向量平行的性質(zhì)，可得.解得，.把，代入，可得.故選：B.3.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓與橢圓：的離心率相同，且的長軸長比其短軸長大4，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】設(shè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓：，由已知得，即①，又橢圓：的離心率為，所以②，①②聯(lián)立解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.4.已知四面體ABCD如圖所示，其中點(diǎn)為的重心，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】由點(diǎn)為的重心，故，則，即，則.故選：D.5.若直線與曲線至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】直線恒過定點(diǎn)，由，得到（），所以曲線表示以點(diǎn)為圓心，半徑為，且位于直線右側(cè)的半圓（包括點(diǎn)，1,0），如下圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)與半圓相切時(shí)，由，得，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與曲線至少有一個(gè)公共點(diǎn)，故選：B.6.如圖，在長方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，下列判斷中正確的個(gè)數(shù)為（）①直線；②平面；③平面ADM.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【詳解】設(shè)長方體棱長為，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則故,,故直線不成立，①不正確；在長方體中，平面，②正確，因?yàn)?，設(shè)平面ADM的法向量為，則，令，則，則，而，故，故平面ADM.不成立，故③錯(cuò)誤，故選：B7.從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有（）A.252個(gè) B.300個(gè)C.324個(gè) D.228個(gè)【答案】B【解析】【詳解】（1）若四位數(shù)中含有數(shù)字0不含數(shù)字5，則選法是，可以組成四位數(shù)個(gè)；（2）若四位數(shù)中含有數(shù)字5不含數(shù)字0，則選法是，可以組成四位數(shù)個(gè)；（3）若既含數(shù)字0，又含數(shù)字5，選法是，排法是若0在個(gè)位，有種，若5在個(gè)位，有種，故可以組成四位數(shù)個(gè)．根據(jù)加法原理，共有個(gè)．故選：Ｂ．8.過雙曲線的右焦點(diǎn)向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由題意得，，漸近線方程為.因?yàn)椋灾本€的方程為.由得，即，由得，即，所以，，因?yàn)?，所以，整理得，所以雙曲線的離心率.故選：D.二、多選題（每小題有兩個(gè)或三個(gè)正確答案，每小題全部選釋正確得6分，部分選對得部分分，錯(cuò)選或不選得0分，共18分，請將答案填在答題卡相應(yīng)位置）9.已知，分別為直線，方向向量，為平面的法向量，則（）A. B.C. D.直線與所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】【詳解】對于A，，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，是直線的方向向量，為平面的法向量，因?yàn)椋灾本€或直線，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)直線與所成的角為，，則，故D正確.故選：ABD.10.2024年國外某智庫發(fā)布尖端技術(shù)研究國家競爭力排名，在極超音速和水下無人機(jī)等23個(gè)領(lǐng)域中，中國在其中19個(gè)領(lǐng)域領(lǐng)先.某科技博主從這19個(gè)領(lǐng)域中選取了A，，，，，六個(gè)領(lǐng)域，準(zhǔn)備在2024年1月1—6日對公眾進(jìn)行介紹，每天隨機(jī)介紹其中一個(gè)領(lǐng)域，且每個(gè)領(lǐng)域只在其中一天介紹，則（）A.A，在后3天介紹的方法種數(shù)為144B.，相隔一天介紹的方法種數(shù)為96C.不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為504D.A在，之前介紹的概率為【答案】ACD【解析】【分析】對于ABC：根據(jù)題意結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)分析求解；對于D：根據(jù)排列組合結(jié)合古典概型分析求【詳解】A，在后3天介紹的方法種數(shù)為，A正確；，相隔一天介紹的方法種數(shù)為，B錯(cuò)誤；不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為（或），C正確：A在，之前介紹的概率為，D正確；故選：ACD.11.已知拋物線上任意一點(diǎn)處的切線方程可以表示為．直線、、分別與該拋物線相切于點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2、，、相交于點(diǎn)，與、分別相交于點(diǎn)、，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)落在一條定直線上B.若直線過該拋物線焦點(diǎn)，則C.D.【答案】BCD【解析】【詳解】對于A選項(xiàng)，由題意可知，直線的方程為，即①，同理可知，直線的方程為②，聯(lián)立①②可得，，即點(diǎn)，同理可得、，無法確定點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，若直線過該拋物線的焦點(diǎn)，若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)?