2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上學(xué)期11月診斷性評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（）A． B．C． D．2．已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）

A． B． C． D．3．已知，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．將函數(shù)）的圖像向右平移（0＜＜）個(gè)單位后的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則＝（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A．f(x)=xsin2x B．C． D．6．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，且的面積，則周長(zhǎng)的最大值是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．[2,+∞)二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)向量，，則（

）A． B．與的夾角為C．與共線 D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B．函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像沒(méi)有公切線C．函數(shù)，則有極大值，且極大值點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，恒成立三、填空題（本大題共3小題）12．的值是.13．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與.在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋?，且，則塔高為

14．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在中，若，，求的外接圓的面積．16．某校為了解本校學(xué)生課間進(jìn)行體育活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取了60名男生和60名女生，通過(guò)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：60名女生中有10人課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)，60名男生中有20人課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng).(1)請(qǐng)補(bǔ)全列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷性別與課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)是否有關(guān)聯(lián)；課間不經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)合計(jì)男女合計(jì)(2)以樣本的頻率作為概率的值，在全校的學(xué)生中任取4人，記其中課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)的人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中.17．如圖的多面體是由一個(gè)直四棱柱被平面所截后得到的，其中，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正切值．18．已知點(diǎn)F為拋物線E：（）的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（?3，2），，若過(guò)點(diǎn)P作直線與拋物線E順次交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作斜率為1的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線BC過(guò)定點(diǎn)；(3)若直線BC所過(guò)定點(diǎn)為點(diǎn)Q，△QAB，△PBC的面積分別為S1，S2，求的取值范圍19．若函數(shù)在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的數(shù)，同時(shí)滿足，且在點(diǎn)處的切線斜率相同，則稱(chēng)為“切合函數(shù)”(1)證明：為“切合函數(shù)”；(2)若為“切合函數(shù)”，并設(shè)滿足條件的兩個(gè)數(shù)為．（?。┣笞C：；（ⅱ）求證：．

答案1．【正確答案】D【詳解】由，，則.故選：D.2．【正確答案】A【詳解】連結(jié)，則為的中位線，，

故選：A3．【正確答案】A【詳解】不等式，解得記，因?yàn)?，所以“”是“”成立充分不必要條件.故選：A4．【正確答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向右平移（0＜＜）個(gè)單位，所以.又因?yàn)槠揭坪髨D像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以，又0＜＜，所以當(dāng)時(shí)．故選：D5．【正確答案】D【詳解】由圖可知，函數(shù)為奇函數(shù)，且，.對(duì)于A，，則該函數(shù)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則該函數(shù)為奇函數(shù)，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則該函數(shù)為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則該函數(shù)為奇函數(shù)，且，，故D正確.故選：D.6．【正確答案】C【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，不恒為零，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C7．【正確答案】B【詳解】，即，又，解得，，又，由余弦定理可得：，，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則周長(zhǎng)的最大值是，故選：B8．【正確答案】C根據(jù)題意得到，，再對(duì)所求目標(biāo)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，得到所求范圍.【詳解】有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即和有四個(gè)交點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，畫(huà)出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像可知，和是和的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即方程的兩根，所以，是和的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，是和的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，故有，得到，由，可得，令，令，則在上單調(diào)遞減，所以，，故，即所求式子的取值范圍是.故選：C.9．【正確答案】AD【詳解】因?yàn)?，，所以，，故A正確；因?yàn)?，，所以，因?yàn)閮上蛄繆A角的范圍為，所以與的夾角為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，又，所以，所以，所以與不共線，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.10．【正確答案】BCD【詳解】由圖象可知：，周期，∴；由，所以，解得，由可得，故函數(shù)．對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏?，正弦函?shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，即直線是的一條對(duì)稱(chēng)軸，故C正確；對(duì)于D：向右平移個(gè)單位得，故D正確，故選：BCD．11．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖像有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，則，由，得到，由，得到，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取最小值，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖像沒(méi)有公共點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)與切于點(diǎn)，與切于點(diǎn)則，化簡(jiǎn)得：，判斷方程根的個(gè)數(shù)即為公切線條數(shù)，令，則，易知在上恒小于0，當(dāng)時(shí)，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，所以在上有使得，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)，所以方程有兩解，與的圖像有兩條公切線，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，令，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在，使得，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值，且極大值點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，令，則在區(qū)間上恒成立，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)時(shí)，與重合，當(dāng)時(shí)，的圖象由向右平移，此時(shí)圖象恒在下方，所以，且等號(hào)不能同時(shí)取到，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12．【正確答案】/【詳解】解：故13．【正確答案】【詳解】在中，，由正弦定理得，，解得，在中，，所以，所以塔高為．故．14．【正確答案】【分析】利用同構(gòu)思想，設(shè)，將有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成有兩個(gè)根，繼而又轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，研究函數(shù)的圖象，即可求得參數(shù)的范圍.【詳解】由，設(shè)，顯然該函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，于是由題意知，有兩個(gè)根，因?yàn)?則故與有兩個(gè)交點(diǎn).由，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，即時(shí)，取得極大值為，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖.由圖可得，要使有兩個(gè)根，需使，解得.故答案為.15．【正確答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，；(2).【詳解】（1）由題可知，令，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）由題可得，又，∴，即，又，所以的外接圓直徑，所以，的外接圓面積．16．【正確答案】(1)表格見(jiàn)解析，有關(guān)聯(lián)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為1，方差為【詳解】（1）零假設(shè)為：性別與課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)相互獨(dú)立，即性別與課間是否經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)無(wú)關(guān)，依題意，列出列聯(lián)表如下：課間不經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)合計(jì)男402060女501060合計(jì)9030120，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為性別與課間是否經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05（2）由題意得，經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)者的頻率為，所以在本校中隨機(jī)抽取1人為經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)者的概率為，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4，由題意得，所以，，，，，，的分布列為：01234的數(shù)學(xué)期望為，的方差為.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：在中，因?yàn)椋?，所以由余弦定理得，，所以，所以，即，在直四棱柱中，平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?（2）因?yàn)?，，兩兩相互垂直，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由，得，，所以A1,0,0，，，，，，，設(shè)m=x,y,z為平面則，即，令，解得，因?yàn)?，，設(shè)直線與平面所成角為，且，所以，從而，所以．所以直線與平面所成角的正切值為．18．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）焦點(diǎn)，∵，∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）顯然．直線斜率存在，設(shè)的方程為由，化簡(jiǎn)得：，設(shè)，則，∴

①直線的方程為，由化簡(jiǎn)得：，設(shè)則

②由①②得，∴

③（?。┤糁本€沒(méi)有斜率，則，又，∴，∴，∴的方程為．（ⅱ）若直線有斜率，為，直線的方程為，即，將③代入得，∴，故直線有斜率時(shí)過(guò)點(diǎn)．由（?。áⅲ┲?，直線過(guò)點(diǎn)．（3）由（2）得，，∴，且，設(shè)，∵，且，∴∴，故的取值范圍是．19．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）假設(shè)存在兩個(gè)不同的數(shù)，滿足題意，易知，由題意可得，即，，，，，又，所以.因?yàn)?，即，化?jiǎn)可得，又，所以，代入，可得或，所以為“切合函數(shù)”.（2）由題意知，因?yàn)闉椤扒泻虾瘮?shù)”，故存在不同