專題13平行四邊形

題型分析

何題型演練

題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解

1.在下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對邊相等B.對角相等C.對角線相等D.內(nèi)角和為360。

2.如圖,平行四邊形48co中，對角線AC、3。相交于點0,點E是C。的中點，則與A8C的面

積比為（)

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5

3.如圖,平行四邊形A8CO中，。的平分線BE交于E,AB=3,BC=8,則OE的長（）

A.4B.5C.5.5D.6

4.在YA8C。中，/48C的平分線交AO于點E,N8C。的平分線交A。于點尸，若A8=3,EF=2,則BC

的長是______.

5.如圖，平行四邊形A5CO中，點E在A。上，以跖為折痕，把二/WE向上翻折，點A正好落在C。邊的

點F處,若VU)石的周長為6,二尸C8的周長為20,那么。尸的長為.

7.如圖，在平行四邊形A8CO中，8。是它的一條對角線.

(1)尺規(guī)作圖：作4。的垂直平分線分別交A。，BC于點、E,尸(不寫作法，保留作圖痕跡);

(2)連接儲，若NOBE=25。，求ZAE4的度數(shù).

8.已知：YA8CO中，N8=52。，AE平分/班。交8c于E點.

⑴求N8AO的度數(shù);

⑵求NAEC的度數(shù).

題型二利用平行四邊形的性質(zhì)證明

9.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=3,AD=5,/A8C的平分線交A。于E,交CO的延長線于點尸,

貝ijD"_()

F

A.1

10.如圖，YABC。中，點。為對角線AC的中點，直線/經(jīng)過點O分別與VC,AD交與點M,N,下列結(jié)

論中，不一定成立的是（）

A.ZB=ZDB.BM=ANOM=ON

11.如圖，△A3。中，NZMC=45。，AB=AC=S,。為A3邊上的一動點，以以，PC為邊作平行四邊形

PAQC,則線段AQ長度的最小值為（）

A.6B.8D.4&

12.如圖，在YAAC。中，對角線AC,8。相交于點O,過點。作OE_LAC交AO于E,如果AE=4,。石

=3,DC=5,則AC長為.

13.如圖，在平行四邊形A8CO中，/8=45。，AD=2,E,”分別為邊AB,CD上一點.將平行四邊形

ABCD沿EH翻折，使得AD的對應(yīng)線段FG經(jīng)過點C,若FGLCD,C為FG的中點，則EF的長度為

A

E

'H

B

G

14.已知：如圖，在平行四邊形ABC。中，點E、尸為對角線8。上兩點，且NB4E=NDCF求證：BF=DE.

15.如圖，在Y4BCO中，AB<AD.

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：在A。上截取AE,使AEMB；作N8C。的平分線交A。于點足（保留作圖痕

跡，不寫作法）

⑵在（1）所作的圖形中，連接龐交。產(chǎn)于點G,證明：AF=DE.

16.如圖，在口ABC。中，DELACfE,BFLACfF,ZDAE=35°.

(1)求證：AAEDWACFB；

（2）求NCB/的度數(shù).

17.如圖，在平行四邊形ABC。中，ACYDE,AE=AD,AE交BC于。.

(1)求證：ZBCA=ZEAC；

(2)若CE=3,AC=4,求~COE的局長.

18.如圖，在平行四邊形A8C/J中，AB±BC,AC是對角線，AE是N84O的平分線，交邊DC的延長線

于點F.

（1）證明：CE=CF；

⑵若/8=60。，BC=2AB,寫出圖中長度等于23的所有線段.

：題型三判斷能否構(gòu)成平行四邊形?

!__________________________I

19.下列命題中，真命題的是（）

A.一組對角相等且?組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.一組對邊平行且一組對角互補的四邊形是平行四邊形

C.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

D.一組鄰邊相等且一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

20.下列四組條件中，不能判定四邊形ABC。是平行四邊形的是（）.