，則，B對；對于C選項(xiàng)，由拋物線的定義可得，，由A選項(xiàng)可知點(diǎn)，易知點(diǎn)，所以，，C對；對于D選項(xiàng)，，，所以，，D對.故選：BCD.三、填空題（每小題5分，共15分．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）12.的展開式中的系數(shù)為____________.【答案】7【解析】【詳解】的展開式通項(xiàng)為，故的展開式中的系數(shù)為，故選：7.13.已知表示一個(gè)三位數(shù)，如果滿足且，那么我們稱該三位數(shù)為“凸數(shù)”，則沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為________．【答案】【解析】【詳解】由題意可知，在、、三個(gè)數(shù)中，最大，分以下兩種情況討論：①若、、中有一個(gè)為，則最大的數(shù)放中間，放在個(gè)位上，另外一個(gè)數(shù)放在百位上，此時(shí)，滿足條件的沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為個(gè)；②若、、三個(gè)數(shù)都不為零，則最大的數(shù)放中間，另外兩個(gè)數(shù)分別放在個(gè)位和百位上，此時(shí)，滿足條件的沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為.綜上所述，沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：.14.在棱長為的正方體中，、、分別為、、中點(diǎn)，、分別為直線、上的動點(diǎn)，若、、共面，則的最小值為______.【答案】【解析】【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)、，其中、，易知、，則，，，因?yàn)?、、共面，則存在、，使得，即，解得，所以，，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值為.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）15.已知點(diǎn)，，.（1）求線段的垂直平分線的方程；（2）已知圓過點(diǎn)，求圓的方程.【答案】（1）（2）【解析】【小問1詳解】依題意，設(shè)線段的中點(diǎn)為，因，，則，直線的斜率為：,故線段AC的垂直平分線的斜率為，故其直線方程為：，即；【小問2詳解】仿照（1），同理可求得線段的垂直平分線的方程為,即，由解得：，即圓心為，圓的半徑為：,故圓的方程為：.16.（1）計(jì)算；（2）已知.①求；②求.【答案】（1）252；（2）①；②1093【解析】【詳解】（1）由.（2）①在中，取得，取得……①，所以.②取得……②，①+②得，所以.17.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過拋物線焦點(diǎn)的直線和拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，，求直線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，所以橢圓中，因?yàn)闄E圓的離心率為，即，所以，，所以橢圓方程為【小問2詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易知此時(shí)，不合題意；所以直線斜率存在，設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線方程為y=kx?1，如下圖所：聯(lián)立得，設(shè)，則，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式可得，解得，，所以直線方程為或18.如圖，在三棱錐中，，，，二面角為直二面角，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置）.（1）若平面，求值；（2）若，求的值；（3）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的值.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【小問1詳解】由平面，平面平面，平面，故，又為線段的中點(diǎn)，故為線段的中點(diǎn)，即；【小問2詳解】由，則，則，由，，則，有，故，又二面角為直二面角，故平面平面，由平面平面，，平面，故平面，又平面，故，即有、、兩兩垂直，故可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有A0,0,0、、、、，即、、，設(shè)，則，若，則，解得，即，故；【小問3詳解】，，，則，設(shè)平面與平面的法向量分別為m=x1,y1,z，令，則有，，，，即可取、，由平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則有，整理得，解得或，即或，故或.19.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日是18世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，他創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動了空間解析幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學(xué)的寬厚基礎(chǔ)，根據(jù)他的研究成果，我們定義：給定橢圓C：.，則稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓為“橢圓C的伴隨圓”.已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在C上，且.（1）求橢圓C的方程以及橢圓C的伴隨圓的方程；（2）將向上平移6個(gè)單位長度得到曲線，已知，動點(diǎn)E在曲線上，探究：是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）已知不過點(diǎn)A的直線l：與橢圓C交于M，N兩