2024-2025學(xué)年廣東省梅州市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．3 C． D．53．已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（

）A．B．C．D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°6．已函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．7．設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式aeax?1≥lnxe對任意恒成立，則A． B． C． D．8．設(shè)是公比不為1的無窮等比數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（

）A．B．C．關(guān)于對稱D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)10．已知球是棱長為2的正方體的內(nèi)切球，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是球的球面上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為B．三棱錐的體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，則的大小為定值11．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的最小正周期為2 D.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則．13．中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是______________．14．在四面體中，是邊長為的等邊三角形，，，，點(diǎn)在棱上，且，過點(diǎn)作四面體的外接球的截面，則所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（13分）已知等差數(shù)列滿足，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足首項(xiàng)為1，前3項(xiàng)和為7.（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和16．（15分）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角三角形中，內(nèi)角的對邊分別為且求的取值范圍.17.（15分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在恒成立，求整數(shù)a的最大值.．18．（17分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，為棱BC上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面PAC；(2)求點(diǎn)到平面PCD的距離；(3)設(shè)為棱CP上的點(diǎn)（不與C，P重合），且直線QE與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．.19．（17分）已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程，(2)當(dāng)時(shí)，判斷是否存在極值，并說明理由；(3)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.數(shù)學(xué)月考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則.故選：B2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．3 C． D．5【正確答案】D【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可得解.【詳解】由，得，所以，所以.故選：D.3．已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（

）A．B．C．D．【正確答案】A在中，，，，，所以.故選：A4．已知，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A依題意，，所以.故選：A5．已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【正確答案】B【分析】由條件結(jié)合投影向量的定義可求，再根據(jù)向量夾角余弦公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛椋莾蓚€(gè)單位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量與向量的夾角為，即.故選：B.6．已函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【正確答案】C由，得，所以的定義域?yàn)?又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，且在定義內(nèi)為增函數(shù)，故A，D錯(cuò)誤.對C：符合函數(shù)的定義域，奇偶性，單調(diào)性，故C正確.故選:C7．設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式aeax?1≥lnxe對任意恒成立，則A． B． C． D．【正確答案】C【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，先判斷得出恒成立，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得恒成立，進(jìn)而求解即可.【詳解】，即，因?yàn)?，所以，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，若時(shí)，不等式恒成立，則恒成立，若時(shí)，，恒成立，則也成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以得，即，設(shè)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，即正實(shí)數(shù)的最小值為.故選：C.8．設(shè)是公比不為1的無窮等比數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】借助充要條件的定義，分別驗(yàn)證充分性與必要性，結(jié)合等比數(shù)列、遞增數(shù)列的定義，借助反證法證明即可得.【詳解】若為遞增數(shù)列，當(dāng)，且時(shí)，有，此時(shí)為遞增數(shù)列，當(dāng)對任意,，故“為遞增數(shù)列”不是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分條件；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故，，假設(shè)存在，使得，則有，則，又且，故，則當(dāng)時(shí)，，與條件矛盾，故不存在，使，即在上恒成立，即，又，，故，即對任意的，，即為遞增數(shù)列，故“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的必要條件；綜上所述，“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的必要不充分條件.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（