A.AB=DC,AD=BCB.AB〃DC,AD//BC

C.ABDC,AB=DCD.AB9DC,AD=BC

21.如圖，四邊形A8CQ的對角線AC和8。相交于點O,下列不能判定四邊形A8CO為平行四邊形的條件

是（）

A.OA-OC,AB//DCB./ABC-么DC,AD〃PC

C.ZABD=ZADB,ZBAO=ZDCOD.AB=DC,AD=BC

22.如圖，E是四邊形ABC。的邊BC延長線上的一點，且A8〃CO,則下列條件中不能判定四邊形48co

是平行四邊形的是（）

A.ZD=Z5B./3=/4C.Z1=Z2D.ZB=Z￡>

23.下列命題錯誤的是（）

A.一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形不一定是平行四邊形

B.一組對角相等且這一組對角的頂點所連接的對角線平分另一條對角線的四邊形不一定是平行四邊形

C.一組對角相等月這一組對角的頂點連接的對角線被另一條對角線平分的四邊形不一定是平行四邊形

D.?組對邊相等?組對角相等的四邊形不?定是平行四邊形

■■■■■J

;題型四證明四邊形是平行四邊形?

24.如圖，已知在四邊形5cOE中，CD〃BE,點F是OE的中點，連接C尸交跖于點A,且點上是A8的

中點，求證：四邊形/ecoE是平行四邊形.

25.如圖，已知在四邊形AC7元:中，CD〃BE,點F是DE的中點,連接交BE于點A,且點E是A3的

中點，求證：四邊形8COE是平行四邊形.

26.己知，點8,。在線段A/上，AD=BF,BC〃DE且BC=DE.

AD

E

(1)求證：

(2)連接4石，CF,求證：四邊形A￡FC是平行四邊形.

27.如圖，在ABC中，點。，E分別是AC,4B的中點，點尸是C8延長線上的一點，且b=38/"連

接DB,EF,CE.

A

CBF

(1)求證：四邊形灰尸8是平行四邊形；

(2)若NAC8=90。，CE=5cm,OE=：3cm,求四邊形O印書的面積.

28.如圖，點A,F,C,D在同一直線上，AB=DE,AF=CD,BC=EF.

(1)求證：/ACB^/DFE；

(2)連接BF,CE,直接判斷四邊形BFEC的形狀.

29.如圖，A8C中，。是AA邊上任意一點，尸是AC中點，過點C作CE〃人B交D尸的延長線于點E,

連接AE,CD.

￡￡

ADB

(1)求證：四邊形ADCK是平行四邊形：

(2)若4c=4,ZC4B=45°,AC=24>,求A8的長.

3().已知：如圖，在四邊形A8C0中，AB//CD,對角線4C、相交于點。且O是AC的中點.

⑴求證：二AOB/MOD；

(2)求證：四邊形ABC。是平行四邊形.

31.如圖，在四邊形ABB中，點E,C為對角線叱上的兩點，AB=DF,AC=DE,EB=CF.連接

A

⑴求證：四邊形是平行四邊形;

(2)若4E=AC,求證：AB=DB.

題型五利用矩形的性質(zhì)求角度和線段長度

32.如圖，矩形A8CO中，AC,BD交于點O,M,N分別為。。，OC的中點，若NA￡>8=65。，則NMM）

的度數(shù)為（）

A.25°B.30°C.60°D.65°

33.如圖，矩形A8CO中，OE1AC于E,且NA￡花：ZEZX?=3：2,則應(yīng)的度數(shù)為（）

34.如圖，矩形4BCO的頂點4C分別在直線m/，上，且a〃b,Nl=55。，則N2的度數(shù)為（）

A.35°B.45°

35.如圖，矩形A8C。的對角線AC=4,N3QA=120。，則A8的長是（）

A.>/3

36.如圖，點O為矩形A8C。對角線AC與“。的交點，若AC=6,則0。的長為()

37.如圖，矩形A8CO的對角線交于點O,BO=AB=4,則8C的長為()

A.4B.6C.8D.473

38.如圖，在矩形A8CO中，對角線AC,80相交于點O,A￡_L8D于點E,DFJ.AC于點F.

(1)求證：AE=DF.

(2)若N84￡:NE4D=2:3,求/￡4。的度數(shù).

39.如圖，在平行四邊形A8CO中，AEJL4c于點E,延長BC至點/，使CF=RE,連接。/，AF與DE交

于點0.

⑴求證：四邊形AE/g為矩形;

⑵若A6=3,OE=2,BF=5,求。尸的長.

An

40.如圖，在矩形A8C。中，E是BC上一點,。尸_LAE于點F,設(shè)丁=義(2>0).

AE

(1)若2=1,求證：CE=FE；

(2)若A8=3,AO=4,且。、B、尸在同一直線上時，求2的值.

41.如圖，在四邊形A8CO中，AB/CDAB=CD,ZA=ZADC,E,尸分別為A。，CO的中點，連

接BE,BF,延長鴕交CD的延長線于點M.

⑴求證：四邊形A8CQ為矩形;

(2)若用。=6,BC=12,求所的長度.(結(jié)果可保留根號)

題型六利用矩形的性質(zhì)證明

42.如圖，四邊形A6CO是矩形，對角線4C、8。相交于點。，BE〃AC交。C的延長線于點E.求證:

BD=BE.

43.如圖，在矩形ABCD中，點E在坎;邊上，AE=AD,DFrAE,垂足為尸.試判斷A8與。尸的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

44.如圖，在矩形A8CD中，點E,”分別在邊A8,CO上，且A/=CE,求證：DF=BE.

45.如圖,在平行四邊形A8CQ中,點M是AO邊的中點，連接CM,且

(1)求證：四邊形ABC。是矩形；

(2)若/8CM是直角三角形，寫出AO與A4之間的數(shù)量關(guān)系，封證明.

46.在矩形A3C￡＞中，E在3。的延長線上，連接OE,過點8作BF//DE交D4的延長線于點F.

(1)求證：BF=DE；

(2)連接AE,若人尸=1,AB=2,RD=卡,求證：AE平分/。腿.

47.如圖，在矩形A6CO中，對角線4C、8。交于點0,過點C作CE〃A/),交人。的延長線于點E.

(1)求證：AC=CE；

(2)若?！?9,8=12,求△C0D的周長.

:題型七證明四邊形是矩形I

■

48.如圖，在平行四邊形A8CO中，對角線AC、BD交于點。，點E為BC的中點,EFJLCD千點、F,點、G

為CD上一點,連接。G,OE,ROG〃EF.

(1)求證：四邊形OEFG為矩形;

⑵若AO=15,OG=6,ZABD=45°,求A8的長.

49.如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC、4。相交于點。，且04=00.

⑴求證：四邊形A8C。是矩形；

⑵若AB=3,ZAOD=120°,求6c的長.

50.如圖，YABCZ)中，E為8C邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點尸，延長比至點G,使

CG=CE,連接。G、DE、FG.

G

⑴求證：AABE^AF'CE；

⑵若求證：四邊形DMG是矩形.

51.如圖，已知在，A3。中，ZABC=90°,

小明同學進行了以下操作：

第一步：作出AC的中點E；

第二步：連接席并延長到。，使得比＞=45；

第三步：連接A。和。C.

則四邊形A8CD是什么特殊四邊形？請說明理由.

52.如圖，在平行四邊形ABC。中，AC是對角線.

(1)用基本尺規(guī)作圖完成以下作圖，取8c邊的點￡,使得NE4C=ND4C,并延長AE與DC的延長線交于

點F,再連接BF；

(2)若AO=4",猜想四邊形的形狀，并說明理由.

!題型八利用菱形的性質(zhì)求解

53.如圖，菱形人BCZ）中，入C交于。，DE工BC于E,連接。石，若NABC=140。，則NQ￡7）的度數(shù)

為（）

54.如圖，在菱形ABCO中，M,N分別在A4,C。上，且AM=CN,MN與AC交于點。，連接80.若

ZDAC=28°,則N0BC的度數(shù)為（）

A.28°B.52°C.62°D.72°

55.如圖，在邊長為2的菱形/WC。中，NA=60。，點”是邊的中點，點N是4B邊上一動點，將.人MN

沿時N所在的直線翻折得到△AMN,連接AC,則線段4c長度的最小值是（）

56.如圖，菱形A8CD中，E,尸分別是A。，80的中點.若菱形48co的周長為32,則線段E尸的長為（）

A.4B.6C.8D.12

57.在菱形AACQ中，AC=8,80=6,則菱形的周長為（）

A.48B.30C.20D.10

58.如圖，在菱形A8CO中，AC=6cm,8D=8cm,則菱形A8CO的周長是（)

