41動態(tài)問題（含解析）

一、選擇題

1.（2020?遼寧遼陽，T10,3分）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=2五,

CD_LA8于點￡）.點P從點A出發(fā)，沿AfOfC的路徑運動，運動到點C停止，過點。

作PE1AC于點石，作伊■鑒于點廠.設(shè)點P運動的路程為x,四邊形CEPF的面積為y,

則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【考點】E7：動點問題的函數(shù)圖象

【專題】66：運算能力；532：函數(shù)及其圖象；67：推理能力；535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì);

25：動點型

【分析】根據(jù)RtAABC中，48=90。，AC=BC=2板,可得AB=4,根據(jù)C￡）_LAB于

點。.可得">=%>=2,CD平分角AC8,點P從點A出發(fā)，沿AfOfC的路徑運動,

運動到點C停止，分兩種情況討論：根據(jù)正_LAC,PhBC，可得四邊形CEPb是矩形

和正方形，設(shè)點P運動的路程為X,四邊形CEP/的面積為y,進而可得能反映y與x之間

函數(shù)關(guān)系式，從而可以得函數(shù)的圖象.

【解答】解：在RtAABC中，Z4CB=90°,AC=BC=2近,

:.AB=4fZA=45°,

:.AD=BD=2,

PE±AC,PF工BC,

四邊形C￡P(guān)歹是矩形,

:.CE=PF,PE=CF,

點P運動的路程為x,

:.AP=x>

則4E=PE=xsin45o=立x,

2

:.CE=AC-AE=2>f2--xf

2

四邊形CEP/的面積為y,

當點尸從點A出發(fā)，沿Af。路徑運動時,

即0vxv2時，

y=FECE

=孝武2應(yīng)一告x)

=--x2+2x

2

1,

=--(X-2)2+2,

.?.當0vx<2時，拋物線開口向下；

當點P沿。fC路徑運動時，

即2,不<4時，

8是NAC6的平分線，

:.PE=PF,

二四邊形CEP尸是正方形，

AD=2,PD=x-2,

:.CP=4—x，

y=l(4-x)2=^(x-4)2.

.?.當2,X<4時，拋物線開口向上,

綜上所述：能反映y與X之間函數(shù)關(guān)系的圖象是：A.

故選：A.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

2.（2020四川南充，T3,4分）如圖，四個三角形拼成一個風車圖形，若48=2,當風車

轉(zhuǎn)動90。，點B運動路徑的長度為（）

C.3兀D.4兀

【考點】04：軌跡.

【專題】55C：與圓有關(guān)的計算；69：應(yīng)用意識.

【分析】由題意可得點B的軌跡是以A為圓心，AB長為半徑的弧，利用弧長公式可求解.

【解答】解：由題意可得：點8運動路徑的長度為='=兀,

180

故選：A.

【點評】本題考杳了軌跡，弧長公式，掌握弧長公式是本題的軌跡.

1.1.（3分）（2020?遼陽）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=2①,CDLAB

于點。.點尸從點A出發(fā)，沿AT。fC的路徑運動，運動到點C停止，過點尸作比JLAC

于點E,作勿_15c于點尸.設(shè)點P運動的路程為x,四邊形CEP/的面積為），，則能反

映），與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【考點】E7：動點問題的函數(shù)圖象

【專題】66：運算能力；532：函數(shù)及其圖象；67：推理能力；535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì);

25：動點型

【分析】根據(jù)KtAABC中，Z4c8=90。，AC=BC=2s/2,可得AB=4,根據(jù)CD_LA4于

點D.可得4)=%)=2,CO平分角AC8,點P從點A出發(fā)，沿AfOfC的路徑運動,

運動到點。停止，分兩種情況討論：根據(jù)P￡_LAC,PFLBC,可得四邊形CEP廠是矩形

和正方形，設(shè)點P運動的路程為一四邊形CE尸尸的面積為y,進而可得能反映)，與x之間

函數(shù)關(guān)系式，從而可以得函數(shù)的圖象.

【解答】解：在RtAABC中，/48=90。，AC=BC=2>/2,

,\AB=4,ZA=45°.