）A．B．C．關(guān)于對稱D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)【正確答案】AC【分析】根據(jù)可得，代入最高點(diǎn)可得，進(jìn)而求出函數(shù)的表達(dá)式，即可判斷AB，代入驗(yàn)證即可判斷C，根據(jù)平移即可求解D.【詳解】由圖象可知，，解得，，又，所以，即，結(jié)合，可知，得的表達(dá)式為，故A正確，B錯(cuò)誤，對于C，由于，即的圖象關(guān)于對稱，故C正確；對于D，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10．已知球是棱長為2的正方體的內(nèi)切球，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是球的球面上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為B．三棱錐的體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，則的大小為定值【正確答案】ACD【分析】對于A項(xiàng)，先證得面可得點(diǎn)軌跡為平面與內(nèi)切球的交線，由到面的距離為面與面的距離可得，結(jié)合求解即可，對于B項(xiàng)，當(dāng)三棱錐的體高經(jīng)過球心時(shí)體積取得最大值，結(jié)合空間向量坐標(biāo)法求得球心到平面距離，進(jìn)而由計(jì)算即可，對于C項(xiàng)，運(yùn)用極化恒等式可得，則將問題轉(zhuǎn)化為求的范圍，作出平面截球的截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題可得，進(jìn)而可求得結(jié)果，對于D項(xiàng)，作出平面截球與橢球的截面圖，結(jié)合橢圓與圓的對稱性可判斷D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由正方體性質(zhì)得面，且內(nèi)切球半徑，分別取、、中點(diǎn)、、，如圖所示，易知面面，故面，則點(diǎn)軌跡為平面與內(nèi)切球的交線，即為截面圓的周長，易知球心面，則到面的距離為面與面的距離，所以截面圓半徑為.故點(diǎn)軌跡長度為，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，所以，所以到平面距離為，因?yàn)槊妫?，所以，又，所以三棱錐的體積的最大值為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接、、，如圖所示，則，所以，平面截球的截面圖如圖所示，又，，則，所以當(dāng)位于時(shí)，所以當(dāng)位于時(shí)，，則，所以，即的范圍為，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，由題意知，，又，所以點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)，長軸長為3的橢球面上，又因?yàn)辄c(diǎn)在以為球心，1為半徑的球面上，所以點(diǎn)在橢球面與球面的交線處，則平面截球與橢球的截面圖如圖所示，由橢圓與圓的對稱性可知，點(diǎn)位于、、、時(shí)，為定值，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.與球截面有關(guān)的方法點(diǎn)睛：①定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；②作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問題平面化的目的．11．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的最小正周期為2 D.【正確答案】ABD【分析】對于A，由函數(shù)是奇函數(shù)，它的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，由平移可得的圖象關(guān)于點(diǎn)1,0對稱；對于B，由函數(shù)軸對稱的性質(zhì)可得；對于C，由已知及奇函數(shù)的定義，賦值推導(dǎo)即可得到的最小正周期是否為2；對于D，由當(dāng)時(shí)，，及函數(shù)的對稱性和周期性，可得f1+f2+f3+f4=0，則可得，即可求得結(jié)果.【詳解】對于A：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，又函數(shù)的圖像向右平移1個(gè)單位可得到函數(shù)y=fx的圖像，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)1,0對稱，故A正確；對于B：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C：由的圖象關(guān)于點(diǎn)1,0對稱，，，則，所以的最小正周期不可能為2，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，f1=0，因?yàn)榈膱D象既關(guān)于點(diǎn)1,0對稱，又關(guān)于直線對稱，所以，，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，又，則，則，則，所以的一個(gè)周期為，所以，所以f1+f所以，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則.【正確答案】10【分析】將和用首項(xiàng)和公差表示，解方程組，求出首項(xiàng)和公式，利用公式求解.【詳解】設(shè)該數(shù)列的公差為，由題可知：，解得，故.故10.13．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是______________．【正確答案】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?所以，顯然必為正（否則和都為負(fù)，就兩個(gè)鈍角），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).所以.故14．在四面體中，是邊長為的等邊三角形，，，，點(diǎn)在棱上，且，過點(diǎn)作四面體的外接球的截面，則所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為．【正確答案】/1：8【分析】先根據(jù)勾股定理逆定理得到，再根據(jù)直角三角形中線性質(zhì)找出外接球的球心，再結(jié)合球的截面距離分析，要所得的截面圓中面積最小，只需截面圓半徑最小，只需球心到截面的距離最大即可．【詳解】由題意知，，由勾股定理可知，，所以，取的中點(diǎn)，所以，所以四面體的外接球在斜邊的中點(diǎn)處，四面體的外接球的半徑，根據(jù)題意可知，過點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面圓中面積最小，只需截面圓半徑最小，設(shè)球到截面的距離，只需球心到截面的距離最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)與截面垂直時(shí)，球心到截面的距離最大，即，取的中點(diǎn)，易知為等腰三角形，，所以，所以截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為，球的表面積為，所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為故．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）已知等差數(shù)列滿足，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足首項(xiàng)為1，前3項(xiàng)和為7.（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和.【正確答案】（1），；（2）.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得，解得，則；設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，q>0，由首項(xiàng)為1，前3項(xiàng)和為7，可得，解得q=2，則；由（1）可得，所以，則，兩式相減可得=，所以.16．（15分）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角三角形中，內(nèi)角的對邊分別為且求的取值范圍.【解】（1）.因?yàn)樗怨?由解得當(dāng)時(shí)又所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由得（所以.因?yàn)樗杂炙杂秩切螢殇J角三角形，則，則，所以，又，，則，所以的取值范圍為.17．（15分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在恒成立，求整數(shù)a的最大值.【正確答案】見解析【分析】（1）求得，對進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）將轉(zhuǎn)化為對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過二次求導(dǎo)的方法求得（其中），由此求得整數(shù)的最大值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，……?分所以.………2分當(dāng)，即時(shí)，；………3分當(dāng)，即時(shí)，由得，得.………5分綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；………6分（2）因?yàn)?，即，所?所以對恒成立.令，則，……8分令，則，因?yàn)椋?，…?0分所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在滿足，即.………12分當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，………13分所以，所以，………14分因?yàn)椋?，所以的最大值?………15分18．（17分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，為棱BC上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面PAC；(2)求點(diǎn)到平面PCD的距離；(3)設(shè)為棱CP上的點(diǎn)（不與C，P重合），且直線QE與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．【正確答案】(1)證明見解析(2)2