A.14cmB.16cm20cm

59.如圖，菱形ABC。的對角線4c與4。相交于點。過點O的直線石廠分別交AO,BC于點、E,F.若

陰影部分的面積為5,則菱形ABCD的面積為（）

A.10B.15

C.20D.25

60.如圖，已知菱形的兩條對角線AC與BO氏分別是12和16,則這個菱形的面積是（）

AD

A.192B.48C.96D.40

61.如圖，四邊形ABCD是菱形,DHA.AB于點H.若月。=8,BD=6,則DH的長度為（）

A.2.4B.3.6D.7.2

：題型九利用菱形的性質(zhì)證明

62.下列說法正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.矩形的對角線相等一旦互相平分

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

63.下列命題中正確的是（）

A.菱形的對■角線相等B.矩形的對角線互相垂直平分

C.對角線平分對角的平行四邊形是菱形D.對角線相等的四邊形是矩形

64.下列說法正確的是（）

A.矩形的對角線互相垂直B.矩形的鄰邊相等

C.菱形的對角線互相垂直平分D.菱形的對角線相等

65.以下條件中能判定平行四邊形A8C。為菱形的是（）

A.AB1BCB.AB=CDC.AC1BDD.AC=BD

66.如圖，在YA8co中，E、尸分別為邊A。、8C的中點，點G、〃在AC上，且AH=CG,若添加一

個條件使四邊形EG”是菱形，則下列可以添加的條件是（）

A.AB=ADB.ABA.ADC.AB=ACD.ABIAC

!題型十證明四邊形是菱形■

■

U______

67.如圖，菱形A8CD的對角線4C,肘）相交于點O,E,尸分別為邊A4,AO的中點，連接0E,

OF.

（1）求證：四邊形4EO/是菱形；

⑵如果A3=13,AC=24,求線段E尸的長.

68.如圖，在aABC中，^DAC-90，。是5c的中點，過點A作A石〃NC,且4右一/比),連接AD、CE.

⑴求證：四邊形AOCE是菱形;

(2)若AC=6,A8=8,求菱形ADCE的面枳.

69.如圖，在矩形A8C。中，對角線AC,BD交于點0,分別過點C,。作80,AC的平行線交于點E,

連接0E交AO于點

⑴求證：四邊形OCED是菱形:

(2)若AC=8,ZDOC=60°,求菱形OCEZ)的面積.

70.如圖1,在RI/L48C中，4c8=90。，ZA=60°,CD是斜邊AB上的中線，點E為射線上一點,

將,BDE沿OE折疊，點B的對?應(yīng)點為點F.

(1)?YDF±BC,垂足為G,點尸與點。在直線CE的異側(cè)，連接C尸.如圖2,判斷四邊形A?！?的形狀,

并說明理由；

(2)若。尸_LAB,AC=2,則。石的長度為.

71.如圖，在，"C中，點。是4C邊的中點，點F,￡分別是AD及其延長線上的點，CF〃BE,連接M,

CE.

(1)求證：四邊形是平行四邊形.

(2)當A8C滿足____________條件時，四邊形8皮尸為菱形.(填寫序號)

?AI3=AC.②N8AC=90°,@A/i=BC,④N4G4=9。、

I題型十一利用正方形的性質(zhì)求解

72.如圖，在正方形A8CQ中，七為八。上一點，連接3E,電交對角線4c于點尸，連接。尸，若乙48石=35。,

則NC尸。的度數(shù)為（）

A.80°B.70°

73.如圖，在正方形A8c。中，對角線AC、8。相交于點。.E、戶分別為4。、BD上一點,且OE=。尸,

連接4F,BE,EF.若NA莊=25。，則NC4E的度數(shù)為（）

A.55°B.65°C.45°D.70°

74.如圖,邊長為5的正方形A8C。中，點E、尸分別在邊8C、CO上，連接AK、AF.EF.已知AF平

分ZDFE,BE=2,則。尸的長為（）

15

A.2B.4D.——

-77

如圖,在正方形A8CD中，AC與8。相交于點0,A8=2cm,點P為人B上任意一點，PELOB于點

E,PF上0A于點、F,則依+尸尸的值為（）

A.2cmB.\f2cmC.2&cmD.1cm

76.如圖,己知I、""\"',相鄰兩條平行線間的距離都等于1,如果正方形ABCO的四個頂點分別在四

條直線上，A3與〃交于點E，則正方形A8CD的面積為（）

A.4B.5C.6D.7

77.如圖，點E在正方形ABC。的對角線AC上，且EC=AE,心EG的兩直角邊E凡EG分別交BC,

DC于點M,N.若正方形人8C。邊長為4,則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）

A.2

78.如圖，將一張長方形紙對折，再對折，然后沿圖中虛線剪下，剪下的圖形展開后可得到（）

沿虛線剪下

A.三角形B.梯形C.正方形D.五邊形

79.如圖，正方形A4CO中，A8=12,點E在邊CO上，且3G=CG,將4AQ￡沿對折至A4FE,延長

EF交邊BC于點G,連接4G、CF,下列結(jié)論：①/E4G=45。：②CE=3DE：?AG//CF；?SAFGC=—,

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個

-題型十二利用正方形的性質(zhì)證明

80.如圖，在正方形A8c。中，將邊BC繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)至跳，連接CE,DE,若/CED=90°,BE=M，