8_148于點。，

:.AD=BD=2t

PEA.AC,PFIBC,

.??四邊形CEP/是矩形，

:.CE=PF,PE=CF,

點P運動的路程為x,

:.AP=x>

則AE=PE=xsin450=^-x,

2

:.CE=AC-AE=242--xf

2

四邊形CEP/的面積為y,

當點尸從點A出發(fā)，沿AfO路徑運動時，

即0vxv2時，

y=PECE

=孝》(2亞-孝*)

=--x2+2x

2

=-i(x-2)2+2,

.?.當0vxv2時，拋物線開口向下;

當點尸沿。fC路徑運動時，

即2,x<4時，

8是NAC5的平分線，

:.PE-PF,

二四邊形CEP廠是正方形，

AD=2,PD=x-2,

:.CP=4-x，

y=l（4-x）2=^（x-4）2.

.?.當2,x<4時，拋物線開口向上,

綜上所述：能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是：A.

故選：A.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

1.（2020甘肅金昌.T10.3分）如圖①,正方形AAO中,AC,RD相交于點。.E是O/）

的中點.動點尸從點E出發(fā)，沿著EfOfAfA的路徑以每秒1個單位長度的速度運動

到點A,在此過程中線段AP的長度y隨著運動時間x的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，則的長

為（）

圖①?圖②

A.4x/2B.4C.3GD.2應(yīng)

【考點】E7：動點問題的函數(shù)圖象

【專題】25：動點型；556：矩形菱形正方形；69：應(yīng)用意識

【分析】連接AE,由題意OE=OE,設(shè)DE=OE=x,貝iJO4=OD=2x,AE=2y/5,在

RtAAEO中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接AE.

圖①

四邊形ABC。是正方形，

/.AC1BD.OA=OC=OD=OB,

由題意DE=OE,設(shè)DE=OE=x,則6H=8=2x,

AE=2xf5,

/.X2+(2X)2=(2>/5)2,

解得x=2或-2(不合題意舍棄),

,-,OA=OD=4,

AB=AD=4>/2,

故選：A.

【點評】本題考查動點問題，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意

讀懂圖象信息，屬于中考常考題型.

2.1.（2020?甘肅武威，T10,3分）如圖①，正方形中，AC,皮）相交于點O,E

是。”的中點.動點尸從點E出發(fā)，沿著EfOfAfA的路徑以每秒1個單位長度的速

度運動到點A,在此過程中線段AP的長度>>隨著運動時間x的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，則AB

的長為（）

A.4及B.4C.3GD.2>/2

【考點】E7：動點問題的函數(shù)圖象

【專題】25：動點型；556：矩形菱形正方形；69：應(yīng)用意識

t分析】連接AE，由題意設(shè)D七=OH=x,貝iJOA=O/J=2x,AE=2^,在

RtAAEO中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

四邊形A8C。是正方形，

:.ACrBD,OA=OC=OD=OB,

由題意DE=OE,設(shè)DE=OE=x,^]OA=OD=2x,

4E=2逐，

/.x2+（2x）2=（2石）2,

解得x=2或-2（不合題意舍棄），

.\OA=OD=4,

AB=AD=4yf2,

故選：A.

【點評】本題考查動點問題，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意

讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型

3.1.（2020臺州T9,4分）如圖1,小球從左側(cè)的斜坡滾下，到達底端后又沿著右側(cè)斜坡

向上滾，在這個過程中，小球的運動速度】，（單位：m/s）與運動時間，（單位：s）的函數(shù)

圖象如圖2,則該小球的運動路程y（單位：m）與運動時間/（單位：s）之間的函數(shù)圖象大

O

圖1圖2

y\

B.

c.D.

【考點】￡7：動點問題的函數(shù)圖象

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；69：應(yīng)用意識

【分析】小球從左側(cè)的斜坡滾下是勻變速運動，運動的路程），是/的二次函數(shù)，圖象是先緩

后陡，由此即可判斷.

【解答】解：小球從左側(cè)的斜坡淡下是勻變速運動，運動的路程），是f的二次函數(shù)，圖象是

先緩后陡,

在右側(cè)上升時，情形與左側(cè)相反,

故選：C.

【點評】本題考查動點問題函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

1.12.（3分）（2020?雅安）已知，等邊三角形ABC和正方形OEFG的邊長相等，按如圖所

示的位置擺放（。點與E點重合），點8、C、尸共線，AA8c沿M方向勻速運動，直到5

點與尸點重合.設(shè)運動時間為/,運動過程中兩圖形重疊部分的面積為S,則下面能大致反

映s與f之間關(guān)系的函數(shù)圖象是（）

s.s.

c.qtD.

【考點】E7：動點問題的函數(shù)圖象

【專題】65：數(shù)據(jù)分析觀念；25：動點型

【分析】分點。在防中點的左側(cè)、點C在所中點的右側(cè)兩種情況，分別求出函數(shù)的表達

式即可求解.

【解答】解：設(shè)等邊三角形ABC和正方形。瓦G的邊長都為a,

當點C在所的中點左側(cè)時，

設(shè)AC交DE于點〃，

則CX=7,HE=ETtanACB=ixg=5,

則5=5“^=；xCExHE=gxtx?=,,圖象為開口向上的二次函數(shù)；

當點C在即的中點右側(cè)時，

同理可得：S瀉/_與9*=+2ai）,圖象為開口向下的二次函數(shù)；

故選：A.

【點評】本題考查的是動點圖象問題，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的

對應(yīng)關(guān)系，進而求解.

4.1.（2020安徽，T10,4分）如圖，AABC和AM廠都是邊長為2的等邊三角形，它們

的邊8C,即在同一條直線/上，點C,E重合.現(xiàn)將AABC在直線/向右移動，直至點8

與尸重合時停止移動.在此過程中，設(shè)點C移動的距離為x,兩個三角形重疊部分的面積

為y,則y隨］變化的函數(shù)圖象大致為（）

AD

B

【專題】68：模型思想；536：二次函數(shù)的應(yīng)用；535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)

【分析】分為0<&2、2<工,4兩種情況，然后依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式

可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，于是可求得問題的答案.

【解答】解：如圖1所示：當0<&2時，過點G作G〃_L8產(chǎn)于”.

MBC和NDEF均為等邊三角形,

」.△G0為等邊三角形.

「口￡匚1V5

..GH=—EJ=-x,

22

:.y=-EJGH=—x2.

24

當x=2時，y=&,且拋物線的開口向上.

如圖2所示：2<工,4時，過點G作G"_LB產(chǎn)于H.

A

y=LFJGH=^,函數(shù)圖象為拋物線的?.部分’且拋物線開口向上.

故選：A.

【點評】本題主要考查的是動點問題的函數(shù)圖象，求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

2.（2020甘肅武威、定西，T10,3分）如圖①，正方形ABC。中，AC,8。相交于點O,

E是8的中點.動點P從點石出發(fā)，沿著8-A的路徑以每秒1個單位長度的

速度運動到點A,在此過程中線段AP的長度y隨著運動時間x的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，則

AB的長為（）

【考點】￡7：動點問題的函數(shù)圖象

【專題】25：動點型；556：矩形菱形正方形：69：應(yīng)用意識

【分析】連接AE,由題意￡>E=OE,設(shè)。石=。石=工，則Q4=QD=2x,AE=2后,在

RtAAEO中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接AE.

圖①

四邊形A3C。是正方形，

..AC±BD,OA-OC-OD-OB,

由題意DE=OE,設(shè)DE=OE=x,則Q4=Q￡）=2x,

AE=2亞,

x1+（2x）2=（2石＞,

解得x=2或-2（不合題意舍棄），

,.OA=OD=4f

..AB=AD=4yf2,

故選：A.

【點評】本題考查動點問題，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意

讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型.

7.1.（2020江蘇常州，T7,2分）如圖，是O的弦，點C是優(yōu)瓠上的動點（C不

與A、B重合）,CHLAB,垂足為H,點M是3c的中點.若。的半徑是3,則長

的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【考點】KP：直角三角形斜邊上的中線

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及直徑是圓中最大的弦，即可求得M4的最大

值是3.

【解答】解：CHJ.AB,垂足為〃，

/.ZCHB=9QP,

點M是的中點.

2

BC的最大值是直徑的長，O的半徑是3,

?.M”的最大值為3,

故選：A.

【點評】本題考查了直角三角形斜邊直線的性質(zhì)，明確8C的最大值為。的直徑的長是解

題的關(guān)鍵.

1.（2020遼陽，T10,3分）如圖，在RtAABC中，N4C8=90°,AC=BC=242，CDLAB

于點。.點P從點A出發(fā)，沿的路徑運動，運動到點C停止，過點尸作PE1AC

于點E,作P/_L5C于點尸.設(shè)點P運動的路程為x,四邊形CEP尸的面積為），，則能反

映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【考點】E7：動點問題的函數(shù)圖象

【專題】66：運算能力；532：函數(shù)及其圖象：67：推理能力；535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；

25：動點型

【分析】根據(jù)RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=2五,可得AB=4,根據(jù)CD_LA8于

點、D.可得AD=8Z）=2,CD平分角ACB,點尸從點A出發(fā)，沿Af0fC的路徑運動,

運動到點C停止，分兩種情況討論：根據(jù)PE_LAC,PF±BC,可得四邊形CEP尸是矩形

和正方形，設(shè)點尸運動的路程為x,四邊形CEPF的面積為y,進而可得能反映y與x之間

函數(shù)關(guān)系式，從而可以得函數(shù)的圖象.

