5.2解一元一次方程（第4課時去分母）教學設計一、內容和內容解析1.內容本節(jié)課是人教2024版《義務教育教科書?數(shù)學》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“一元一次方程”5.2解一元一次方程第4課時，內容包括一元一次方程的去分母解法，歸納解一元一次方程的基本步驟，用方程模型解決實際問題.2.內容解析去分母是解方程、不等式時常用的基本步驟之一，是一種同解變形，通過去分母可以使分數(shù)系數(shù)方程轉化為整數(shù)系數(shù)方程，從而使方程形式簡化．本課是運用去分母解方程的初次嘗試，其中進一步滲透化歸思想．至此，在已學習過的解方程方法基礎上，可以得到解一元一次方程的一般步驟1：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．去分母是在保持方程的左右兩邊相等的前提下，把分數(shù)系數(shù)方程轉化為整數(shù)系數(shù)方程，其依據(jù)是等式性質2，即在方程兩邊同時乘分母的最小公倍數(shù)，再運用分配律進行化簡，將方程轉化為形式更簡單的同解方程．基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學重點為：解含有分數(shù)系數(shù)的一元一次方程，歸納解一元一次方程的基本步驟，體會建立一元一次方程模型解決實際問題的思想方法．二、目標和目標解析1.目標（1）會通過去分母解一元一次方程．（2）歸納一元一次方程解法的一般步驟，體會解方程中化歸和程序化的思想方法．（3）體會建立方程模型的思想．2.目標解析達成目標（1）的標志是：知道去分母的依據(jù)，會正確地去分母，把分數(shù)系數(shù)方程轉化為整數(shù)系數(shù)方程并求解．達成目標（2）的標志是：通過對方程特征的研究和分析，歸納出解一元一次方程的一般步驟，進一步加強對方程解法的理解，體會其中蘊含的程序化思想．達成目標（3）的標志是：經歷審題、列含有分母的一元一次方程并求解的過程，進一步領悟方程思想．三、教學問題診斷分析去分母使方程的系數(shù)都化為整數(shù)，可以使解方程過程中減少分數(shù)運算，從而使計算更加方便．本節(jié)課前學生已經學習了除去分母以外的解一元一次方程的四種基本步驟，而對于含分數(shù)系數(shù)的一元一次方程的解法還是初次接觸，不熟悉去分母的方法，在去分母的過程中經常出現(xiàn)不知應乘以幾以及漏乘和對分數(shù)線的理解不全面等錯誤．因此，要讓學生明白去分母的目的及原理，多讓學生進行錯例診斷，從而減少出錯率．提醒學生注意分數(shù)線有兩層意義，一方面它是除號，另一方面它又代表著括號，所以在去分母時，應該將分子用括號括上．有些學生對解方程是逐步向“x=a”轉化的實質理解仍不到位，所以教師應繼續(xù)加以引導，讓學生深入理解解方程的本質．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：準確列出一元一次方程，正確地進行去分母并解出方程．四、教學過程設計（一）創(chuàng)設情境，提出問題問題1：問題：如下圖，翠湖在青山、綠水兩地之間，距青山50km，距綠水70km.某天，一輛汽車勻速行駛，途經王家莊、青山、綠水三地的時間如下表所示.王家莊距翠湖的路程有多遠？地名王家莊青山綠水時間10:0013:0015:00師生活動：學生審題后，教師提問：追問1：題中涉及哪些相等關系？追問2：應怎樣設未知數(shù)？如何根據(jù)相等關系列出方程？教師展示問題，讓學生思考，獨立完成分析并經歷以下思維過程．設王家莊距翠湖的路程為xkm，則王家莊距青山的路程為(x－50)km，王家莊距綠水的路程為(x+70)km.由表格可知，汽車從王家莊到青山的行駛時間為3h，從王家莊到綠水的行駛時間為5h.根據(jù)汽車在各段的行駛速度相等，列得方程.【設計意圖】由一道有關數(shù)學的問題，引出帶有分數(shù)系數(shù)的一元一次方程，進而討論用去分母解這類方程．利用方程思想解決實際問題，能再一次讓學生感受方程的實用價值.（二）合作交流，探究方法問題2：這個方程與前面學過的一元一次方程有什么不同？怎樣解這個方程呢？師生活動：教師出示問題，學生思考、回答，并嘗試解這個方程，學生代表將不同的解法在黑板展示交流．【設計意圖】讓學生在已有經驗的基礎上，努力嘗試新的方法.問題3：不同的解法各有什么特點？通過比較你認為采用什么方法比較簡便？師生活動：學生討論之后，教師通過以下問題明確去分母的方法和依據(jù)：追問1：怎樣去分母呢？追問2：去分母的依據(jù)是什么？學生思考后得出結論：（1）在方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)可以去分母；（2）去分母的依據(jù)是等式的性質2.師生共同分析解法：方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)15，得5(x－50)＝3(x＋70).