則線段。石的長為（）

A.2&B.V2D.亞

81.如圖，已知正方形48CO的邊長為4,“是對角線8。上一點，PE上BC于點E,PFLCD于點F,連

接相，EF.給出下列結(jié)論：①PD=EC；②四邊形正C尸的周長為8；③AP=EA④E下的最小值為2.其

中正確結(jié)論有（）

A.1個B.2個

82.如圖，在正方形械D中，點從點〃分別在Q8上，且―若四邊形西"的面積是1

OA的長為I,則正方形的邊長/S為（）

5rx/13屈

A.BL?1

4-?4

83.如圖，在正方形紙片ABC。中，對角線AC,BD交于點O,折疊正方形紙片A8CO,使人。落在8。上,

點A恰好與8。上的點尸重合，展開后，折疊。石分別交AB,AC于E,G,連接G尸，下列結(jié)論:

①"G/）=112.5。②4E=2OG③S△慚=S-/）④四邊形AE/七是菱形，正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

84.已知：如圖,E,尸是正方形ABC。的對角線B。上的兩點，且BE=Q尸.那么四邊形AEC/不具備的

條件是()

A.對角線相等B.四邊相等C.對角線互相垂直D.對邊平行

I題型十三證明四邊形是正方形

85.在中，ZACB=90°,點。是A3的中點，連接C。，過點從C分別作8F〃CO,CF//AB,

RF、。尸交干點F.

(1)求證：四邊形88尸是菱形:

(2)當4c和8C滿足怎樣的關(guān)系時，四邊形CD3少是正方形？并證明你的結(jié)論.

86.如圖，BE、8。是AA8C中/A8C的內(nèi)、外角平分線，ADJ.BD于D,AEJ.BE于E,交BC的延長

線干尸.

(1)判斷四邊形AO8E的形狀，并說明理由.

⑵DE與8/相等嗎？為什么？

(3)當AABC滿足______時，四邊形AO8E是一個正方形？并給出證明.

87.在一ABC中，4。平分43C,AELBD于點0,交,BC于點、E,AD//BC,連接￡￡>.

⑴求證：AO=EO：

(2)當A8c滿足什么條件時四邊形ABED是正方形？請說明理由.

88.如圖，已知平行四邊形A8CZ)中，對角線AC、BD交于點、(),E是。8延長線上一點，若AE=CE.

⑴求證：四邊形ARC。是菱形；

(2)若/840=NA80,判斷四邊形ABC。的形狀，并說明理由.

89.如圖1,在矩形A8CO中，點E,產(chǎn)分別在A8,BC邊上，DE=AF,DE上AF于點、G.

(1)求證：四邊形ABCO是正方形;

(2)延長C8到點，，使得8H=AE,判斷△A”尸的形狀,并說明理由.

(3)如圖2,在菱形A3c。中，點E,尸分別在BC邊上，?！昱cAF相交于點G,DE=AF,ZAED=6()0,

AE=6,BF=2,請類比(2),求。足的長.

專題13平行四邊形

題型分析

題型演練

題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解

i.在下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對邊相等B.對角相等C.對角線相等D.內(nèi)角和為360。

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】???平行四邊形的對邊相等，對角相等，內(nèi)角和為360。,

???平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是對角線相等;

故選：C.

2.如圖，平行四邊形A8c。中，對角線AC、8。相交于點O,點￡是。。的中點，則［ODE

與.ABC的面積比為（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5

【答案】C

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知AO=CO,BO=DO.得出5八03=58"=5＜加=5八8：

即SABC,再根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：:四邊形ABC。是平行四邊形

AAO=CO,BO=DO

SAOB=SBOC=SCOD

=S.AOD

,,SCOD=]SABC

丁點E是。。的中點

..SODE=二SCOD=_7SABC

24

?q?q-1-4

,?0ODE'°ARC-I-

故選：C.