【解答】解：在RtAABC中，Z4CB=90°,AC=BC=2丘,

:.AB=4,ZA=45。，

8_14?于點。，

..AD=BD=2,

PEA.AC,PF工BC,

.??四邊形。與平'是矩形，

:.CE=PF,PE=CF,

點尸運動的路程為x,

:.AP=x，

則AE=PE=xsin45°=—x,

2

:.CE=AC-AE=2yf2-—x

2t

四邊形C￡P(guān)b的面積為)，，

.??當點尸從點A出發(fā)，沿Af。路徑運動時,

即0vxv2時，

y=PECE

=冬(2&-冬)

=~(X-2)2+2,

.?.當Uvxv2時，拋物線開口向下;

當點P沿。1C路徑運動時，

即2,不＜4時，

8是NACB的平分線，

:.PE=PF,

二.四邊形CEP/是正方形，

AD=2,PD=x-2,

:.CP=4-x，

y=l(4-x)2=g(x—4)2.

.?.當2,x<4時，拋物線開口向上，

綜上所述：能反映y與r之間函數(shù)關(guān)系的圖象是：A.

故選：A.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

二、填空題

1.（2020?內(nèi)蒙古通遼，T17,3分）如圖①，在AABC中，AB=ACfZE4C=120°,點

E是邊相的中點，點戶是邊8C上一動點，設(shè)PC=x,PA+PE=y.圖②是），關(guān)于x的函

數(shù)圖象，其中〃是圖象上的最低點.那么“+力的值為_3+26_.

【考點】E7：動點問題的函數(shù)圖象

【專題】25：動點型；152：幾何綜合題；65：數(shù)據(jù)分析觀念

【分析】點A關(guān)于5c的對稱點為點4,連接AE交8。于點尸，此時），最小，進而求解.

【解答】解：如圖，將AABC沿8c折疊得到△A8C,則四邊形WC為菱形，菱形的對

角線交于點O，

設(shè)菱形的邊長為2帆，在A4BC中，BC=2BO=2xACsinAOAC=4mxsin60°=2>/3m,

從圖②看，BC=3J5=2\/3m>解得：wz=—；

2

點A關(guān)于BC的對稱點為點W,連接AE交BC于點尸，此時y最小，

AB=AC,ZR4C=120°,

則NW600,故A4'8為等邊三角形，

E是AB的中點，故AEJLAB,

而AB〃AC,故4列C為直角，

AC2m4>/3

則a=PC=------=----m，

cosZ.BCA!cos3003

此時b=AA!=2m,

4n

貝!Ja+力=2m+---m=3+.

3

故答案為3+2X/5.

【點評】本題是運動型綜合題，考查了動點問題的函數(shù)圖象、菱形的性質(zhì)、解直角三角形.解

題關(guān)鍵是深刻理解動點的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點所代表的實際意義，理解動點的完整

運動過程.

2.（2020四川涼山州，T24,5分）如圖，矩形ABC。中，AD=\2,45=8,E是A8上

一點，且仍=3,F是BC上一動點,若將AE8產(chǎn)沿砂對折后，點3落在點尸處，則點P

到點。的最短距離為」

【考點】LB：矩形的性質(zhì)；PB：翻折變換（折疊問題）

【專題】69：應(yīng)用意識；556：矩形菱形正方形；558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱

【分析】先根據(jù)勾股定理計算ED的長，當E、P、。共線時，OP最小，即最短距離是此

時PD的長.

【解答】解：如圖，連接叨，DE,

四邊形A8CD是矩形,

/.ZA=90°,

AB=8，BE=3，

:.AE=5，

4)=12,

:.DE=^52+\22=13,

由折疊得：EB=EP=3,

EP+DP..ED,

.?.當E、P、。共線時，DP最小，

:.DP=DE-EP=\3-3=\0；

故答案為：10.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，翻折變換的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)

圖形確定點P到點D的最短距離解決問題.

3.（2020廣東佛山，河源，惠州，江門，T17,4分）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在

下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、

梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖，NABC=90。，點M,N分

別在射線BA,BC上，MN長度始終保持不變，MN=4,E為MN的中點，點。到B4,

BC的距離分別為4和2.在此滑動過程中,貓與老鼠的距離DE的最小值為_2逐-2.

