課程基本信息課例編號(hào)2020QJ11SXRA012學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期上學(xué)期課題用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題（3）教科書(shū)書(shū)名：《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)出版社：人教社出版日期：年月教學(xué)人員姓名單位授課教師劉興華北京景山學(xué)校指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：了解兩個(gè)平面夾角的定義，能用向量方法求兩個(gè)平面的夾角，使用向量表示的面面角公式解決有關(guān)角度的度量問(wèn)題，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．教學(xué)重點(diǎn)：用向量的數(shù)量積運(yùn)算表示兩個(gè)平面的夾角計(jì)算公式．教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的條件選擇適當(dāng)?shù)幕祝虒W(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用空間向量求兩條直線的夾角、直線與平面所成的角，明確了兩條直線的夾角與它們方向向量夾角的關(guān)系，可以通過(guò)計(jì)算向量的夾角，求出兩條直線的夾角．明確了直線與平面所成的角與直線的方向向量、平面的法向量夾角的關(guān)系，可以通過(guò)計(jì)算向量的夾角，求出直線與平面所成的角．通過(guò)例題的解決體會(huì)了應(yīng)用向量法和坐標(biāo)法求空間中的角的“三步曲”：第一步，將線線角、線面角轉(zhuǎn)化為求向量的夾角；第二步通過(guò)向量的數(shù)量積運(yùn)算求向量的夾角；第三步，回到幾何圖形，給出所求的線線角、線面的結(jié)論．上節(jié)課我們已經(jīng)解決了直線與直線、直線與平面產(chǎn)生的夾角問(wèn)題，同學(xué)們一定會(huì)想：兩個(gè)平面是不是也應(yīng)該有夾角？如何定義？取值范圍是怎樣的？該如何求？請(qǐng)看下面的問(wèn)題．問(wèn)題1類(lèi)比兩直線夾角的定義，如何定義兩個(gè)平面的夾角？生：對(duì)于兩條直線的夾角，從空間中直線的三種位置關(guān)系入手．兩條直線夾角的定義分別對(duì)平面內(nèi)的兩條相交直線和空間中的兩條異面直線的夾角給出定義，異面直線的夾角通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的相交直線所成的角，體現(xiàn)了從立體圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的思路．對(duì)于平行直線規(guī)定其夾角為0°．生：對(duì)于兩個(gè)平面我們從考慮它們的位置關(guān)系入手．空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系分為相交和平行．對(duì)于//，我們可以規(guī)定它們的夾角為0°．如圖，平面與平面相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于的二面角稱(chēng)為平面與平面的夾角．師：兩個(gè)平面夾角的取值范圍是什么？生：兩個(gè)平面夾角θ的取值范圍是0師：這里，我們用二面角來(lái)定義兩個(gè)平面的夾角，請(qǐng)問(wèn)二面角的大小是如何度量的？生：二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量.師：二面角的平面角是如何定義的？生：在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．師：這里，求二面角的大小體現(xiàn)了立體幾何問(wèn)題的解決往往要轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，過(guò)二面角棱上一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱垂線．師：兩個(gè)平面的夾角的大小與這兩個(gè)平面形成的二面角的大小之間有何關(guān)系？生：兩個(gè)平面的夾角等于相應(yīng)二面角或其補(bǔ)角．問(wèn)題2類(lèi)比兩條直線夾角的求法，如何用向量方法求兩個(gè)平面的夾角？師：可否采用向量方法來(lái)求？如何轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題？師生討論：根據(jù)兩個(gè)平面夾角的定義，可以按這樣的思路轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題：求平面α，

β的夾角→求直線a，b的夾角→求方向向量u,v的夾角→求得向量u,v的夾角→求得平面α，

β這條思路的關(guān)鍵是求直線a，b的方向向量，如果不借助坐標(biāo)系，很難師：法向量可以刻畫(huà)平面的方向，兩個(gè)平面的夾角θ與這兩個(gè)平面的法向量的夾角有什么關(guān)系？生：θ=所以師生總結(jié)：轉(zhuǎn)化思路2：求平面α，

β的夾角→求法向量n1和n2的夾角→求出向量n1,

n2的夾角這條思路在建立空間直角坐標(biāo)系的情況下一定可行．例如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q，R分別在棱A，BB1上，師：轉(zhuǎn)化為哪種向量的夾角？思路一：轉(zhuǎn)化為兩平面內(nèi)與交線垂直的直線的方向向量的夾角；思路二：轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角．生：采用思路二更合理．具體解答過(guò)程如下：解：以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．平面A1B1C1的法向量為，平面PQR的法向量為，則平面PQR與平面A1B因?yàn)镃1C⊥平面所以平面A1B1設(shè)平面PQR的法向量為n因?yàn)镻(0，1，3)，所以PQ＝(2，-又n2?PQ＝0，n2?PR＝0，

所以cosn1設(shè)平面PQR與平面A1B1Ccosθ=cos即

平面PQR與平面A1B1C1師：請(qǐng)思考，如果在相同條件下求“平面A1B1C生：思路一，思路二均可以.師：請(qǐng)同學(xué)們課下完成求解過(guò)程.例題小結(jié)：求兩個(gè)平面的夾角的一般方法是用坐標(biāo)法，通過(guò)求平面的法向量的夾角的余弦值得到兩個(gè)平面夾角的余弦值．用空間向量求兩個(gè)平角夾角的一般步驟：課堂小結(jié)：?jiǎn)栴}3本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？通過(guò)二面角定義了兩個(gè)平面的夾角，明確其取值范圍，將兩個(gè)平面的夾角轉(zhuǎn)化為相應(yīng)法向量的夾角，再應(yīng)用空間向量的數(shù)量積可以解決問(wèn)題．通過(guò)例題的解決，體會(huì)到求兩個(gè)平面夾角的一般方法是坐標(biāo)法，求兩個(gè)平面法向量的夾角．問(wèn)題4研究這些內(nèi)容主要用了什么方法？本節(jié)課通過(guò)類(lèi)比兩條直線的夾角的定義、求法，定義了兩個(gè)平面的夾角，給出了求兩個(gè)平面夾角的一般方法．角度是“方向”的差異，但是研究方法、研究?jī)?nèi)容、解決方法卻是是一致的．問(wèn)題5用向量方法解決立體幾何中夾角問(wèn)題的一般步驟是什么？課后作業(yè)：１.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1