去括號得，5x－250＝3x＋210.移項得，5x－3x＝250＋210.合并同類項，得2x=460.系數(shù)化為1，得x=230．【設計意圖】通過對同一方程不同解法的探索過程，使學生感受去分母方法的簡便，同時理解去分母的目的和依據(jù)，進而得出去分母的一般方法.問題4：解方程：．師生活動：教師展示問題，師生共同完成如下分析過程．方程左邊=．注意：這里易犯的錯誤：方程左邊=5×(3x+1)－2，應提醒學生去分母時不能漏乘．提問：方程右邊乘以10，化簡的結果是什么？學生口答化簡結果．方程右邊=(3x－2)－2(2x+3).教師用框圖展示解法的流程．追問1：解含分數(shù)系數(shù)的一元一次方程的步驟包括哪些？追問2：以x為未知數(shù)的方程逐步向著x=a的形式轉化的主要依據(jù)是什么？學生思考，總結并歸納出解一元一次方程的一般步驟，教師提示補充．【設計意圖】學生再次認識去分母解一元一次方程的方法，歸納解一元一次方程的一般步驟，進一步體會化歸的數(shù)學思想，在討論過程中互相補充思維中不嚴密、不完善的地方，加深對去分母的認識，避免出現(xiàn)類似錯誤．（三）典例分析例1：解下列方程：（1）；（2）．解：（1）去分母(方程兩邊乘4)，得2(x+1)－4=8+(2－x).去括號，得2x+2－4=8+2－x.移項，得2x+x=8+2－2+4.合并同類項，得3x=12.系數(shù)化為1，得x=4.（2）去分母（方程兩邊乘6），得18x+3(x－1)=18－2(2x－1).去括號，得18x+3x－3=18－4x+2.移項，得18x+3x+4x=18+2+3.合并同類項，得25x=23.系數(shù)化為1，得．師生活動：教師提出問題，學生獨立完成過程，然后分組進行交流，對錯例進行展示，找出錯誤根源，歸納正確方法．【設計意圖】通過實踐，加深對去分母解法的認識．針對訓練：解下列方程：（1）；（2）．解：（1）去分母（方程兩邊乘6），得(x－1)－2(2x+1)=6.去括號，得x－1－4x－2=6.移項，得x－4x=6+2+1.合并同類項，得－3x=9.系數(shù)化為1，得x=－3.（2）整理方程，得，去分母（方程兩邊乘30），得6(4x+9)－10(3+2x)=15(x－5).去括號，得24x+54－30－20x=15x－75.移項，得24x－20x－15x=－75－54+30.合并同類項，得－11x=－99.系數(shù)化為1，得x=9.【設計意圖】進一步鞏固利用去分母解方程的方法．（四）當堂鞏固1.方程去分母正確的是(C)A.3－2(5x+7)=－(x+17)B.12－2(5x+7)=－x+17C.12－2(5x+7)=－(x+17)D.12－10x+14=－(x+17)2.若代數(shù)式與的值互為倒數(shù)，則x=.3.解下列方程：（1）；（2）．答案：（1）；（2）．4.某單位計劃“五一”期間組織職工到東江湖旅游，如果單獨租用40座的客車若干輛剛好坐滿；如果租用50座的客車則可以少租一輛，并且有40個剩余座位．該單位參加旅游的職工有多少人？解：設該單位參加旅游的職工有x人，由題意得方程：，解得x＝360.答：該單位參加旅游的職工有360人.5.有一人問老師，他所教的班級有多少學生，老師說：“一半學生在學數(shù)學，四分之一的學生在學音樂，七分之一的學生在學外語，還剩六位學生正在操場踢足球．”你知道這個班有多少學生嗎？解：這個班有x名學生，依題意得，解得x=56.答：這個班有56個學生.師生活動：學生獨立完成，教師巡視，教師注意收集錯例進行展示，由學生分析錯誤原因，同時引導學生找出簡便的方法．學生完成練習之后，教師提問：解一元一次方程的一般步驟，是否是固定不變的？學生帶著問題討論得出：解方程要先觀察方程的特點，根據(jù)不同特點，選取恰當?shù)?、簡便的方法，采取靈活、合理的步驟，不能生搬硬套、機械模仿．【設計意圖】及時鞏固所學知識．至此，前后呼應，體現(xiàn)了本章問題解決的主線．讓學生理解解方程的步驟不是固定不變的，而是可以根據(jù)一元一次方程的不同形式靈活改變解題順序的．（五）能力提升“墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地記錄了所經歷的道路.上帝給予的童年占六分之一.又過十二分之一，兩頰長胡.再過七分之一，點燃結婚的蠟燭.五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓．悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補，又過四年，他也走完了人生的旅途.”解：設丟番圖活了x歲，據(jù)題意得，解得x=84.答：丟番圖活了84歲.（六）感受中考（2023?衢州）小紅在解方程時，第一步出現(xiàn)了錯誤：（1）請在相應的方框內用橫線劃出小紅的錯誤處．（2）寫出你的解答過程．解：（1）如圖：（2）去分母：2×7x＝(4x－1)＋6，去括號：14x＝4x－1＋6，移項：14x－4x＝－1＋6，合并同類項：10x＝5，系數(shù)化1：．