【考點】KP：直角三角形斜邊上的中線；M8：點與圓的位置關(guān)系.

【專題】25：動點型；552：三角形；69：應(yīng)用意識.

【分析】如圖，連接BE,BD.求出BE,BD,根據(jù)80-求解即可.

【解答】解：如圖，連接BE,BD.

由題意BD=V22+42=2逐，

?.?/MBN=90°,MN=4,EM=NE,

1

:?BE=-MN=2,

2

???點E的運動軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓,

???當點E落在線段8D上時，DE的值最小,

.???！甑淖钚≈禐?6-2.

故答案為2逐-2.

【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

4.（2020?綿陽，T17,4分）如圖，四邊形A48中，ABHCD,N4BC=60。，

AD=8C=C￡）=4,點M是四邊形48a＞內(nèi)的一個動點，滿足NAW=90°,則點M到直

【考點】KQ：勾股定理；K6：三角形三邊關(guān)系；J4：垂線段最短

【專題】69：應(yīng)用意識；55E：解直角三角形及其應(yīng)用

【分析】取4）的中點O,連接OM,過點M作ME_L8C交3C的延長線于E,點點O作

OhBC于F,交CD于G,則。M+求出OM,O尸即可解決問題.

【解答】解：取4）的中點O,連接OM,過點M作腔_L5c交3c的延長線于E,點點O

作。尸于尸，交CD于G,則OM+ME.a\

Z/VWD=90°,AD=4,OA=OD,

:.OM=-AD=2,

2

AB//CD,

.?.NGCF=N8=60。，

.-.Z￡>GO=ZCGE=30o,

AD=BC,

/.ZZMB=ZB=60°,

..ZADC-XBCD-120°，

/./DOG=30°=NDGO，

..DG=DO=2,

CD=4,

..CG=2,

:.OG=2yf3,GF=g,OF=3百,

:.ME..OF-OM=3&2,

.?.當O,M,E共線時，ME的值最小，最小值為3百-2.

【點評】本題考查解直角三角形，垂線段最短，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型.

1..（2020?廣東中山?T17?4分）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯

住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理

想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖，NA8C=90°,點M,N分別在射線84,BC

上，MN長度始終保持不變，MN=4,E為MN的中點，點力到BA,BC的距離分別為4

和2.在此滑動過程中，貓與老鼠的距離。E的最小值為,逐二2.

【考點】KP：直角三角形斜邊上的中線；M8：點與圓的位置關(guān)系.

【專題】25：動點型；552：三角形；69：應(yīng)用意識.

【分析】如圖，連接BE,BD.求出BE,BD,根據(jù)。E25O?3E求解即可.

【解答】解：如圖，連接BEBD.

B

由題意BD=V22+42=275,

VZMBN=90°,MN=4,EM=NE,

：.BE=-MN=2,

2

???點E的運動軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓,

，當點E落在線段8。上時，￡>E的值最小，

???￡>七的戢小值為2逐-2.

故答案為26-2.

【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

5.（2020?廣東汕頭，T17,4分）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯

住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理

想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖，NA8C=90°,點用，N分別在射線84,BC

上，MN長度始終保持不變，MN=4,七為MN的中點，點。到陰，8c的距離分別為4

和2.在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為_2百-2_.

【考點】KP：直角三角形斜邊上的中線；M8：點與圓的位置關(guān)系.

【專題】25：動點型；552：三角形；69：應(yīng)用意識.

【分析】如圖，連接BE,BD.求出BE,BD,根據(jù)-BE求解即可.

【解答】解：如圖，連接BE,BD.

由題意BD=V22+42=2后，

?:NMBN=90°,MN=4,EM=NE,

:?BE=LMN=2,

2

，點E的運動軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓，

???當點E落在線段B。上時，￡>￡的值最小，

???￡>七的最小值為-2.

故答案為2石-2.

【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

1.1.（3分）（2020?通遼）如圖①，在AA3C中，AB=AC,NBAC=120。，點E是邊AB

的中點，點P是邊8c上一動點，設(shè)PC=x,PA+PE=y.圖②是y關(guān)于4的函數(shù)圖象，

其中”是圖象上的最低點.那么a+b的值為_3+26_.

①②

【考點】￡7：動點問題的函數(shù)圖象

【專題】25：動點型；152：幾何綜合題；65：數(shù)據(jù)分析觀念

【分析】點A關(guān)于的對稱點為點4,連接AE交于點尸，此時），最小，進而求解.