3.如圖，平行四邊形ABC。中，/A4C的平分線跖交AO于E,A8=3,3c=8,則0E的

長（）

A.4D.6

【答案】B

【分析】由在平行四邊形A8c。中，/ABC的平分線交A。「點￡,易證得AB=AE，繼而

求得OE的長.

【詳解】解：???四邊形A8CD是平行四邊形,

AAD//BC,AO=8C=8,

/./AER=/ERC.

?；BE平分NABC，

，ZABE=NEBC,

ZABE=ZAEB,

：.AB=AE=3,

/.DE=AD-AE=S-3=5.

故選：B

4.在YAAC。中，N'AAC的平分線交AD于點￡,NGCO的平分線交AO于點"，若AB=3,

EF=2,則AC的長是______.

【答案】4或8

【分析】分兩種情形討論即可①如圖1中，點E在點尸左側(cè)，②如圖2中，點E在點F右

側(cè).由平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的判定可得出答案.

【詳解】解:如圖1，

四邊形A8CD是平行四邊形，

:.AD//CB,AB=CD=3,AD=BC,

4DFC=/FCB,

又?：CF平分/BCD,

.../DCF=NFCB,

:.NDFC=/DCF,

：.DF=DC,

同理可證：AE=A8=3,

:.AF=DE,

???EF=2,

AF=3-2=\,

..AD=AF+EF+DE=\+2+\=4，

BC=4；

如圖2中，

同理可知A8=AE=3,DC=DF=3,

-EF=2,

.?.AD=AE+EF+FD=3+2+3=8.

BC=8,

綜上所述3c為4或8,

故答案為：4或8.

5.如圖，平行四邊形A8CO中，點E在AO上，以BE為折痕，把向上翻折，點A正

好落在。。邊的點尸處，若V也出的周長為6,c&B的周長為2(),那么的長為.

DFC

【答案】7

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：EF=AE.BF=BA,從而平行四邊形的周長可以轉(zhuǎn)化為

的周長十二尸圓的周長，求出再由,的周長20,即可求出C產(chǎn)的長.

【詳解】???一ABE向上翻折，點A正好落在CD邊上，

AAE=EF,AB=BF,

〈VFZ犯的周長為6,一FCB的周長為20,

；?DE+DF+EF=6,BC+CF+BF=2。,

???DE+DF+EF+BC+CF+BF=6+20,

(DE+EF)+(DF+CF)+BC+BF=26

VDE+EF=AD,DF+CF=DC,

AD+DC+AB+BC=26,

???四邊形A8CO是平行四邊形，

AAB+BC=\3,即8b+8C=13,

ACF=20-(fiF+￡?C)=20-13=7.

故答案為：7.

6.如圖，在平行四邊形488中，ZB-1200,AD=2cm,CD-3cm.求平行四邊形A4CQ

的面積.

【答案】3V3(cm2)

【分析】過。作。干E,由平行四邊形的性質(zhì)得A8=CD=女m,AD//BC,再由含

30。角的直角三角形的性質(zhì)得4E=1cm,然后由勾股定理得。E=Gem,即可解決問題.

【詳解】解：如圖，過D作。及L4B于E，則NO￡4=90。，

???四邊形A8CO是平行四邊形，

???"=CQ=3cm,AD//BC,

JZA+ZB=180°,

V4=120°,

，ZA=60°,

/.ZADE=90o-ZA=30°,

/.AE=—AD=l(cm),

2

???DE=^AD2-AE2=打-f=G(cm)，

/.平行四邊形ABCD的面積=AB?OE=3xG=3>/3(cm2).

7.如圖，在平行四邊形ABC。中，30是它的一條對角線.

(1)尺規(guī)作圖：作3。的垂直平分線￡尸，分別交AD,BC丁點、E,/(不寫作法，保留作圖

痕跡)；

(2)連接的，若NO8E=25。，求NAEB的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)50°

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的作法畫出圖形，即可求解；

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得4石=/犯，從而得到/DBE=NBDE=25。,再由三角

形的外角性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，直線石廠即為所求；

D

B

(2)解：TE/垂直平分8。，

???BE=DE，

：./DBE=NBDE=250,

,ZAEB=ZDBE+ZBDE=25°+25°=50°.

8.已知：YABCQ中，N8=52。，AE平分NBA。交8c于E點.

(I)求NBA。的度數(shù)；

(2)求NAEC的度數(shù).

【答案】⑴128。；

(2)116°：

【分析】(1)由ABCD是平行四邊形可得AD//BC,由兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得NBA。：

(2)由角平分線的定義可得ND4E,根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得/AEC；

【詳解】⑴解：是平行四邊形，

：.AD//BC,

???N8+NBAD=180。，

VZB=52°,

.,.ZBAD=180°-52°=128°,

(2)解：平分NBA。，

???ZBAE=ZDAE=^NBAD=64。；

*：AD〃BC,

AZD4E+Z4EC=l80o,

???ZAEC=180°-64o=ll6°；

?題型二利用平行四邊形的性質(zhì)證明-

I___________________________________I

9.如圖，在平行四邊形HBCO中，A8=3,AD=5,/ABC的平分線交AO于E,交CO的

延長線于點/，則OF=()

A.1B.73C.2D.3

【答案】C

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出A8〃CQ,再結(jié)合角平分線的定義可證

NCBF=NCFB,進而可求出D戶的長.

【詳解】解：:平行四邊形48CD,AB=3,AD=5,

r.AB//CD,AB=CD=3,BC=AD=5,

/.NABE;NCFE,

VZABC的平分線交AD于點E,

，NABE二NCBF,

/.4CBF=NCFB,

：,CF=CB=5,

：.DF=CF-CD=5-3=2

故選：C.

10.如圖，YA8C。中，點。為對角線AC的中點，直線/經(jīng)過點O分別與8C,AD交與點

M,N,下列結(jié)論中,

A.ZB=NOD.OM=ON

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)逐項推理證明即可.

【詳解】解：:四邊形A8C。是平行四邊形,

:?4B=4D,A成立，不符合題意;

,:NDHBC,

ZmC=ZBC4,

丁點。為對角線AC的中點,

：.OA=OC.

ZAON=4JOM、

/.AAONKCOM,

：.AN=CM,OM=ON'C、D成立，不符合題意；

BM=/W不一定成立，B符合題意；

故選：B.

11.如圖，Zi/WC中，NR4C=45。，A3=AC=8,0為A8邊上的一動點，以力,PC為邊

作平行四邊形以QC,則線段AQ長度的最小值為（）

A.6B.8C.2V2D.4V2

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，可以得到當時，CP取得最小值，

此時CP的值就是AQ的最小值，從而可以解答本題.

【詳解】解：???四邊形用QC是平行四邊形，

???AQ=PC,

工要求A。的最小值，只要求PC的最小值即可，

二當CP_LAB時,CP取得最小值,

VZBAC=45°,

.?.Z4CP=N8AC=45。，

設(shè)R4=PC=x,

在即中，AB=AC=8,

貝|J%'+尸。2=4。2,即￡+9=82,

解得x=，

故選：D.

12.如圖，在YA8CD中，對角線AC,3。相交于點。，過點。作0EL4C交AO于E,如

果AE=4,DE=3,DC=5,則AC長為.

【答案】4五

【分析】連接CE,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO=CO,然后判斷出OE垂直平分AC,再

根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得CE=AE=4,利用勾股定理的逆定理

得到NCEO=9（『，得到是等腰直角二角形，即可求得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接CE,

*.*四邊形ABCD是平行四邊形,

：,AO=CO,

：OE_LAC,

工。石垂直平分AC,

：.CE=AE=4,

?：DE=3,

：.CEr^DE2=42+32=52=CD2,

，/CEQ=90。，

???NAEC=90。，

???△AEC是等腰直角三角形，

.*.AC=y/2AE=4y/2,

故答案為：4夜.

13.如圖，在平行四邊形A8CO中，/8=45。，AD=2,E,“分別為邊AB,CD上一點.將

平行四邊形A6C。沿EH翻折，使得A。的對應(yīng)線段FG經(jīng)過點C,若FGLCD,C為FG

的中點，則石b的長度為.

【答案】2—企

【分析】延長。尸與48交丁點M,由平行四邊形的性質(zhì)得8C,GMLAB,即可得CM=上,

然后可得G凡ZEFG,進而得尸M,NEFM,即可求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖：延長CF與A6交于點例，

???四邊形A8CO是平行四邊形,

/.AB//CD,BC=AD=2,

VFG1CD,

???CM_LA8,

VZB=45°,

，8M=CM,

/.2CM2=BC2=4,

:?CM=O,

由折疊知GF=AD=2,

???C為廣G的中點，

：?CG=1,

:?MF=CM-CF=CM-(GF-CG)=近-1，

*：ZEFG=ZA=180°-Z135°,

；?NMFE=45°,

.?.EF=V2MF=^(V2-1)=2-V2.