【設計意圖】通過對最近幾年的中考真題的訓練，使學生提前感受中考考什么，進一步了解考點．（七）課堂小結教師與學生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.本節(jié)課學習了哪些主要內容？2.去分母的依據(jù)是什么？去分母的作用是什么？3.用去分母解一元一次方程時應該注意什么？4.去分母時，方程兩邊所乘的數(shù)是怎樣確定的？【設計意圖】復習鞏固、提升總結本節(jié)課的知識，使學生學會總結反思．（八）布置作業(yè)P130：習題5.2：第3題.P131：習題5.2：第15、16題.五、教學反思在解一元一次方程時，要使學生朝著解方程的目標方向進行變形，即最終使方程變成形如x=a（已知數(shù)）的形式，而解方程的各種步驟都是針對現(xiàn)有方程的形式特征，為逐步接近最終目標而實施的，即在保持方程左右兩邊相等關系的前提之下，逐步使方程向x=a的方向變形：簡單的變形——合并同類項與移項——較為復雜的變形——去括號與去分母，而復雜的變形又往往包含簡單的變形，從而使“未知”逐步轉化為“已知”，學生要能夠理解一元一次方程的一般步驟，掌握一元一次方程的解法，體會解方程過程中蘊涵的化歸思想和程序化思想．在學習“去分母”解一元一次方程時，要結合解決實際問題來進行，即先列出方程，然后討論如何解方程．而列方程是建立在分析問題的數(shù)量關系的基礎上，關鍵是找出適當?shù)南嗟汝P系，并將其用數(shù)學的符號語言正確表達，即建立問題的方程模型．因此通過這一節(jié)學習，學生要逐步能夠找出實際問題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的關系，設未知數(shù)，列方程表示問題中的相等關系，體會數(shù)學建模思想．第五章一元一次方程5.2解一元一次方程（4）【教學目標】1.讓學生經歷從現(xiàn)實情境中方程的特點，學習一元一次方程的解法,會解含有分母的一元一次方程；2.體驗通過去分母、去括號、移項、合并同類項，把未知數(shù)系數(shù)化為1得到方程解的轉化過程；通過探究與發(fā)現(xiàn)的數(shù)學體驗數(shù)學的辯證思想.3.體會建立一元一次方程解決實際問題的步驟和基本思想，發(fā)展學生的推理和運算能力和數(shù)學模型思想.【教學重點】解含有分母一元一次方程.【教學難點】去分母.【教學過程】 一、情境導入前面我們學習了解一元一次方程，本節(jié)課我們將繼續(xù)學習含有分母的一元一次方程解法，5.2解一元一次方程（4）（板書課題）合作探究活動一：探究解含有分母的一元一次方程問題1.如圖5.2-1，翠湖在青山、綠水兩地之間，距青山，距綠水.某天，一輛汽車勻速行駛，途經王家莊、青山、綠水三地的時間如表5.2-1所示.王家莊距翠湖的路程有多遠?教師活動：追問1.需要求的量是什么？需要求的量與已知量之間有什么等量關系？追問2.如果設王家莊距翠湖的路程為，那么王家莊距青山的路程是多少？王家莊距綠水的路程為多少？追問3.汽車在王家莊距青山行駛的時間是多少？速度是多少？汽車在王家莊到綠水行駛的時間是多少？速度是多少？兩段的行駛速度之間的關系如何？學生活動：尋找等量關系，列方程，嘗試解方程.師生共同完成以上活動，得到方程為.教師活動：你還能列得其他方程嗎？試一試.探究解方程：教師活動：追問：觀察這個方程和前面學習的方程有什么不同？追問2.你有什么解決問題的想法？學生活動：這個方程中未知數(shù)的系數(shù)不是整數(shù)，如果能化去分母，把未知數(shù)的系數(shù)化成整數(shù)，就可以使解方程中的計算更簡便些.教師活動：追問：怎樣去分母？依據(jù)是什么？學生活動：討論得到：等式兩邊乘同一個數(shù)（這個數(shù)是各分母的最小公倍數(shù)）結果仍相等.這個方程中是各分母的最小公倍數(shù)15，方程兩邊都乘15.師生共同解方程：方程兩邊同乘以15，去分母，得去括號，得移項，得合并同類項，得系數(shù)化為1，得所以，王家莊距翠湖的路程有活動二：歸納解一元一次方程的一般步驟教師活動：從上面的解一元一次方程的過程，你能歸納出解一元一次方程的一般步驟嗎？其依據(jù)有那些？師生共同歸納：解一元一次方程的一般步驟包括:去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1等.通過這些步驟，可以使以x為未知數(shù)的一元一次方程逐步轉化為x=m的形式。這個過程主要依據(jù)等式的性質和運算律等.活動三：解一元一次方程解下列方程：學生活動：討論怎樣解方程，并完成解方程.教師活動：指導學生解方程，并示范寫出解題過程.師生強調：按解一元一次方程的步驟進行解方程；提出注意：去分母時，方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)，所有的項都要乘，不能漏乘；去括號時，括號內的各項都要乘以括號前的因數(shù)，是負號的可以看成“-1”；移項要注意變號等.活動四：探究與發(fā)現(xiàn)無限循環(huán)小數(shù)化分數(shù)問題：我