【解答】解：如圖，將AA4C沿3c折疊得到△A3C,則四邊形A8YC為菱形，菱形的對

角線交于點O，

設(shè)菱形的邊長為26，在A4BC中，BC=2BO=2xACsinZOAC=4mxsin60°=2y/3m,

從圖②看，BC=35/3=2\/3rn,解得：tn=—；

2

點A關(guān)于BC的對稱點為點4,連接AE交BC于點尸，此時y最小，

AB=AC,ZR4C=120°,

則NaW=60°,故A/T8為等邊三角形，

E是回的中點，故

而AB//AC,故4VVC為直角，

l”A:CIm4g

WmiOa-PC=---------=------=----tn,

cosZBCA*cos3003

此時力=A4'=2w,

則a+b=2m+'也一=3+2G.

3

故答案為3+2石.

【點評】本題是運動型綜合題，考查了動點問題的函數(shù)圖象、菱形的性質(zhì)、解直角三角形.解

題關(guān)鍵是深刻理解動點的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點所代表的實際意義，理解動點的完整

運動過程.

2.2.（2020湖南長沙，T16,3分）如圖，點尸在以MN為直徑的半圓上運動（點P不與

M,N重合），尸QLMN,NE平分乙MNP,交,尸M于點七,交尸Q于點

PFPE

(1)

~PQ~PM

(2)若PM=PM?MN,嚅一理

【考點】M5：圓周角定理；S9：相似三角形的判定與性質(zhì).

【專?題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；55D：圖形的相似；66：運算能力；67：推理能力.

【分析】(1)證明得第0—①，證明△NPQS^PM。，得景奠一

ppOF

②，再①x②得——二乂一，再變形比例式便可求得結(jié)果;

PMPQ

(2)證明△NPQSZ^VMP,得PN?=NQ?MN,結(jié)合已知條件得PM=NQ,再根據(jù)三角函

數(shù)得黑=需進而得MQ與世的方程，再解一元二次方程得答案.

【解答】解：（1）;MN為。0的直徑,

JNMPN=90。，

???PQ_LMN,

NPQN=NMPN=90°,

VNE平分ZPNM,

：.NMNE=NPNE,

:?工PENs^QFN,

PEPNPEQF

—=——，即nn——=—①,

QFQNPNQN

,：NPNQ+NNPQ=NPNQ+NPMQ=90。,

：.4NPQ=NPMQ,

*：NPQN=NPQM=90°,

:.△NPQs△產(chǎn)MQ,

?喘嗡②，

???①、②得器啜，

?;QF=PQ-PF,

.PEQF_PF

''~PM~~PQ~~PQ

PFPE

??----1--------=19

PQPM

故答案為：1;

(2)?:NPNQ=/MNP,NNQP=NNPQ,

:.XNPQS4NMP、

.PNQN

??而一麗’

:?Pffi=QN?MN,

■:Pffi=PM?MN,

:?PM=QN,

.MQMQ

9~NQ~~PM

MQPM

VtanZA/=—

PM~~MN

.MQPM

?而一而

.MQ二NQ

'7/Q~MQ+NQ

MQ?MQ

:?NU=MgMQ?NQ,BPIN。十而，

MQ^=x,f+x-i=o,

NQ

解得，x=——->或x=--<0(舍去)，

22

.MQ__>/5-l

??------X，

NQ2

山田》“，5―1

故答案為：—-—.

2

【點評】本題主要考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，關(guān)鍵

是靈活地變換比例式.

3.(2020江蘇淮安，T16,3分)如圖，等腰AABC的兩個頂點A(-l,Y)、5(-4,T)在反比

例函數(shù)y=2(xv0)的圖象上，AC=BC.過點C作邊的垂線交反比例函數(shù)y=&(xv0)

xx

的圖象于點O,動點P從點。出發(fā)，沿射線8方向運動3夜個單位長度，到達反比例函

【考點】G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；KH：等腰三角形的性質(zhì)

【專題】69：應(yīng)用意識；554：等腰三角形與直角三角形；533：一次函數(shù)及其應(yīng)用；534：

反比例函數(shù)及其應(yīng)用；66：運算能力

【分析】用待定系數(shù)求得反比例函數(shù)y=再與直線y=x聯(lián)立方程組求得。點坐標，再

X

題意求得運動后P點的坐標，最后將求得的P點坐標代入y=$(x>0)求得結(jié)果.

x

【解答】解：把A(T,Y)代入)，=/中得，…，

X

反比例函數(shù)y=&為)，=±

xx

A(T-4)、B(-4-1),

二.AB的垂直平分線為、=”，

AC=BC,CDLAB,

8是A3的垂直平分線，

8與反比例函數(shù))，=&(x<0)的圖象于點。，

x

D(-2-2),

動點尸從點O出發(fā)，沿射線CO方向運動3夜個單位長度，到達反比例函數(shù)y=%(x>0)

x

圖象上一點,

/.設(shè)移動后的點P的坐標為(m,/?)(/?>-2),則

(x+2)2+(X+2)2=(3>/2)2,

?，.X=1,

把P（l,l）代入尸與（彳＞0）中，得刈=1,

x

故答案為：1.

【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求反比例函數(shù)圖象

與一次函數(shù)圖象的交點坐標，待定系數(shù)法，關(guān)鍵是確定直線8的解析式.

1.（2020黑龍江鶴崗，T28,10分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形A8CD的邊/W長是

/-3%-18=0的根，連接3￡）,ZDBC=30°,并過點。作CN_L3￡）,垂足為N,動點。從

B點以每秒2個單位長度的速度沿3。方向勻速運動到。點為止；點M沿線段D4以每杪

行個單位長度的速度由點。向點A勻速運動，到點4為止，點尸與點M同時出發(fā)，設(shè)運

動時間為/秒（f＞0）.

（1）線段CV=_3G_；

（2）連接PM和MN,求APAW的面積s與運動時間/的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在整個運動過程中，當APMV是以PN為腰的等腰三角形時，直接寫出點P的坐標.

【考點】LO：四邊形綜合題

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用；556：矩形菱形正方形；554：等腰三角形與直角三

角形；67：推理能力

【分析】（1）解方程求出AS的長，由直角三角形的性質(zhì)可求比＞，8C的長，CN的長；

（2）分三種情況討論，由三角形的面積可求解；

（3）分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解.

【解答】解：(1)48長是％2_3工_18=0的根,

..AB-6，

四邊形A5CO是矩形，

:.AD=BC，AB=CD=6,48=90°,

ZDBC=30°，

:.BD=2CD=12,BC=?CD=6E,

ZDBC=30°,CN工BD,

:.CN=>BC=*,

2

故答案為：3百.

:.ZADB=ZDBC=30°,

:.MH=-MD=—t,

22

NDBC=30°,CNA.BD,

.?.8N=&N=9,

當0<f<2時，=-x(9-2z)x—/=--r2

22224

當［=2時，點?與點N重合，5=o,

2

當2<1,,6時，APMV的面積S=1x(2z—9)x立￡=立/一也/：

22224

(3)如圖，過點尸作莊_L8C于E,

y

當PN=PM=9—2z時,

PM2=MH2+PH2,

/.(9-2/)2=(爭>+(12-2r-1r)2,

…7

t=3i=一,

3

,14

「.8P=6或一，

3

當8尸=6時，

NDBC=30°,PE±BC,

:.PE=LBP=3,BE=gPE=34i,

2

:.點P(3百,3),

14

當8P=*時，

3

同理可求點P(苧，()，

當尸N=M/=9-2r時，

NM?=MH?+NH?,

.-.(9-2/)2=(-y/)2+(|r-3)2,

.?/=3或24(不合題意舍去)，

:.BP=6,

點尸（3石，3）,

綜上所述：點尸坐標為（36,3）或（苧，1）.

【點評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，三角形的面積公

式，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

1.（2020浙江嘉興，T16,4分）如圖，有一張矩形紙條ABC。，AB=5cm,BC=2cm,

點M,N分別在邊4笈，8上，CN-\cm.現(xiàn)將四邊形3cM（沿MN折疊，使點B,C

分別落在點B',C'上.當點3'恰好落在邊CD上時，線段8M的長為_行_酒；在點M

從點A運動到點4的過程中，若邊M夕與邊CD交于點E,則點E相應(yīng)運動的路徑長為

【考點】04：軌跡；LB：矩形的性質(zhì)；PB：翻折變換（折疊問題）

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；55E：解直角三角形及其應(yīng)用；69：應(yīng)用意識

【分析】第一個問題證明助Vf=M￡=MT,求出M5即可解決問題.第二個問題，探究點E

的運動軌跡，尋找特殊位置解決問題即可.

圖1

四邊形A8C。是矩形，

..AB//CD,

N1=N3,

由翻折的性質(zhì)可知：Z1=Z2,BM=MB,

「.N2=Z3,

:.MB=NB,

NB'=ylB'C1+NC,2=V22+12=6(cm),

/.BM=NB'=#（cm）.

如圖2中，當點M與A重合時，AE=EN,設(shè)AE=EN=xcm,

在RtAADE中，則有爐=22+（4-幻2,解得工二2,

2

53

/.DE=4--=—（cm）,

如圖3中，當點M運動到時，的值最大，OE=5-1-2=2（麗），

如圖4中，當點”運動到點"落在CD時，。用（即?！辏?5-1-6=（4-石）（刖），

點E的運動軌跡ETETE',運動路徑

=巫*+￡^=2一,+2一（4一6）=（逐一；）（加）.

圖4

故答案為石，（石-|）.

【點評】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意,

靈活運用所學知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

4.（2020江蘇淮安，T27,14分）如圖①，二次函數(shù)），=-/+加+4的圖象與直線/交于

A（-1,2）、8（3,〃）兩點.點P是x軸上的一個動點，過點P作工軸的垂線交直線1于點M,

交該二次函數(shù)的圖象于點N,設(shè)點尸的橫坐標為機.

（1）b=1，n=；

（2）若點N在點M的上方,且MN=3,求m的值；

（3）將直線向上平移4個單位長度，分別與x軸、），軸交于點C、D（如圖②）.

①記AA6C的面積為S,AAAC的面積為S2,是否存在使得點N在直線AC的上方，

且滿足S-S2=6?若存在，求出m及相應(yīng)的航，邑的值；若不存在，請說明理由.

②當相＞-1時，將線段M4繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段連接尸5、FC、OA.若

/FBA+ZAOD-/BFC=45。，直接寫出直線"與該二次函數(shù)圖象交點的橫坐標.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題

【專題】66：運算能力；15:綜合題

【分析】（1）將點A坐標代入二次函數(shù)解析式中，求出b,進而得出二次函數(shù)解析式，再將

點B坐標代入二次函數(shù)中，即可求出〃的值；

（2）先表示出點N的坐標，進而用MN=3建立方程求解，即可得出結(jié)論；

（3）①先求出點C坐標，進而求出直線AC的解析式，再求出直線BC的解析式，進而表

示出S1,S2,最后用$-02=6建立方程求出的值；

②先判斷出CF//O4,進而求出直線C尸的解析式，再利用三垂線構(gòu)造出AAQMMAM",

得出產(chǎn)S=MQ,進而建立方程求出點尸的坐標，即可求出直線。戶的解析式，最后聯(lián)立二

次函數(shù)解析式，解方程組即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）將點4—1,2）代入二次函數(shù)），=-/+加+4中，得一1一人+4=2,

「2=1,

.??二次函數(shù)的解析式為y=-/+/+4,

將點8(3,〃)代入二次函數(shù)y=-f+x+4中，得〃=一9+3+4=—2,

故答案為：1,—2；

(2)設(shè)直線AB的解析式為)，="+〃，由(1)知，點8(3,—2),

A(-L2),

(-k+a=2

-[3k+a=-2，

k=-\

9

a=1

二直線AB的解析式為y=-x+\,

由(1)知，二次函數(shù)的解析式為丁=-丁+%+4,

點P(m,O),

2

M(m、-m+1),N(my-m+/n+4),

點N在點M的上方，且MN=3,

-rtf+/n+4-(-tn+1)=3,

..祖=0或，"=2；

(3)①如圖1,山(2)知，直線的解析式為y=-x+l,

直線8的解析式為y=-x+l+4=-x+5?

令y=0,則T+5=0,

x=5?

.-.C(5,0),

A(-l,2),8(3,-2),

???直線AC的解析式為y=+：,直線BC的解析式為y=x-5,

過點N作)，軸的平行線交AC于K,交BC于H,點P(〃?,0),

二.Nm+4),K(m,--m+—),H(m,/n-5),

/.NK=―府+m+4d—tn—=H—wn—，NH=一任+9，

3333

2

S2=S^AC=；NKx@c-xA)=^(-nr+^m+^)x6=-3/w+4m+7,

12

S=Sw蛇=-NHx(xc-xB)=-m'+9,

S1-S2=6?

-nr+9-(-3/?2+46+7)=6,

:.m=T+6(由于點N在直線AC上方，所以，舍去)或6=1->/5：

2

S2=-3m+4w+7=-3(1-西+4(1-退)+7=26一1,

S,=-m2+9=-(l-\/3)24-9=273+5