2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．等差數(shù)列中，若，，則等于（

）A．9 B．10 C．11 D．123．已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切4．已知直線，且，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．5 B．1 C．5或 D．5．已知直線l：是圓C：的對稱軸，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為A，則（

）A． B．7 C． D．26．若成等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)列：（1）;（2）;（3），必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．37．設(shè)點(diǎn)，若經(jīng)過點(diǎn)的直線關(guān)于軸的對稱直線與圓有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知在數(shù)列中，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，則下列說法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)在圓外B．圓與軸相切C．若圓截軸所得弦長為，則D．點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為10．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式B．C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為D．11．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，則下列說法正確的是（

）A．圓的方程是B．過點(diǎn)向圓引切線，兩條切線的夾角為C．過點(diǎn)作直線，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則該直線的斜率為D．過直線上的一點(diǎn)向圓引切線，則四邊形的面積的最小值為三、填空題12．已知點(diǎn)，O0,0，，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．13．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.14．已知實(shí)數(shù)，，，滿足，，，則的取值范圍是．四、解答題15．在平面直角坐標(biāo)系中，的邊所在直線方程為，邊所在直線方程為，點(diǎn)在邊上．(1)若是邊上的高，求直線的方程；(2)若是邊上的中線，求直線的方程．16．等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，且，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求取到最小值時(shí)的值；(2)求數(shù)列的前16項(xiàng)的和．17．已知，直線：與圓：交于，兩點(diǎn)．(1)求證：直線過定點(diǎn)；(2)若直線將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧，求直線的方程；(3)求面積的最大值．18．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和記為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)對于（2）中的數(shù)列，問是否存在正整數(shù)，使得、、成等差數(shù)列？若存在，請求出所有符合條件的正整數(shù)；若不存在，請說明理由．19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切．(1)求圓的方程；(2)設(shè)，過點(diǎn)作斜率為的直線，交圓于、兩點(diǎn)．①點(diǎn)總在以線段為直徑的圓內(nèi)，求的取值范圍；②設(shè)，是圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)（在的上方），證明：與的交點(diǎn)在定直線上．答案：題號12345678910答案DCDDBCCAADABD題號11答案ABD1．D【分析】根據(jù)直線的斜率求直線的傾斜角.【詳解】由直線得其斜率為，設(shè)直線的傾斜角為（），則，所以，所以直線的傾斜角為，故選：D2．C【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的公差即可計(jì)算得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，所以.故選：C3．D【分析】根據(jù)即可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】由題意知，，所以，則，所以兩圓內(nèi)切.故選：D4．D【分析】根據(jù)給定條件，列出方程求解，再驗(yàn)證判斷作答.【詳解】直線，，由解得或，當(dāng)時(shí)，直線與重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線與平行，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：D5．B【分析】根據(jù)題意分析可得直線l過圓心，可求得，再根據(jù)圓的切線長公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：直線l：過圓心，則，解得，故圓C：的圓心為，半徑，且點(diǎn)，∵，∴.故選：B.6．C【分析】根據(jù)成等比數(shù)列，設(shè)其公比為()，利用等比數(shù)列的定義即可結(jié)合所給式子進(jìn)行判斷.【詳解】成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則均不為0，且，，故成等比數(shù)列，且公比為，因此成等比數(shù)列，且公比為，，當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列，且公比為，但當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列，故選：C7．C【分析】設(shè)直線的斜率為，則的斜率，進(jìn)而：，利用直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)線矩公式可得，解之即可求解.【詳解】設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，則，由題意知，直線的斜率為.點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，所以，即，由知，圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，又直線與圓有公共點(diǎn)，所以，整理得，解得，即直線的斜率的取值范圍為.故選：C8．A【分析】根據(jù)取倒數(shù)法可得，由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】由，得，即，又，所以，則是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，得，故，得，所以，所以.故選：A9．AD【分析】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；求出圓心到軸的距離，可判斷B選項(xiàng)；利用弦長的一半、弦心距以及圓的半徑三者滿足勾股定理求出的值，可判斷C選項(xiàng)；對原點(diǎn)在圓上、圓外進(jìn)行分類討論，求出點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離和最小距離，可判斷D選項(xiàng).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，對于A選項(xiàng)，若，則有，即點(diǎn)在圓外，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)閳A心到軸的距離為，而與的大小關(guān)系不確定，所以，圓與軸不一定相切，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，若圓截軸所得弦長為，則，解得，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離為，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最小距離為，則；當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在圓外，且，所以，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離為，最小距離為，則點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為.綜上所述，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為，D對.故選：AD.10．ABD【分析】根據(jù)已知條件求得公比的值，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式及等比數(shù)列求和公式計(jì)算判斷選項(xiàng)ABC，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和可求得數(shù)列的前項(xiàng)和為判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，故A項(xiàng)正確；所以，故B項(xiàng)正確；所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，由，，有，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，所以取值范圍為，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.11．ABD【分析】對于A，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)代入化簡，可得A正確；對于B，設(shè)切線夾角為，可得，解得B正確；對于C，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，可判斷直線與圓相切，進(jìn)而可解得，故C錯(cuò)誤；對于D，由條件可表達(dá)四邊形的面積為，求的最小值，計(jì)算可得D正確.【詳解】對于A，因?yàn)?，點(diǎn)滿足，設(shè)，則，化簡得，，即，故A正確；對于B，因?yàn)?，設(shè)兩條切線的夾角為，所以，解得，則，故B正確；對于C，易知直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，因?yàn)閳A上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，所以圓心到直線的距離，解得，故C錯(cuò)誤；對于D，由題意可得，故只需求的最小值即可，的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即，所以四邊形的面積的最小值為，故D正確.故選：ABD.12．【分析】對于本題，我們先求出線段的垂直平分線方程，然后聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓心到頂點(diǎn)的距離求出半徑，最后寫出外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】對于和，中點(diǎn)坐標(biāo)為.再求線段的斜率.那么垂直平分線的斜率為（因?yàn)閮蓷l垂直直線的斜率乘積為）.利用點(diǎn)斜式，可得線段垂直平分線方程為，即.

