高考試題分類解析PAGE考點31空間點、直線、平面之間的位置關系一、選擇題1.(2015·浙江高考文科·T4)設α,β是兩個不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l?α,m?β()A.若l⊥β,則α⊥β B.若α⊥β,則l⊥mC.若l∥β,則α∥β D.若α∥β,則l∥m【解題指南】根據(jù)直線、平面的平行、垂直的判定與性質進行判斷.【解析】選A.選項A中,由平面與平面垂直的判定,故正確;選項B中,當α⊥β時,l,m可以垂直,也可以平行,也可以異面;選項C中,l∥β時,α,β可以相交;選項D中,α∥β時,l,m也可以異面.2.(2015·廣東高考理科·T8)若空間中n個不同的點兩兩距離都相等,則正整數(shù)n的取值()A.大于5 B.等于5C.至多等于4 D.至多等于3【解題指南】本題考查了空間中點與點的位置關系,這些兩兩距離相等的點在正多面體中可以找出.【解析】選C.正四面體的四個頂點是兩兩距離相等的,即空間中n個不同的點兩兩距離都相等,則正整數(shù)n的取值至多等于4.3.(2015·廣東高考文科·T6)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內,l2在平面β內,l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是()A.l至少與l1,l2中的一條相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l與l1,l2都不相交【解析】選A.直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內,l2在平面β內,α∩β=l,則l至少與l1,l2中的一條相交.4.(2015·福建高考理科·T7)若l,m是兩條不同的直線,m垂直于平面α,則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解題指南】利用直線與平面的位置關系解答.【解析】選B.因為QUOTEm⊥α,l⊥m不能得到l∥α,還可能l?α，即充分性不成立,但是QUOTEm⊥α,l∥α二、填空題15.(2015·浙江高考理科·T13)如圖,三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點M,N分別是AD,BC的中點,則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是.【解題指南】利用中位線定理尋找異面直線AN,CM所成的角.【解析】如圖,連接DN,取DN的中點P,連接PM,PC,則∠PMC即為異面直線AN,CM所成的角(或其補角),易得,,CM=QUOTEAC2-AM2，所以，即異面直線AN,CM所成角的余弦值為78.答案:QUOTE78三、解答題6.(2015·新課標全國卷Ⅱ文科·T19)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法與理由).(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.【解析】(1)交線圍成的正方形EHGF如圖.(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8,因為四邊形EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是,AH=10,HB=6.因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值為（也正確).7.(2015·江蘇高考·T22)如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=QUOTEπ2,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值.(2)點Q是線段BP上的動點,當直線CQ與DP所成角最小時,求線段BQ的長.【解題指南】(1)建立空間直角坐標系,通過求兩個平面的法向量之間的夾角求二面角的余弦值.(2)建立直線CQ與PD所成角的函數(shù)關系式,再利用導數(shù)求其最值,確定點Q的坐標,最后利用向量模求BQ的長.【解析】(1)由題意知,AB,AD,AP兩兩垂直,分別以AB,AD,AP所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系如圖所示,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),所以QUOTEAB→=(1,0,0),QUOTEAP→=(0,0,2),QUOTEDC→=(1,-1,0),QUOTEDP→=(0,-2,2).設平面PCD的法向量為m=(x,y,z),所以即不妨取x=1,得平面PCD的法向量為m=(1,1,1).又QUOTEAD→=(0,2,0)為平面PAB的法向量,且cos<m,>=QUOTEm·AD→|m|·|AD→|=QUOTE0×1+2×1+0×13×2=QUOTE33>0,所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為QUOTE33(2)因為QUOTEBP→=(-1,0,2),設QUOTEBQ→=λQUOTEBP→=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又QUOTECB→=(0,-1,0),則QUOTECQ→=QUOTECB→+QUOTEBQ→=(-λ,-1,2λ),又QUOTEDP→=(0,-2,2),從而cos<QUOTECQ→,QUOTEDP→>=QUOTECQ→·