故答案為：2-&.

14.己知：如圖，在平行四邊形A8CO中，點石、尸為對角線8。上兩點，且N84E=N0CE

求證：BF=DE.

【答案】見解析

【分析】證明△ABEgACOf',由全等三角形的性質(zhì)可得出答案.

【詳解】證明：四邊形A8CD是平行四邊形，

:.AB//CD,AB=CD,

ZABE=NCDF,

在-AB石和.CD歹中，

NBAE=NDCF

<AB=CD,

NABE=NCDF

.-.△ABE^ACDF

:.BE=DF,

:.BE+EF=DF+EF,

即=

15.如圖，在YABCO中，AB<AD.

（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在4。上截取AE,使AE=AB；作N3CO的平分線交AD于點

產(chǎn).（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑵在（1）所作的圖形中，連接3E交C尸于點G,證明：AF=DE,

【答案】（1）作圖見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）利用尺規(guī)作圖畫出圖形，即可求解：

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃BC,AB=。，從而得到4>/，C=N4b,再由C/平

分/BCD,可得“尸C=NDb,從而得到力尸=Z）C,進而得到AE=OF,即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，點￡、廠即為所求；

（2）解：???四邊形48C。是平行四邊形，

AD//BC.AB=CD,

J/DFC=/BCF,

???。/平分/88,

?./BCF=NDCF,

???4DFC=/DCF,

:?DF=DC,

又1AA:=A/?,

:?AE=DF,^AF+EF=DE+EF,

/.AF=DE.

16.如圖，在QABCQ中，O￡_LAC于石，BFA.ACTF,ZDAE=35°.

（I）求證：△AEO@△CF8；

（2）求/CB/的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析

（2）ZCBF=55°

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得到NQAE=N8CF,再結(jié)合條件即可.

（2）利用互余求角度，結(jié)合（1）中的全等解題即可.

【詳解】（1）證明：在平行四邊形ABCQ中，AD=CB,

又AD〃BC,

：?4DAE=NBCF,

???OE_LAC,BF^AC.

；?NDEA=NBFC=900,

在△4￡7）和^CEB中，

ZDEA=ZBFC

<NDAE=NBCF,

AD=BC

:.△AED/MCFB(AAS)；

(2)解:在RtaAOE中，ZDAE=35°,ZDEA=C=90°,

ZADE=9()°-ZDAE=55°,

'：^AED^ACFB(AAS),

:"CBF=ZADE=55°

17.如圖，在平行四邊形44C。中，ACLDE,AE=AD,AE交3c于O.

（1）求證：NBCA=NEAC；

⑵若CE=3,AC=4,求ACOE的周長.

【答案】（I）證明見解析；（2）8

【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明NQ4>N8CA,再由三線合一定理證明

ZEAC=ZDAC,即可證明N8C4=/E4C：

（2）先根據(jù)等角對等邊證明OA=OC,再由勾股定理求出A￡的長，最后證明△。。￡的周長

=4E+CE即可得到答案.

【詳解】（1）解：:四邊形A8C。是平行四邊形，

???AD//BC,

：.ZDAC=ZBCA,

\'AE=AD,ACLED,

，NEAC=NDAC,

：.ZBCA=ZEAC；

（2）解：ZBCA=ZEAC,

???OA=OC,

^AC-LDE,即NAC￡=90,，

???在心△ACE中，由勾股定理得：AE=y]AC2+CE2=5?

AACOE的周長=CE+OC+O￡=OA+O￡+CE=A￡+C￡=8.

18.如圖，在平行四邊形A8co中，AB^BC,AC是對角線，AE是N84O的平分線，交

邊。C的延長線于點”.

4D

A.D

（1）證明：CE=CF；

⑵若/B=60。，BC=2AB,寫出圖中長度等于2c尸的所有線段.

【答案】（1）見解析

(2)DF=AD=AF=BC=2FC,理由見解析

【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得出=N廣，=斯,

進而得出答案;

（2）利用等邊三角形的判定方法得出」吃