線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.線段在軸上，其垂直平分線為.

聯(lián)立，把代入，得，解得.所以圓心坐標(biāo)為.

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，圓心到的距離就是半徑..

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得.

則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為.13．【分析】由題意根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和可得，再利用構(gòu)造法結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，∴?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，所以.故答案為.14．【分析】由題意可得，得到，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)、、、滿足，，可知Ax1,設(shè)，，所以，所以，所以不妨設(shè)，，所以，又，所以的取值范圍是，故答案為.15．(1)；(2).【分析】（1）聯(lián)立直線、的方程，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出直線的斜率，根據(jù)可得出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程；（2）設(shè)，則點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為在直線上，可求出的值，可點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程，即直線的方程.【詳解】（1）由得，所以，直線的斜率為，因?yàn)?，所以，直線的斜率為，則直線的方程為，即.（2）點(diǎn)在直線上，設(shè)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為在直線上，所以，解得，即點(diǎn)，直線的斜率為，所以直線的方程為，即.16．(1)，當(dāng)取得最小值時(shí)，；(2).【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，結(jié)合已知條件，求得的首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)公式，再求Sn取到最小值時(shí)的即可；（2）判斷的正負(fù)，脫去絕對值，再求數(shù)列的和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題可得：，即，解得，，所以；由，可得，解得，因?yàn)?，所以時(shí)，取得最小值時(shí)，；（2）由（1）可知，均為負(fù)數(shù)，且從開始，后面每一項(xiàng)均為正數(shù)，故；故數(shù)列的前16項(xiàng)的和.17．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）將直線方程轉(zhuǎn)化為，再解方程組即可求得直線恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意，求得，以及圓心到直線的距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求得，即可求得直線方程；（3）由，結(jié)合直線截圓所得弦長公式，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合的取值范圍，即可求得面積的最大值.【詳解】（1）由：，得，因?yàn)?，故可得，解得，所以直線過定點(diǎn).（2）假設(shè)直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓?。本€與圓交于，兩點(diǎn)，則．圓方程為，故其圓心坐標(biāo)為，半徑，在△中，由余弦定理，解得，設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，解得；又直線方程為：，故有，整理得，解得，所以，直線的方程為．（3）當(dāng)時(shí)，圓心到的距離取得最大值，最大值為，所以的取值范圍為，又，故面積為，其中，故當(dāng)時(shí)，，所以面積的最大值為．18．(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）由已知得出，令可求出的值，令，由可得出，兩式作差可推出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，利用錯(cuò)位相減法可求得；（3）由可得，令，分析數(shù)列的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，整理可得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．（2）因?yàn)椋?，，①可得，②①②可得，因此?（3）結(jié)合（2），，令，即，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列為遞減數(shù)列，，，故對所有正整數(shù)，，所以不存在正整數(shù)，使得、、成等差數(shù)列．19．(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)圓與直線相切的性質(zhì)，圓心到直線的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓的