復(fù)變函數(shù)期末考試一、單選題1.復(fù)變函數(shù)中的全純函數(shù)是什么？(3.00分)A.在復(fù)平面上處處可導(dǎo)的函數(shù)B.在某區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)的函數(shù)C.在某點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)D.在某條曲線上可導(dǎo)的函數(shù)答案：B2.復(fù)數(shù)的輻角主值范圍是？(3.00分)A.[0,2π)B.(-π,π]C.[0,π)D.(-∞,+∞)答案：B3.復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理適用于哪種類型的積分？(3.00分)A.任意閉合曲線內(nèi)的積分B.解析函數(shù)在閉合曲線內(nèi)的積分C.任意區(qū)域內(nèi)的積分D.閉合曲線外的積分答案：B4.(3.00分)答案：A5.復(fù)數(shù)的幾何表示中，實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)什么？(3.00分)A.實(shí)軸和虛軸B.實(shí)軸和極角C.虛軸和模D.模和輻角答案：A6.(3.00分)A.有極限B.可導(dǎo)C.有界D.有奇點(diǎn)答案：D7.復(fù)數(shù)的共軛是如何定義的？(3.00分)A.實(shí)部變虛部，虛部變實(shí)部并變號(hào)B.實(shí)部變虛部，虛部不變C.實(shí)部不變，虛部變號(hào)D.實(shí)部和虛部都變號(hào)答案：C8.下列哪個(gè)積分是復(fù)變函數(shù)中的路徑積分？(3.00分)A.∫f(x)dxB.∫f(z)dzC.∫f(x,y)dxdyD.∫f(x,y)ds答案：B9.下列哪個(gè)級(jí)數(shù)在復(fù)平面上除z=0外處處收斂？(3.00分)A.∑z^nB.∑1/z^nC.∑n!z^nD.∑(z/n)^n答案：D10.(3.00分)答案：A二、判斷題1.復(fù)變函數(shù)中的解析函數(shù)一定是全純函數(shù)。(3.00分)答案：正確2.復(fù)變函數(shù)中的全純函數(shù)一定解析。(3.00分)答案：正確3.(3.00分)答案：錯(cuò)誤4.復(fù)變函數(shù)中的零點(diǎn)與極點(diǎn)總是成對(duì)出現(xiàn)的。(3.00分)答案：錯(cuò)誤5.復(fù)數(shù)的?？偸欠秦?fù)的。(3.00分)答案：正確6.復(fù)變函數(shù)中的洛朗級(jí)數(shù)展開總是唯一的。(3.00分)答案：錯(cuò)誤7.復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理是計(jì)算閉合曲線內(nèi)積分的有力工具。(3.00分)答案：正確8.復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)處的極限存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)處一定連續(xù)。(3.00分)答案：正確9.(3.00分)答案：錯(cuò)誤10.復(fù)變函數(shù)中的孤立奇點(diǎn)只有三種類型：可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)。(3.00分)答案：正確三、名詞解釋1.全純函數(shù)(5.00分)解析：在某區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)的復(fù)變函數(shù)。2.復(fù)數(shù)(5.00分)解析：由實(shí)部和虛部組成的數(shù)，形如z=a+bi，其中a、b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，滿足i2=-1。3.解釋什么是“復(fù)變函數(shù)的解析性”。(5.00分)答案：復(fù)變函數(shù)的解析性是指函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)域內(nèi)處處存在且連續(xù)。若復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某區(qū)域內(nèi)解析，則必須滿足柯西-黎曼方程：四、計(jì)算題1.(10.00分)解析：2.證明：若復(fù)變函數(shù)f(z)在z?處可導(dǎo)，則f(z)在z?處連續(xù)。(15.00分)解析：證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v分別為f的實(shí)部和虛部。若f(z)在z?=x?+iy?處可導(dǎo)，則根據(jù)柯西-黎曼方程，u和v在(x?,y?)處滿足一定條件，且f'(z?)存在。根據(jù)復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，有l(wèi)im[(z→z?)][f(z)-f(z?)]/(z-z?)=f'(z?)即lim[(z→z?)][u(x,y)+iv(x,y)-u(x?,y?)-iv(x?,y?)]/(z-z?)=f'(z?)由于z-z?可以表示為(x-x?)+i(y-y?)，上式可以拆分為實(shí)部和虛部?jī)刹?/p>